Baigtinės, skaičiosios ir neskaičiosios aibės

Ar galite suporuoti visus elementus, nė vieno nepalikdami?

Suporuokite a su 0, b su 1 ir c su 2. Kiekvienas aibės A = {a, b, c} elementas turi vieną porininką aibėje B = {0, 1, 2}; kiekvienas porininkas panaudojamas vieną kartą. Aibes galite palyginti, net jei jų elementai nepanašūs. Dabar pabandykite suporuoti 0 su 1, 1 su 2, 2 su 3 ir tęsti pagal tą pačią taisyklę. Ar neįtraukus 0 į tikslinę aibę antrasis poravimas nebeveikia?

Naudinga iš anksto mokėti skaityti funkcijų užrašus su nurodytomis pradinėmis ir tikslinėmis aibėmis, suprasti lygiavertes trupmenas, dešimtaines skiltis ir skirtumą tarp pavyzdžių tikrinimo bei bendro teiginio įrodymo. Toliau pateiktos nuorodos veda į paskelbtas pamokas šiomis temomis. Visi čia vartojami aibių ir atvaizdžių apibrėžimai pateikiami iš naujo; nebūtina būti perskaičius vėlesnių pamokų apie aibes.

Skaitydami pirmą kartą, sekite poravimo, sveikųjų skaičių ir porų skyrius, tada – poaibių įstrižainės argumentą. Racionaliųjų skaičių skyriuje naudojamos nesuprastinamosios trupmenos, o realiųjų skaičių įstrižainės argumente – dešimtainių skilčių vertės. Prie šių dviejų skyrių galite grįžti po parengiamųjų pamokų. Skyrius apie pateiktas sąrašų šeimas išplečia porų metodą; jį galima skaityti, kai jau galite paaiškinti, kodėl kiekvienai porai tenka baigtinis eilės numeris.

Tiksliai apibrėžkite baigtinumą ir skaičumą

Aibę sudaro skirtingi elementai, be pasikartojimų ir be tvarkos. Užrašas x ∈ A reiškia, kad x yra aibės A elementas; A ⊆ B reiškia, kad kiekvienas aibės A elementas priklauso aibei B. Tuščioji aibė ∅ neturi elementų. Šioje pamokoje N₀ = {0, 1, 2, …}, N₊ = {1, 2, 3, …}, ℤ yra sveikųjų skaičių aibė, ℚ – racionaliųjų skaičių aibė, o ℝ – realiųjų skaičių aibė.

Funkcija f: A → B kiekvienam nurodytos pradinės aibės A elementui priskiria tiksliai vieną nurodytos tikslinės aibės B elementą. Ji yra injektyvi, jei skirtingiems argumentams priskiriamos skirtingos reikšmės, ir siurjektyvi, jei kiekvienas aibės B elementas yra funkcijos reikšmė. Bijekcija turi abi savybes. Dviejų aibių galios yra lygios, tai žymima |A| = |B|, kai tarp jų egzistuoja bijekcija. Pasirinktas poravimas neprivalo išsaugoti skaičių tvarkos ar atstumo.

Aibė yra baigtinė, jei galima nustatyti bijekciją tarp jos ir {0, …, n−1} su kuriuo nors neneigiamu sveikuoju skaičiumi n. Kai n = 0, ši aibė yra ∅, todėl |∅| = 0. Aibė yra begalinė, jei ji nėra baigtinė. Ji yra suskaičiuojamai begalinė, jei egzistuoja bijekcija N₀ → A: sąrašas a₀, a₁, a₂, …, kuriame kiekvienas elementas pasirodo lygiai vieną kartą.

Čia „suskaičiuojama“ reiškia baigtinę arba suskaičiuojamai begalinę aibę; posakis „ne daugiau kaip suskaičiuojama“ reiškia tą patį. Taigi ∅ yra suskaičiuojama, bet ne suskaičiuojamai begalinė. „Nesuskaičiuojama“ reiškia, kad aibė nėra suskaičiuojama. Kai kuriose knygose „suskaičiuojama“ reiškia tik suskaičiuojamai begalinę aibę, todėl patikrinkite vartojamą susitarimą, o ne manykite, kad šis žodis neapima baigtinių aibių.

Tikrojo poaibio begalinė galia gali būti tokia pati

Poslinkis f(n) = n+1 yra bijekcija N₀ → N₊. Jei f(m) = f(n), tai m+1 = n+1, todėl m = n: ši funkcija yra injektyvi. Bet kuriam k ∈ N₊ argumentas k−1 priklauso N₀ ir jo vaizdas yra k: ši funkcija yra surjektyvi. Taigi |N₀| = |N₊|, nors N₊ yra tikrasis N₀ poaibis, nes jame nėra 0.

Panašiai n ↦ 2n yra bijekcija N₀ → E, kur E = {0, 2, 4, …}. Iš lygybės 2m = 2n būtinai gauname m = n; kiekvienas E elementas yra pavidalo 2k ir yra argumento k vaizdas. Atvirkštinė funkcija aibėje E yra k ↦ k/2. Ši funkcija nėra surjekcija į visą N₀: nelyginiai skaičiai nepriklauso nurodytai tikslinei aibei E.

Pašalinus elementą iš baigtinės aibės, jos galia sumažėja. Šios įprastos baigtinių aibių taisyklės negalima taikyti šioms begalinėms aibėms. Pavaizduotos rodyklės rodo tik pirmąsias šešias atitiktis; injektyvumas ir argumento atkūrimas pagal bet kurį tikslinės aibės elementą įrodo teiginį kiekvienam elementui. Begalinėje atitiktyje nėra paskutinės rodyklės.

Kaitaliojant ženklus, kiekvienas sveikasis skaičius išvardijamas kartą

Sveikųjų skaičių sąraše negalima visų pozicijų skirti neneigiamoms reikšmėms ir žadėti neigiamas pridėti vėliau: po begalybės įrašų nėra jokios pozicijos. Vietoj to naudokite 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, … . Kai k ≥ 1, apibrėžkite z(2k−1) = k ir z(2k) = −k, o z(0) = 0.

Teigiamasis sveikasis skaičius k yra ties indeksu 2k−1, neigiamasis sveikasis skaičius −k – ties indeksu 2k, o 0 – tik ties indeksu 0. Šie trys nesikertantys atvejai apima visus sveikuosius skaičius ir kiekvienam skiria tiksliai vieną vietą. Todėl z: N₀ → ℤ yra bijekcija, o ℤ yra suskaičiuojama begalinė aibė. Formulė pateikia įrodymą; baigtinė ženklus kaitaliojanti seka jį tik iliustruoja.

Perėjimas įstrižainėmis neužstringa vienoje eilutėje

Dekarto sandaugą N₀ × N₀ sudaro sutvarkytos poros (i, j), kur i, j ∈ N₀. Pirmosios ir antrosios koordinačių vaidmenys skiriasi: (1, 2) ir (2, 1) yra skirtingos poros. Jei pirmiausia skaitytume visą eilutę (0, 0), (0, 1), (0, 2), …, niekada nepasiektume eilutės 1.

Vietoj to pereikite poras sumos s = i+j didėjimo tvarka. Kiekvienai sumai didinkite i nuo 0 iki s ir nustatykite j = s−i. Taip gauname (0, 0); tada (0, 1), (1, 0); tada (0, 2), (1, 1), (2, 0); ir taip toliau. Kiekvienos įstrižainės ilgis s+1 yra baigtinis, todėl pereidami poras pasiekiame kitą įstrižainę.

Ankstesnėse įstrižainėse yra Tₛ = s(s+1)/2 porų. Poros (i, j) eilės numeris, numeruojant nuo nulio, yra Tₛ+i, kur s = i+j. Bet kuriai konkrečiai porai tai yra baigtinis sveikasis skaičius. Įstrižainė s užima tiksliai iš eilės einančius numerius nuo Tₛ iki Tₛ+s; kita prasideda numeriu Tₛ+s+1. Taigi eilės numeriai apima N₀ be pasikartojimų, o kiekvienai porai priskiriamas tiksliai vienas eilės numeris. Tai įrodo, kad N₀ × N₀ yra suskaičiuojama begalinė aibė.

Porai (2, 3) gauname s = 5, T₅ = 15, o eilės numeris yra 17. Tarp pirmųjų penkiolikos žemiau pavaizduotų taškų jos nėra, tačiau ta pati taisyklė jau nurodo, kada ji pasirodys. Taškas už rodomo lango ribų nėra praleistas numeravimo narys.

Išvardykite trupmenų reikšmes, o ne pasikartojančias išraiškas

Kiekvienas teigiamasis racionalusis skaičius turi vienintelį nesuprastinamosios trupmenos p/q pavidalą, kur p ir q yra teigiamieji sveikieji skaičiai, o didžiausias bendrasis daliklis gcd(p, q) = 1. Didžiausias bendrasis daliklis yra didžiausias teigiamasis sveikasis skaičius, dalijantis abu skaičius. Pavyzdžiui, 2/4 = 1/2, tačiau tik 1/2 yra nesuprastinamoji trupmena. Skirtingos to paties skaičiaus išraiškos bijektyviame sąraše neturi užimti skirtingų vietų.

Pereikite teigiamųjų skaičių poras (p, q) sumos p+q didėjimo tvarka ir kiekvienai sumai didinkite p. Palikite tik poras, kurioms gcd(p, q) = 1. Teigiamųjų skaičių sąrašas prasideda taip: 1, 1/2, 2, 1/3, 3, 1/4, 2/3, 3/2, 4, … . Kai suma lygi 4, atmeskite 2/2: ši trupmena pakartotų 1. Kiekviena nesuprastinamoji trupmena p/q pasirodo savo baigtinėje įstrižainėje p+q, o nesuprastinamojo pavidalo vienatinumas neleidžia pasikartoti.

Kad įtrauktumėte visų ženklų skaičius, pradėkite nuo 0, tada kiekvieną teigiamąją reikšmę rašykite prieš pat jai priešingą neigiamąją: 0, 1, −1, 1/2, −1/2, 2, −2, 1/3, −1/3, … . Kiekvienas nenulinis racionalusis skaičius turi tiksliai vieną ženklą ir vieną teigiamą modulį, išreikštą nesuprastinamąja trupmena, todėl pasirodo tiksliai vieną kartą. Paliktų teigiamųjų narių yra be galo daug, įskaitant p/1 kiekvienam p ≥ 1, todėl sąrašas su abiejų ženklų skaičiais yra begalinis bijektyvus ℚ numeravimas.

Tarp racionaliųjų skaičių yra kitų racionaliųjų skaičių, tačiau šis tankumas netrukdo jų sunumeruoti. Sąrašo skaičiai neprivalo būti išdėstyti reikšmių didėjimo tvarka. Tinklelio langelis žymi tikslią trupmeną p/q; ar jį palikti, ar praleisti, sprendžiama pagal sveikųjų skaičių dalumą, o ne pagal rodomą suapvalintą dešimtainę reikšmę.

Filtruokite vieną sąrašą arba kartu pereikite pateiktus sąrašus

Kiekvienas skaičios aibės poaibis A yra skaitus. Kai pradinė aibė baigtinė, tai gaunama pašalinus nereikalingus elementus. Kai pradinės aibės elementai surašyti į sąrašą b₀, b₁, …, palikite tas pozicijas, kurių elementai priklauso A. Jei lieka tik baigtinis jų skaičius, A yra baigtinė. Kitu atveju likusius indeksus išdėstykite didėjimo tvarka. Kiekvienas likęs indeksas turi tik baigtinį skaičių mažesnių indeksų, todėl jo elementas galiausiai pasirodo sąraše; nė vienas elementas nepasirodo du kartus. Taip gaunamas bijektyvus begalinis A elementų sąrašas.

Aibių šeimos sąjunga yra aibė elementų, priklausančių bent vienai tos šeimos aibei. Tarkime, kad duota šeima A₀, A₁, … ir konkretus baigtinis arba begalinis kiekvienos Aᵢ elementų sąrašas. Kiekviename sąraše yra visi atitinkamos aibės elementai; pasikartojimai leidžiami, o tuščia aibė neturi jokių pozicijų. Pereikite pozicijų poras (i, j) ta pačia įstrižaine tvarka kaip N₀ × N₀, praleiskite neegzistuojančias baigtinių eilučių pozicijas ir reikšmę palikite tik tada, kai ji pasirodo pirmą kartą. Kiekvienas sąjungos elementas turi duotą poziciją su baigtiniu eilės numeriu, todėl jis bus pasiektas.

Pirmųjų pasirodymų eilės numeriai sudaro N₀ poaibį. Surikiavus šiuos numerius, gaunamas arba baigtinis sąrašas, arba bijektyvus begalinis sąjungos elementų sąrašas. Taigi skaičios šeimos, kuriai duoti tokie sąrašai, sąjunga yra skaiti. Šiame įrodyme sąrašai naudojami kaip duomenų dalis; jis nieko neteigia apie galimybę vienu metu parinkti sąrašus savavališkai šeimai, kai tokių duomenų nėra.

Pavyzdžiui, perėjus duotas eilutes {a, b}, ∅ ir {b, c} bei pašalinus pasikartojimus, galima gauti {a, b, c}. Begalinėms eilutėms tinka tas pats argumentas apie baigtinį eilės numerį. Baigtinis bandymas gali patikrinti tvarką ir pasikartojimų šalinimo taisyklę, o argumentas apie bet kurią duotą poziciją įrodo, kad aprėpiama visa sąjunga.

Keiskite priklausymo sprendimą ties kiekvienos eilutės indeksu

Laipsninė aibė P(A) yra visų A poaibių aibė, įskaitant ∅ ir pačią A. Kai A = {0, 1}, P(A) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}. N₀ poaibį galima užrašyti kaip priklausymo sprendimų seką: pozicijoje n rašykite 1, jei n priklauso poaibiui, ir 0, jei nepriklauso.

Imkite bet kurį siūlomą N₀ poaibių sąrašą S₀, S₁, S₂, … . Apibrėžkite naują poaibį D = {n ∈ N₀ : n ∉ Sₙ}. Eilutėje n aibė D dėl n priklausymo priima priešingą sprendimą nei Sₙ. Jei n priklauso Sₙ, jis nepriklauso D; jei jis nepriklauso Sₙ, jis priklauso D. Vadinasi, D ≠ Sₙ kiekvienam n.

Joks siūlomas sąrašas, indeksuotas N₀ elementais, neaprėpia P(N₀), net jei leidžiami pasikartojimai. Tai stipresnis teiginys nei parodymas, kad vienas konkretus sąrašas netinka. P(N₀) yra begalinė, nes vienaelementės aibės {0}, {1}, {2}, … visos skirtingos; todėl ji yra neskaiti. Įstrižainės taisyklė paneigia bet kurio tariamai išsamaus sąrašo išsamumą.

Baigtinėje lentelėje pakeičiami tik trys, keturi arba penki parodyti įstrižainės įrašai. Naujoji eilutė nuo kiekvienos parodytos eilutės skiriasi atitinkamoje pozicijoje, bet šiame baigtiniame fragmente gali sutapti su nematoma vėlesne eilute. Įrodyme sudaromas visas poaibis D, priimant sprendimą ties kiekvienu indeksu, o ne ekstrapoliuojant baigtinį šabloną.

Tas pats argumentas tinka kiekvienai aibei

Tegu A yra bet kuri aibė, o f: A → P(A) – bet kuri funkcija. Apibrėžkite D = {a ∈ A : a ∉ f(a)}. Tai yra A poaibis, todėl D ∈ P(A). Jei f(c) = D kuriam nors c ∈ A, tuomet pagal apibrėžimo sąlygą c ∈ D tada ir tik tada, kai c ∉ D, o tai neįmanoma. Vadinasi, f nėra siurjektyvi; bijekcija A → P(A) neegzistuoja. Tai Kantoro teorema.

Egzistuoja injekcija A → P(A), apibrėžta taisykle a ↦ {a}: jei vienaelementės aibės lygios, jų elementai taip pat lygūs. Rašome |A| < |P(A)|, norėdami pasakyti, kad tokia injekcija egzistuoja, bet bijekcija neegzistuoja. Kai A = ∅, laipsninė aibė yra {∅}, o ne ∅; vienintelis tikslinės aibės elementas nėra tuščiosios funkcijos reikšmė. Teorema apima ir šį atvejį.

Baigtinėje aibėje iš n elementų kiekvienas elementas gali priklausyti arba nepriklausyti poaibiui, todėl yra 2ⁿ poaibių. Kantoro argumentas galioja ir begalinei aibei A, nelaikant begalinės aibės galios įprastu sveikuoju laipsnio rodikliu. Kaskart sudarant laipsninę aibę gaunama didesnė galia; šis argumentas neteigia, kad visos nesuskaičiuojamos aibės yra vienodo dydžio.

Skirtingos skaitmenų sekos gali žymėti tą patį realųjį skaičių

Intervalą (0, 1) sudaro realieji skaičiai x, kuriems 0 < x < 1. Užrašykite jų dešimtainius skaitmenis po kablelio iš kairės į dešinę. Baigtinė dešimtainė išraiška pratęsiama nuliais, kaip antai 0.5 = 0.5000… . Tas pats realusis skaičius taip pat turi išraišką 0.4999… . Todėl vien pakeisti skaitmenį bet kurioje išraiškoje nepakanka, kad būtų įrodyta, jog pasikeitė jos žymimas realusis skaičius.

Vienintelis nevienareikšmiškumas yra baigtinė išraiška, pratęsta nuliais, ir jos alternatyva, besibaigianti vien devynetais. Kad suprastume kodėl, tarkime, jog dvi dešimtainių skaitmenų sekos pirmą kartą skiriasi k-ojoje pozicijoje po kablelio. Toje pozicijoje atsiradęs skirtumas yra bent 10⁻ᵏ; visa tolesnė sekos dalis gali jį kompensuoti daugiausia dydžiu 10⁻ᵏ. Lygybė galima tik tada, kai šis skirtumas yra lygiai vienas k-osios pozicijos vienetas, pirmoje besiskiriančioje pozicijoje mažesnį skaitmenį turinti seka toliau sudaryta vien iš devynetų, o didesnį skaitmenį turinti seka – vien iš nulių.

Pasirinkite kanoninę išraišką, kuri nuo jokios pozicijos nėra sudaryta vien iš devynetų. Baigtinės išraiškos pratęsiamos nuliais. Taip pašalinamas nevienareikšmiškumas. Kiekvienas realusis skaičius intervale (0, 1) turi tokią pasirinktą išraišką; skaitmenys po kablelio išreiškia tikslų realųjį skaičių, o ne suapvalintą baigtinį skaičių skaičiuotuvo ekrane. Pirmiau taikyta begalinės sekos dalies riba remiasi pozicinės skaičiavimo sistemos lygybe 9×10⁻⁽ᵏ⁺¹⁾ + 9×10⁻⁽ᵏ⁺²⁾ + … = 10⁻ᵏ.

Sukonstruokite realųjį skaičių, kurio nėra jokiame pasiūlytame sąraše

Tarkime, x₀, x₁, x₂, … yra visų realiųjų skaičių intervale (0, 1) sąrašas. Kiekvieną užrašykite kanonine dešimtaine išraiška. Tegul aₙ yra skaičiaus xₙ skaitmuo n+1 pozicijoje po kablelio; numeruojant eilutes nuo nulio, eilutėje 0 imamas pirmasis skaitmuo po kablelio, eilutėje 1 – antrasis ir taip toliau.

Pozicijoje n+1 pasirinkite dₙ = 2, jei aₙ = 1, o kitu atveju dₙ = 1. Apibrėžkite y = 0.d₀d₁d₂… taikydami šią taisyklę kiekvienoje pozicijoje. Jo skaitmenys yra tik 1 arba 2, todėl 1/9 ≤ y ≤ 2/9 ir y ∈ (0, 1). Jo išraiška nuo jokios pozicijos nėra sudaryta nei vien iš nulių, nei vien iš devynetų, todėl ji neturi alternatyvios baigtinės išraiškos.

Kiekvienam n pasirinktas skaitmuo dₙ skiriasi nuo atitinkamo skaičiaus xₙ skaitmens aₙ. Abi išraiškos yra kanoninės, todėl iš vienareikšmiškumo gauname y ≠ xₙ. Tariamai išsamiame sąraše nėra y – tai prieštaravimas. Šis argumentas paneigia bet kurio sąrašo išsamumą; todėl intervalas (0, 1) yra nesuskaičiuojamas. Jei ℝ būtų suskaičiuojama, jos poaibis (0, 1) taip pat būtų suskaičiuojamas, taigi ℝ yra nesuskaičiuojama.

Baigtinė lentelė rodo tik pradinę y skaitmenų sekos dalį. Ji pati savaime neatskleidžia visų jo skaitmenų, neįrodo, kad konkretus baigtinis dešimtainis skaičius yra iracionalusis, ir neatmeta nematomos eilutės. Įrodymą sudaro taisyklė, taikoma kiekvienam n, ir kiekvienai eilutei n parinktas besiskiriantis skaitmuo. Jame nedaroma prielaida, kad nesuskaičiuojamos aibės galia būtinai turi būti kita galia po N₀.

Numatykite kitą atitiktį, rangą ar pakeistą skaitmenį

Poravimo scenoje numatykite pradinę reikšmę, kuri poslinkiu atvaizduojama į 6, lyginių skaičių atvaizdžiu – į 10, o sveikųjų skaičių sąraše – į −2. Atskleiskite tikslias poras ir palyginkite jas su formulėmis: pradinės reikšmės yra 5, 5 ir 4. Tuščiuoju atveju rodomas iš tiesų tuščias poravimas, o ne vienas elementas, pavadintas ∅.

Porų scenoje pakeiskite paskutinę įtrauktą įstrižainę. Numatykite, kada pasirodys (1, 2): šios poros narių suma yra 3, o jos eilės numeris – 7. Trupmenų scenoje numatykite, kurie langeliai praleidžiami, kai suma lygi 6. Nesuprastintos trupmenos 2/4, 3/3 ir 4/2 praleidžiamos; 1/5 ir 5/1 paliekamos. Lentelėse pateikiama kiekviena rodoma palikta reikšmė ir jos indeksas sąraše su ženklais.

Poaibių ir dešimtainių išraiškų scenose nustatykite įstrižainės elementus prieš atskleisdami pakeistą eilutę. Kiekvienas naujas elementas turi skirtis nuo elemento savo eilutėje, o ne nuo kiekvieno elemento savo stulpelyje. Baigdami paaiškinkite, ką įrodo baigtinė konstrukcija ir ką prideda begalinis apibrėžimas. Grįžkite į skyrių apie sąjungą ir dar kartą pritaikykite argumentą apie aprėptį baigtiniais eilės numeriais, o skyriuje apie dešimtaines išraiškas paaiškinkite, kodėl išvadai apie realiuosius skaičius reikia kanoninių išraiškų.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pagal šioje pamokoje taikomą susitarimą nustatykite, kurios iš aibių ∅, {∅}, {0, 1, 2} ir N₀ yra baigtinės, suskaičiuojamos arba begalinės suskaičiuojamos. Ar ∅ = {∅}?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmosios trys yra baigtinės ir suskaičiuojamos; jų elementų skaičiai yra 0, 1 ir 3. N₀ yra begalinė suskaičiuojama aibė. ∅ ir {∅} yra skirtingos aibės.

   Tuščioji aibė neturi nė vieno elemento; {∅} turi vieną elementą – tuščiąją aibę. Suskaičiuojamoms aibėms priskiriamos ir baigtinės aibės, o begalinei suskaičiuojamai aibei būtina bijekcija iš N₀. Baigtinė aibė negali suteikti skirtingų atvaizdžio reikšmių kiekvienam indeksui iš N₀.

2. Ar f(n) = n+3 yra bijekcija N₀ → {3, 4, 5, …}? Ar tai bijekcija N₀ → N₀? Nurodykite atvirkštinį atvaizdį, jei jis egzistuoja.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tai bijekcija į {3, 4, 5, …}, kurios atvirkštinis atvaizdis yra k ↦ k−3. Tai nėra bijekcija į N₀, nes 0, 1 ir 2 nepasiekiami.

   Pridėjus 3, skirtingi elementai išlieka skirtingi. Kiekvienam nurodytos tikslinės aibės elementui k ≥ 3 atitinka tinkamas neneigiamas argumentas k−3. Jei tikslinė aibė pakeičiama į visą N₀, tie trys papildomi jos elementai neturi pirmavaizdžio; atvaizdis išlieka injektyvus, bet nebėra surjektyvus.

3. Kokius indeksus, skaičiuojant nuo nulio, turi 7 ir −7 sekoje 0, 1, −1, 2, −2, …? Koks sveikasis skaičius yra ties indeksu 18?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   7 yra ties indeksu 13; −7 yra ties indeksu 14. Ties indeksu 18 yra −9.

   Teigiamo skaičiaus k indeksas yra 2k−1, o neigiamo skaičiaus −k indeksas yra 2k. Kadangi 18 = 2×9 yra teigiamas lyginis indeksas, jį atitinkanti reikšmė yra −9. Indeksas 0 nagrinėjamas atskirai ir jį atitinka 0.

4. Raskite porų (1, 2) ir (0, 4) eilės numerius. Atkurkite porą, kurios eilės numeris yra 8. Kodėl nepavyksta užbaigti eilutės 0 prieš pereinant prie eilutės 1?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Eilės numeriai yra 7 ir 10. Eilės numerį 8 turi pora (2, 1). Užbaigus begalinę eilutę 0, neliktų vėlesnės pozicijos, nuo kurios būtų galima pradėti eilutę 1.

   Kai suma lygi 3, T₃ = 6, todėl poros (1, 2) eilės numeris yra 6+1 = 7, o poros, kurios eilės numeris yra 8, pirmasis elementas yra 2, antrasis – 1. Porai (0, 4) taikoma T₄ = 10. Vienodos sumos įstrižainė yra baigtinė, o visa eilutė – begalinė; tik perėjimas įstrižainėmis užtikrina, kad bus pasiektos ir kitos eilutės.

5. Kai teigiama suma p+q = 6, kurios trupmenos paliekamos, o kurios praleidžiamos? Paaiškinkite, kodėl praleidžiamos trupmenos neatitinka naujų racionaliųjų skaičių reikšmių.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Paliekamos 1/5 ir 5/1. Praleidžiamos 2/4 = 1/2, 3/3 = 1 ir 4/2 = 2.

   Paliekamų skaitiklio ir vardiklio porų didžiausias bendras daliklis yra 1; praleidžiamų porų didžiausi bendri dalikliai yra atitinkamai 2, 3 ir 2. Jų suprastintos reikšmės jau pasirodė ankstesnėse įstrižainėse. Numeruojant kiekvienas racionalusis skaičius turi būti įtrauktas vieną kartą, o ne skaičiuojamos kelios tos pačios reikšmės išraiškos.

6. Pereikite pateiktas eilutes A₀ = (a, b), A₁ = (), A₂ = (b, c) didėjančios i+j sumos tvarka, o kiekvienoje įstrižainėje – didėjančio i tvarka. Praleiskite tuščias vietas ir pasikartojančias reikšmes. Koks skirtingų reikšmių sąrašas gaunamas ir kodėl analogiška pateikta begalinė šeima yra suskaičiuojama?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Rezultatas yra a, b, c. Pateiktoje begalinėje šeimoje kiekvienas elementas turi poziciją su baigtiniu eilės numeriu, o pirmuosius elementų pasirodymus galima indeksuoti aibės N₀ poaibiu.

   Pirmosios dvi netuščios pozicijos yra (0, 0) ir (0, 1). Pozicijoje (2, 0) kartojasi b, o pozicija (2, 1) prideda c. Kai pateikta be galo daug eilučių, tas pats perėjimas pasiekia bet kurią nurodytą poziciją jos diagonalėje su baigtine indeksų suma. Surikiavus pirmųjų pasirodymų eilės numerius, gaunamas baigtinis arba bijektyvus begalinis sąrašas, ir nereikia rinktis nepateiktų eilučių sąrašų.

7. Duotos poaibių eilutės (0, 1, 0), (1, 1, 0) ir (0, 0, 0) stulpeliuose 0, 1, 2. Raskite diagonalės papildinį. Taip pat raskite P(∅).

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Naujoji eilutė yra (1, 0, 1), o matomas poaibis – {0, 2}. P(∅) = {∅} turi vieną elementą.

   Diagonalė yra (0, 1, 0); pakeiskite kiekvieną jos reikšmę priešinga. Rezultatas skiriasi nuo kiekvienos parodytos eilutės tos eilutės stulpelyje. Tuščioji aibė turi lygiai vieną poaibį – save pačią; visų poaibių aibė nėra tuščia, nes joje šis poaibis yra vienas elementas.

8. Funkcijai f: A → P(A) apibrėžkime D = {a ∈ A : a ∉ f(a)}. Jei f(c) = D, kas nutinka, kai c ∈ D? Kas nutinka, kai c ∉ D?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmuoju atveju būtinai c ∉ D; antruoju – c ∈ D. Abiem atvejais gaunamas prieštaravimas, todėl D nėra funkcijos f reikšmė.

   Priklausymas aibei D apibrėžtas taip, kad elemento c priklausymas jai būtų priešingas jo priklausymui aibei f(c). Įstačius f(c) = D, iš kiekvienos prielaidos gaunama jos priešingybė. Kadangi f buvo pasirinkta bet kaip, kiekviena tokia funkcija neįgyja kurio nors poaibio kaip reikšmės, todėl nėra siurjekcijos, taigi ir bijekcijos, iš A į P(A).

9. Siūlomo realiųjų skaičių kanoninių išraiškų sąrašo diagonalės skaitmenys yra 0, 1, 9, 2, 1. Raskite pirmuosius penkis juos pakeičiančius skaitmenis. Kodėl nepakaktų bet kokių skirtingų dešimtainių skaitmenų sekų?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pakeičiantys skaitmenys yra 1, 2, 1, 1, 2. Bet kokios skirtingos sekos vis tiek gali reikšti tą pačią reikšmę, pavyzdžiui, 0.5000… = 0.4999… .

   Naudokite 2 tik tada, kai pradinis diagonalės skaitmuo yra 1, o kitais atvejais – 1. Kanoninės išraiškos neturi vien iš devynetų sudarytų begalinių galūnių; sukonstruota išraiška, sudaryta vien iš skaitmenų 1 arba 2, nėra dviprasmiška. Todėl jos skirtumas nuo kiekvienos kanoninės eilutės pasirinktoje vietoje patvirtina, kad skiriasi ir realiųjų skaičių reikšmės.

10. Iš penkių eilučių lentelės gaunamas naujas penkių skaitmenų pradinis fragmentas. Ar tai įrodo, kad naujasis realusis skaičius yra iracionalus, kad jis skiriasi nuo nerodomos eilutės arba kad visų nesuskaičiuojamųjų aibių galia vienoda? Ką įrodo visas diagonalinis argumentas?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    Nė vienas iš šių trijų teiginių neišplaukia iš baigtinės lentelės. Taikant visą taisyklę įrodoma, kad joks N₀ indeksuojamas sąrašas neapima visų intervalo (0, 1) realiųjų skaičių.

    Baigtinė pradžios atkarpa gali turėti daugybę skirtingų tęsinių ir sutapti su nematoma eilute. Begalinė įstrižainė kiekvienai eilutei parenka nuo jos besiskiriantį skaitmenį ir naudoja kanoninius skaičių užrašus, taip įrodydama neskaitumą. Šis metodas nei nustato naujojo skaičiaus racionalumą iš jo pradžios atkarpos, nei palygina visas neskaitinių aibių galias tarpusavyje.

Ką verta įsidėmėti

• Vienoda galia reiškia bijekciją su visa nurodyta tiksline aibe, net jei viena begalinė aibė yra kitos tikrinis poaibis.
• Skaičiomis čia laikomos ir baigtinės aibės bei ∅; begalinė skaiti aibė turi išsamų sąrašą be pasikartojimų, indeksuojamą N₀.
• Perėjimas įstrižainėmis pagal sumą kiekvienai porai priskiria baigtinį eilės numerį. Nesutrumpinamosios trupmenos, ženklai ir tik pirmųjų pasirodymų atranka leidžia taip sudaryti kitus išsamius sąrašus.
• Diagonalizacija kiekvienai bet kurio sąrašo eilutei priešina kitokią reikšmę tos eilutės indeksu pažymėtoje vietoje. Baigtinis langas iliustruoja šią taisyklę, bet nepakeičia jos bendrojo įrodymo.
• P(N₀) ir (0, 1) yra neskaitinės aibės. Įrodymui, naudojančiam dešimtainius užrašus, reikia vienareikšmiškai pasirinktų užrašų; Kantoro teorema apie visų poaibių aibę taikoma kiekvienai aibei.