Injektyvūs, siurjektyvūs ir bijektyvūs atvaizdžiai

Po vieną priskirtą spintelę – funkcija; lieka dar du klausimai

Pažymėkite tris korteles 0, 1 ir 2, o tris spinteles – 10, 11 ir 12. Kortelei 0 priskirkite spintelę 10, kortelei 1 – spintelę 11, o kortelei 2 – spintelę 12. Kiekvienai kortelei priskirta lygiai viena spintelė. Jokioms dviem kortelėms nepriskirta ta pati spintelė, ir kiekviena nurodyta spintelė yra naudojama.

Dabar pridėkite ketvirtą spintelę, 13, nekeisdami nė vieno priskyrimo. Pagal taisyklę kiekvienai kortelei vis dar priskiriama viena spintelė, o skirtingoms kortelėms vis dar priskiriamos skirtingos spintelės. Tačiau jau naudojamos ne visos nurodytos spintelės. Kitas variantas: ir 0, ir 1 priskyrus spintelę 10, vis dar apibrėžiama funkcija, tačiau dabar šių kortelių reikšmės sutampa.

Tai skirtingi klausimai: ar kiekvienam argumentui priskirta viena leistina reikšmė, ar skirtingiems argumentams priskiriama ta pati reikšmė ir ar kiekvienas kodomeno elementas turi jį atitinkantį argumentą? Bijekcija į visus tris atsako teigiamai atitinkama prasme: tai funkcija, kurioje skirtingų argumentų reikšmės nesutampa ir nelieka nepanaudotų kodomeno elementų.

Pasiruoškite žymėjimą ir išnagrinėkite vieną visą rodyklių lentelę

Skyriuje „Funkcijos, apibrėžimo ir reikšmių sritys“ pateikiama sąlyga, kad kiekvienam argumentui tenka viena reikšmė, ir paaiškinamas skirtumas tarp nurodyto kodomeno ir tikrųjų reikšmių. Skyriuje „Funkcijų kompozicija ir atvirkštinės funkcijos“ paaiškinama, kaip pirmiausia apskaičiuoti vidinės funkcijos reikšmę ir kaip apgręžti funkciją jos tikrojoje reikšmių aibėje. Skyrius „Pavyzdžiai, paaiškinimai ir kontrpavyzdžiai“ padeda įrodyti bendrą teiginį arba jį paneigti leistinu atveju. Skyrius „Simboliai, apibrėžimai ir matematikos kalba“ padeda suteikti simboliams reikšmes ir nurodyti jų taikymo sritį.

Čia a ∈ A reiškia, kad a yra aibės A elementas. Teiginys S ⊆ B reiškia, kad kiekvienas aibės S elementas priklauso aibei B. Sandaugą A × B sudaro sutvarkytosios poros (a, b), kurių a ∈ A ir b ∈ B. Sąryšis iš A į B yra bet kuris A × B poaibis. Papildomas funkcijos sąlygas apibrėšime toliau, todėl vien rodyklių diagramai suprasti ankstesnė pamoka apie aibes nėra būtina.

Skaitydami pirmą kartą, sekite trijų kortelių priskyrimą, sutapimo ir nepanaudotos spintelės pavyzdžius bei vieną atvirkštinę lentelę. Prie baigtinių aibių elementų skaičiavimu pagrįstų įrodymų, dviejų kompozicijos įrodymų ir pavyzdžių su bet kokiais realiaisiais skaičiais grįžkite tada, kai galėsite nurodyti vieno visiškai apibrėžto baigtinio atvaizdžio apibrėžimo sritį, tikslinę aibę ir reikšmių sritį.

Funkcija kiekvienam argumentui priskiria lygiai vieną reikšmę

Funkcija f : A → B yra sąryšis, esantis A × B poaibiu, toks, kad kiekvienam a ∈ A egzistuoja lygiai vienas b ∈ B, kuriam f(a) = b. Aibė A yra jos apibrėžimo sritis, o B – deklaruota tikslinė aibė. Formulė yra vienas iš būdų nurodyti priskyrimus, tačiau išsami baigtinė lentelė gali juos nurodyti ir be formulės.

Argumentams tikrinamos dvi sąlygos. Aprėpties sąlyga reikalauja, kad kiekvienam a ∈ A būtų priskirta bent viena reikšmė. Vienareikšmiškumo sąlyga reikalauja, kad kiekvienam a būtų priskirta ne daugiau kaip viena reikšmė. Jei iš kortelės 2 nenubrėžiama rodyklė, aibėje {0, 1, 2} pažeidžiama aprėpties sąlyga. Jei iš kortelės 1 rodyklės vedamos ir į 11, ir į 12, pažeidžiama vienareikšmiškumo sąlyga. Kai dviem skirtingoms kortelėms priskiriama ta pati spintelė, nepažeidžiama nė viena iš šių sąlygų: kiekviena kortelė vis tiek gali turėti lygiai vieną priskirtą reikšmę.

Pirmiausia nustatomos leistinos aibės. Pora (2, 99) nepriklauso {0, 1, 2} × {10, 11, 12}, todėl ji neapibrėžia leistino priskyrimo į šią tikslinę aibę. Pakartotinai užrašyta pora (1, 11) tebėra ta pati matematinė pora, o ne dvi skirtingos reikšmės.

Šioje pamokoje, teigiant funkcijos savybes ir teikiant teiginius apie atvirkštinę funkciją, išlaikomas deklaruotas tipas A → B. Pakeitus B, pasikeičia tai, ką turi pasiekti siurjektyvi funkcija, net jei priskirtų porų grafikas nesikeičia. Vien teiginys, kad du rodyklių sąrašai sutampa, nenurodo tikslinės aibės, kurios atžvilgiu teigiama, kad funkcija yra siurjektyvi.

Reikšmių sritis – tikslinės aibės dalis, į kurią veda rodyklės

Funkcijos f : A → B reikšmių sritis yra f(A) = {f(a) : a ∈ A}. Tai yra B poaibis. Apibrėžimo sritis apima visus leistinus argumentus, tikslinė aibė – deklaruotus priskyrimo taikinius, o reikšmių sritis – tik faktiškai pasiektus taikinius.

Variante su keturiomis spintelėmis A = {0, 1, 2}, B = {10, 11, 12, 13}, o f(A) = {10, 11, 12}. Spintelė 13 yra leistinas taikinys, kuriam nepriskirta nė viena kortelė. Ji netampa funkcijos reikšme vien todėl, kad priklauso B.

Deklaruotą tikslinę aibę B galime pakeisti tikslia reikšmių sritimi f(A), palikdami tą pačią apibrėžimo sritį ir visus priskyrimus. Tai vadinama funkcijos tikslinės aibės susiaurinimu iki jos reikšmių srities. Gauta funkcija visada yra siurjektyvi naujosios tikslinės aibės atžvilgiu, o esamas reikšmių sutapimas neišnyksta. Neištrinkite reikšmių, kad dirbtinai gautumėte mažesnę tikslinę aibę, kuri neapima reikšmių srities.

Injektyvumas lygina du leistinus argumentus

Funkcija f : A → B yra injektyvi, jei visiems a, a′ ∈ A iš f(a) = f(a′) išplaukia a = a′. Kitaip tariant, skirtingi leistini argumentai visada duoda skirtingas reikšmes. Pradinė funkcijos sąlyga kiekvienam argumentui priskiria vieną reikšmę; injektyvumas papildomai reikalauja, kad kiekvieną reikšmę atitiktų ne daugiau kaip vienas argumentas.

Injektyvumui paneigti pakanka vieno skirtingų argumentų reikšmių sutapimo: a ≠ a′, bet f(a) = f(a′). Kortelių 0 ir 1 priskyrimas 10 yra toks kontrpavyzdys. Nepanaudotas tikslinės aibės elementas injektyvumo nepaneigia; priskyrime su keturiomis spintelėmis skirtingų argumentų reikšmės vis tiek nesutampa.

Išsamioje baigtinėje diagramoje į kiekvieną tikslinės aibės elementą nukreipta ne daugiau kaip viena rodyklė tada ir tik tada, kai funkcija yra injektyvi. Kai apibrėžimo sritis begalinė, kelios rodyklės ar pasirinktos reikšmės negali įrodyti visuotinės sąlygos. Pradėkite nuo bet kurių leistinų a ir a′, tarkite, kad jų reikšmės sutampa, ir remdamiesi funkcijos taisykle įrodykite, kad argumentai sutampa.

Surjektyvumas prasideda nuo bet kurio nurodytos tikslinės aibės elemento

Funkcija f : A → B yra surjektyvi, arba atvaizduoja į visą B, jei kiekvienam b ∈ B egzistuoja a ∈ A, kuriam f(a) = b. Pasirinktas argumentas gali priklausyti nuo b. Tai lygiavertiška sąlygai f(A) = B. Tai nereiškia, kad vienas argumentas duoda visas reikšmes.

Nepanaudotas leistinas tikslinės aibės elementas paneigia surjektyvumą: raskite b ∈ B, kurio neduoda nė vienas leistinas argumentas. Spintelė 13 yra surjektyvumo nebuvimo kontrpavyzdys priskyrime su keturiomis spintelėmis. Skirtingų argumentų reikšmių sutapimai surjektyvumo nepaneigia, jei vis dar pasiekiami visi tikslinės aibės elementai: keturios kortelės gali būti priskirtos visoms trims spintelėms, nors dvi kortelės priskirtos tai pačiai spintelei.

Funkcija yra bijektyvi, kai ji yra ir injektyvi, ir surjektyvi. Kitaip tariant, kiekvienas b ∈ B turi lygiai vieną pirmvaizdį aibėje A: surjektyvumas užtikrina egzistavimą, o injektyvumas – vienatinumą. Elemento b pirmvaizdžių aibę sudaro visi a ∈ A, kuriems f(a) = b; ši aibė gali būti tuščia, vienaelementė arba turėti kelis elementus.

Tuščios pagrindinės aibės vis tiek turi tenkinti nurodytą funkcijos sąlygą

Bet kuriai aibei B egzistuoja lygiai viena funkcija ∅ → B: tuščiasis sąryšis. Apibrėžimo srityje nėra nė vieno elemento, kuriam reikėtų priskirti reikšmę, todėl funkcijos sąlyga ir injektyvumo sąlyga tenkinamos savaime. Jos reikšmių aibė yra ∅. Ji yra surjektyvi tada ir tik tada, kai B = ∅, nes netuščioje aibėje B yra elementas, neturintis pirmavaizdžio.

Funkcijos iš netuščios aibės A į ∅ nėra. Kiekvienam a ∈ A reikėtų priskirti reikšmę tikslinėje aibėje, kurioje nėra elementų. Tuščiasis sąryšis vis tiek yra sąryšis aibėje A × ∅, tačiau jis netenkina reikalavimo apimti visus argumentus. Šio funkcija nesančio sąryšio nevadinkite injektyviu ar surjektyviu.

Tuščioji funkcija ∅ → ∅ yra bijektyvi. Ir jos atvirkštinis sąryšis, ir atvirkštinė funkcija yra tuščioji funkcija, o abi atvirkštinės funkcijos tapatybės galioja tuščiose aibėse. Tuščia diagrama vaizduoja būtent šį atvejį; joje nėra išgalvoto elemento, žyminčio argumentą ar tikslinės aibės elementą.

Baigtinių aibių dydžiai riboja rodykles, bet neklasifikuoja kiekvienos taisyklės

Tarkime, kad A ir B yra baigtinės aibės, o f : A → B iš tiesų yra funkcija. Jų elementų skaičius žymėkime |A| = n ir |B| = m. Jei f yra injektyvi, jos n argumentų atitinka n skirtingų aibės B elementų, todėl n ≤ m. Jei n > m, jokia tokia funkcija negali būti injektyvi: bent du argumentai turi turėti tą pačią reikšmę.

Jei f yra surjektyvi, visų m tikslinės aibės elementų pirmavaizdžių aibės yra netuščios, nesikertančios ir kartu apima visus n argumentų. Sudėję jų baigtinius elementų skaičius, gauname n kaip m teigiamų sveikųjų skaičių sumą, todėl n ≥ m. Jei n < m, jokia funkcija A → B negali pasiekti kiekvieno tikslinės aibės elemento.

Kai n = m, injektyvi funkcija pasiekia n skirtingų tikslinės aibės elementų, taigi visus m elementų, todėl ji yra surjektyvi. Ir atvirkščiai: jei surjektyvi funkcija dviem skirtingiems argumentams priskirtų tą pačią reikšmę, jos n argumentų atitiktų ne daugiau kaip n − 1 skirtingų tikslinės aibės elementų. Tai prieštarautų reikalavimui pasiekti visus m = n elementų. Taigi funkcijoms tarp baigtinių aibių, turinčių vienodą elementų skaičių, injektyvumas, surjektyvumas ir bijektyvumas yra lygiaverčiai.

Elementų skaičių nelygybės yra būtinosios sąlygos, o ne konkrečios funkcijos klasifikacija. Trys argumentai ir trys tikslinės aibės elementai leidžia sudaryti bijekciją, tačiau pastovusis priskyrimas nėra nei injektyvus, nei surjektyvus, kai tikslinėje aibėje yra trys elementai. Nustačius tuščiosios funkcijos egzistavimą, šie samprotavimai apima ir atvejį n = m = 0. Kai n > 0 ir m = 0, funkcijos apskritai nėra.

Netaikykite išvados apie vienodą elementų skaičių turinčias baigtines aibes begalinėms aibėms. Aibėje ℕ₀ = {0, 1, 2, …} atvaizdis n ↦ n + 1 turi tą pačią apibrėžimo sritį ir tikslinę aibę, yra injektyvus ir nepasiekia 0. Jo injektyvumo įrodyme iš n + 1 = n′ + 1 gaunama n = n′; nepasiekiamas tikslinės aibės elementas nurodytas aiškiai.

Apgręžtos rodyklės sudaro funkciją aibėje B tada ir tik tada, kai turime bijekciją

Atvirkštinis sąryšis apgręžia kiekvieną porą: iš (a, b) gaunama (b, a). Jis visada yra sąryšis, esantis B × A poaibiu, tačiau nebūtinai yra funkcija B → A. Pradinio sąryšio nepasiektas tikslinės aibės elementas tampa apgręžto sąryšio argumentu, neturinčiu reikšmės. Dviem skirtingiems pradiniams argumentams priskirta ta pati reikšmė tampa apgręžto sąryšio argumentu, turinčiu dvi skirtingas reikšmes.

Pradinė funkcija su deklaruota tiksline aibe

Ar sąryšis apibrėžia deklaruotą funkciją?

Taip

Visų porų dėmenys sukeisti visoje pradinėje tikslinėje aibėje

Ar sąryšis apibrėžia deklaruotą funkciją?

Ne

Šis sąryšis netenkina deklaruotos funkcijos sąlygos. Teiginiai apie injektyvumą, siurjektyvumą, reikšmių sritį ir atvirkštinę funkciją čia nepateikiami; susietųjų reikšmių ir argumentų lentelėse vis tiek tiksliai pateikiamas sąryšis.

Pradinė funkcija nėra bijekcija į deklaruotą tikslinę aibę, todėl šis atvirkštinis sąryšis nėra atvirkštinė funkcija visoje toje tikslinėje aibėje.

Tos pačios priskirtys, tikslinę aibę pakeitus faktine reikšmių aibe

Ar sąryšis apibrėžia deklaruotą funkciją?

Taip

Apgręžtos poros susiaurinus tikslinę aibę

Ar sąryšis apibrėžia deklaruotą funkciją?

Taip

Funkcija, kurios tikslinė aibė susiaurinta iki reikšmių aibės, yra bijektyvi; jos atvirkštinis sąryšis yra atvirkštinė funkcija, kurios apibrėžimo sritis sutampa su pradinės funkcijos reikšmių aibe.

Jei f : A → B yra bijektyvi, kiekvienas b ∈ B turi lygiai vieną pradinį argumentą a. Apibrėžkime k(b) kaip tą vienintelį a. Tuomet k : B → A yra funkcija, k(f(a)) = a kiekvienam a ∈ A ir f(k(b)) = b kiekvienam b ∈ B. Tai atvirkštinė funkcija f⁻¹. Laipsnio rodiklis −1 čia žymi apgręžimą, o ne atvirkštinį dydį 1/f(a).

Ir atvirkščiai, tarkime, kad funkcija k : B → A tenkina abi tapatybes. Jei f(a) = f(a′), pritaikę k gauname a = a′, taigi f yra injektyvi. Kiekvienam b ∈ B argumentas k(b) priklauso A, o jo vaizdas yra b, taigi f yra siurjektyvi. Vadinasi, atvirkštinė funkcija, apibrėžta visoje nurodytoje aibėje B, egzistuoja tada ir tik tada, kai f yra bijektyvi. Ji yra vienintelė, nes kiekviena atvirkštinė funkcija turi atvaizduoti b į vienintelį jo pirmvaizdį.

Injektyvi funkcija, kurios vaizdas neapima dalies B, neturi atvirkštinės funkcijos, kurios apibrėžimo sritis būtų visa B. Apribojus jos tikslinę aibę iki f(A), ji tampa bijektyvi ir turi atvirkštinę funkciją f(A) → A. Apribojus neinjektyvios funkcijos tikslinę aibę iki jos vaizdo, ji tampa siurjektyvi, tačiau apgręžtoje atitiktyje išlieka reikšmių sutapimo problema; atvirkštinė funkcija vis tiek neegzistuoja. Šiuose atvirkštinių funkcijų įrodymuose nesirenkama savavališkai vieno iš kelių pirmvaizdžių.

Sudarykite suderintų tipų funkcijų kompoziciją ir įrodykite kiekvieną uždarumo savybę

Tegu f : A → B ir g : B → C. Jų kompozicija g ∘ f : A → C atvaizduoja a į g(f(a)): pirmiausia taikoma f. Kiekviena tarpinė reikšmė f(a) priklauso B, todėl jai galima taikyti g. Bendresniu atveju pakanka, kad f(A) būtų g apibrėžimo srities poaibis, tačiau mūsų pilnose funkcijų grandinėse su nurodytais tipais naudojama ta pati nurodyta tarpinė aibė B.

Pirmajame etape sukeičiamos dviejų pažymėtų elementų priskirtys; antrajame du tarpinės aibės elementai atvaizduojami į du skirtingus galutinės aibės elementus.

Gautoji funkcija iš A į C

Ar sąryšis apibrėžia deklaruotą funkciją?

Taip

Jei ir f, ir g yra injektyvios, tarkime, kad g(f(a)) = g(f(a′)). Iš g injektyvumo gauname f(a) = f(a′), o iš f injektyvumo – a = a′. Taigi g ∘ f yra injektyvi. Įrodyme panaudojamos abi priežastys, dėl kurių skirtingų argumentų vaizdai nesutampa; vien vidinės funkcijos injektyvumas nebūtinai užkerta kelią išorinei funkcijai atvaizduoti jos skirtingas reikšmes į tą pačią reikšmę.

Jei ir f, ir g yra siurjektyvios, imkime bet kurį c ∈ C. Iš g siurjektyvumo gauname b ∈ B, kuriam g(b) = c; iš f siurjektyvumo gauname a ∈ A, kuriam f(a) = b. Todėl g(f(a)) = c, ir tai įrodo, kad g ∘ f yra siurjektyvi. Vien išorinės funkcijos siurjektyvumo nepakanka, jei f nepasiekia reikiamo tarpinio argumento.

Jei abi funkcijos yra bijektyvios, galioja abu ankstesni įrodymai, todėl jų kompozicija yra bijektyvi. Jos atvirkštinė funkcija yra f⁻¹ ∘ g⁻¹: pirmiausia apgręžkite išorinį etapą, tada vidinį. Atvirkštinės funkcijos tipas yra C → A, o įstatant bet kuria kryptimi abu etapai panaikinami atitinkamose nurodytose aibėse.

Kompozicijos savybė lemia tik atitinkamo etapo savybę

Jei g ∘ f yra injektyvi, tai f yra injektyvi. Iš tiesų, iš f(a) = f(a′) išplaukia g(f(a)) = g(f(a′)); iš kompozicijos injektyvumo gauname a = a′. Tai nebūtinai reiškia, kad g yra injektyvi visoje B, nes f gali niekada nepasiekti tų tarpinės aibės elementų, kurių vaizdai taikant g sutampa.

Pirmuoju etapu nepasiekiamas tarpinės aibės elementas 12. Antruoju etapu 11 ir 12 atvaizduojami į tą patį elementą, tačiau pirmuoju etapu pasiekiamas tik 11.

Gautoji funkcija iš A į C

Ar sąryšis apibrėžia deklaruotą funkciją?

Taip

Jei g ∘ f yra siurjektyvi į C, tai g yra siurjektyvi į C. Kiekvienam c ∈ C kompozicijos pirmvaizdis a suteikia tarpinį pirmvaizdį f(a) ∈ B funkcijai g. Tai nebūtinai reiškia, kad f yra siurjektyvi į B, nes visą C galima pasiekti nenaudojant kiekvieno tarpinės aibės elemento.

Imkime A = {0, 1}, B = {10, 11, 12}, C = {20, 21}. Apibrėžkime f(0) = 10 ir f(1) = 11; apibrėžkime g(10) = 20, g(11) = 21 ir g(12) = 21. Kompozicija atvaizduoja 0 į 20, o 1 į 21, todėl ji yra bijektyvi. Tačiau f nepasiekia 12, o g reikšmės argumentams 11 ir 12 sutampa. Nė vienas etapas nėra bijektyvus.

Šis vienas išsamus pavyzdys paneigia abu klaidingus atvirkštinius teiginius: kompozicijos injektyvumas nereiškia, kad g yra injektyvi, o kompozicijos siurjektyvumas nereiškia, kad f yra siurjektyvi. Iš kompozicijos bijektyvumo pagrįstai išplaukia, kad f yra injektyvi, o g yra siurjektyvi. Vėlesnis etapas negali panaikinti ankstesniame etape įvykusio reikšmių sutapimo; pirmasis etapas negali pasiekti tikslinio elemento, kurio paskutinis etapas niekada nepasiekia.

Tos pačios formulės klasifikacija gali keistis keičiant aibes

Fiksuokime realiąsias konstantas α ir β, kur α ≠ 0. Atvaizdis f : ℝ → ℝ, apibrėžtas formule f(x) = αx + β, yra injektyvus: iš αx + β = αx′ + β gauname x = x′, atėmę β ir padaliję iš nenulinio α, iš kurio dalyti leidžiama. Jis yra siurjektyvus: bet kuriam realiajam y realusis argumentas x = (y − β)/α duoda y. Jo atvirkštinis atvaizdis yra y ↦ (y − β)/α, apibrėžtas visiems realiesiems y.

Šios dvi diagramos – pilni baigtiniai kėlimo kvadratu taisyklės apribojimai. Jos rodo skirtingų ženklų argumentų vaizdų sutapimą ir jo pašalinimą apribojant apibrėžimo sritį; tekste įrodomi atskiri teiginiai apie begalines realiųjų skaičių aibes.

Ar sąryšis apibrėžia deklaruotą funkciją?

Taip

Kai α = 2 ir β = 1, ta pati formulė, laikoma atvaizdžiu ℤ → ℤ, yra injektyvi, bet ne siurjektyvi: ji įgyja tiksliai visas nelygines sveikąsias reikšmes. Kiekvienas nelyginis y turi sveikąjį pirmavaizdį (y − 1)/2, tačiau 0 sveikojo pirmavaizdžio neturi. Vien rasti argumentą nepakanka; jis turi priklausyti nurodytai aibei.

Kėlimo kvadratu atvaizdis q : ℝ → ℝ, q(x) = x², nėra nei injektyvus, nei siurjektyvus. Argumentų −1 ir 1 vaizdai sutampa, o tikslinės aibės elementas −1 niekada nepasiekiamas. Susiaurinus tikslinę aibę iki [0, ∞), t. y. neneigiamų realiųjų skaičių, q tampa siurjektyvus, nes kiekviena reikšmė y ≥ 0 gaunama, kai argumentas yra √y, tačiau minėtų argumentų vaizdai vis tiek sutampa.

Susiaurinkime ir apibrėžimo sritį: q₊ : [0, ∞) → [0, ∞), q₊(x) = x². Jei x² = x′² ir x, x′ ≥ 0, tai (x − x′)(x + x′) = 0. Arba x = x′, arba iš x + x′ = 0 išplaukia, kad abu argumentai lygūs 0, taigi vėl yra lygūs. Atvaizdis yra siurjektyvus, nes galima imti x = √y, todėl jis yra bijektyvus, o jo atvirkštinis atvaizdis yra √y. Tapatybė √(x²) = x galioja šioje neneigiamų skaičių apibrėžimo srityje; visoje ℝ vietoj to gauname |x|.

Baigtinėje kėlimo kvadratu rodyklių diagramoje galima tiksliai parodyti sutampančius vaizdus ir pavyzdžius, tačiau ja negalima pagrįsti šių teiginių visiems realiesiems ar sveikiesiems argumentams. Tokią aprėptį suteikia bendrieji įrodymai. Tikslinės aibės susiaurinimas keičia tikslinę aibę; apibrėžimo srities susiaurinimas keičia leistinus argumentus. Tai skirtingos operacijos.

Numatykite klasifikaciją, tada išnagrinėkite visus baigtinio modelio duomenis

Užduotyje „Funkcijos patikra“ pirmiausia numatykite, ar sąryšis apibrėžia funkciją būtent iš nurodytos A į nurodytą B. Tada išnagrinėkite kiekvieno argumento reikšmių aibę ir kiekvieno tikslinės aibės elemento pirmavaizdžių aibę. Išsami rodyklių diagrama ir lentelės leidžia atskirti argumentą be reikšmės, argumentą su keliomis reikšmėmis, reikšmių sutapimą, nepasiektą tikslinės aibės elementą ir visus tris atvejus su tuščiomis aibėmis.

Užduotyje „Apgręžkite rodykles“ palyginkite atvirkštinį sąryšį visoje B su atvirkštiniu sąryšiu, gaunamu pakeitus B tikrąja reikšmių aibe. Argumentų ir reikšmių aibės susikeičia vietomis. Tuščia pirmavaizdžių aibė pažeidžia apibrėžtumo visoje aibėje sąlygą; du pirmavaizdžiai pažeidžia vienareikšmiškumą. Lentelė patikrina abi atvirkštinės funkcijos tapatybes tik tada, kai atvirkštinė funkcija iš tiesų egzistuoja.

Užduotyje „Sudarykite etapų kompoziciją“ sekite kiekvieną a per tarpinę reikšmę f(a) iki g(f(a)). Atskirai palyginkite visas tris klasifikacijas. Kontrpavyzdyje su bijektyvia kompozicija naudojamas tarpinės aibės elementas, kurio pirmoji funkcija niekada nepasiekia; paskutinės funkcijos reikšmių sutapimas, susijęs su tuo elementu, nesukelia kompozicijos reikšmių sutapimo.

Tai išsamūs baigtiniai modeliai, o ne pavyzdžiai, pateikiami kaip įrodymai begalinėms aibėms. Gerame atsakyme įvardijamos nagrinėjamos aibės, pirmiausia nustatoma, ar tenkinama funkcijos sąlyga, ir pateikiamas tinkamas įrodymas su bet kuriuo argumentu arba konkretus sąlygos pažeidimą liudijantis pavyzdys. Pakeitę kurią nors aibę, iš naujo nurodykite kiekvieno teiginio apie siurjektyvumą ar atvirkštinę funkciją tikslinę aibę.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Apibrėžkite A = {0, 1, 2} ir B = {10, 11, 12}. Palyginkite poras (0, 10), (1, 11) su poromis (0, 10), (1, 11), (1, 12), (2, 12). Ar kuris nors iš šių porų rinkinių apibrėžia funkciją A → B?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nė vienas. Pirmajame argumentui 2 nepriskirta jokia reikšmė; antrajame argumentui 1 priskirtos dvi skirtingos reikšmės.

   Kiekvienam argumentui turi būti priskirta reikšmė, ir ji turi būti vienintelė. Šioje pamokoje injektyvumas ar siurjektyvumas vertinamas tik įsitikinus, kad apibrėžtas sąryšis iš tiesų yra funkcija.

2. Tegu A = {0, 1, 2}, B = {10, 11}, o f(0) = f(1) = 10, f(2) = 11. Ar tai funkcija? Ar ji injektyvi arba siurjektyvi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tai funkcija, siurjektyvi į B, bet ne injektyvi.

   Kiekvienam argumentui priskirta viena reikšmė; ta pati skirtingiems argumentams priskirta reikšmė šios sąlygos nepažeidžia. Kiekvienas tikslinės aibės elementas pasiekiamas. Skirtingiems argumentams 0 ir 1 priskirta ta pati reikšmė, todėl funkcija nėra injektyvi.

3. Siurjektyvumas reiškia, kad kiekvienam b ∈ B egzistuoja bent vienas a ∈ A, kuriam f(a) = b. Ar tas pats argumentas a turi tikti kiekvienam b? Ar siurjekcijoje du argumentai gali turėti tą pačią reikšmę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Argumentas gali priklausyti nuo b. Dviem argumentams gali būti priskirtas tas pats tikslinės aibės elementas, jei kiekvienas tikslinės aibės elementas vis tiek turi bent vieną pirmavaizdį.

   Kvantorių tvarka reiškia, kad kiekvienam tikslinės aibės elementui egzistuoja argumentas; ji nereiškia, kad egzistuoja vienas argumentas visiems tikslinės aibės elementams. Injektyvumas, o ne siurjektyvumas, neleidžia skirtingiems argumentams turėti tos pačios reikšmės.

4. Funkcija atvaizduoja baigtinę trijų elementų aibę A į baigtinę trijų elementų aibę B. Jei ji injektyvi, ar ji būtinai siurjektyvi? Ar vien to, kad elementų skaičiai lygūs, pakanka įrodyti, kad ji bijektyvi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Šiuo baigtinių vienodo dydžio aibių atveju iš injektyvumo išplaukia siurjektyvumas. Vien elementų skaičių lygybės nepakanka bijektyvumui nustatyti.

   Trys skirtingos reikšmės trijų elementų aibėje B apima visus tikslinės aibės elementus. Pastovioji taisyklė tam pačiam tipui yra funkcija, tačiau skirtingiems argumentams priskiria tą pačią reikšmę ir nepasiekia dviejų tikslinės aibės elementų.

5. A ir B yra baigtinės aibės. Ar funkcija, kurios |A| = 5 ir |B| = 3, gali būti injektyvi? Ar funkcija, kurios |A| = 2 ir |B| = 4, gali būti siurjektyvi? Kiekvieną atsakymą pagrįskite elementų skaičiumi.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abiem atvejais – ne. Penkios skirtingos reikšmės negali tilpti į trijų elementų tikslinę aibę; du argumentai negali pasiekti keturių skirtingų tikslinės aibės elementų.

   Injektyvumui būtina |A| ≤ |B|, o siurjektyvumui būtina |A| ≥ |B|. Tai yra tikrų funkcijų savybių pasekmės, o ne pakaitalas patikrinimui, ar kiekvienas argumentas turi reikšmę ir ar ji vienintelė.

6. Suklasifikuokite tuščiąjį sąryšį tipams ∅ → ∅, ∅ → {10} ir {0} → ∅. Kurių tipų atveju jis yra funkcija, injektyvus, siurjektyvus ir bijektyvus?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ∅ → ∅ yra bijektyvi funkcija. ∅ → {10} yra injektyvi, bet ne siurjektyvi funkcija. Sąryšis tipui {0} → ∅ nėra funkcija.

   Tuščios apibrėžimo sritys nereikalauja priskirti reikšmių ir nesukelia reikšmių sutapimų. Siurjektyvumui į {10} vis tiek būtinas elemento 10 pirmvaizdis. Netuščia apibrėžimo sritis {0} reikalauja reikšmės tuščioje tikslinėje aibėje, o tai neįmanoma.

7. Injektyvios funkcijos A → B vaizdas S yra tikrasis aibės B poaibis. Ar jos atvirkštinis sąryšis yra funkcija aibėje B? Kas pasikeičia susiaurinus tikslinę aibę iki S?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atvirkštinis sąryšis nėra funkcija visoje aibėje B, nes kiekvienas B elementas, nepriklausantis S, neturi reikšmės. Susiaurinus tikslinę aibę, atvirkštinis sąryšis yra atvirkštinė funkcija S → A.

   Injektyvumas užtikrina, kad yra ne daugiau kaip vienas pirmavaizdis, o surjektyvumas į atvirkštinio atvaizdžio apibrėžimo sritį – kad yra bent vienas. Norint apgręžti visą nurodytą tipą, būtinos abi savybės.

8. Funkcija priskiria ir 0, ir 1 reikšmę 10, o 2 priskiria reikšmę 11. Ar susiaurinus jos galimų reikšmių aibę iki {10, 11} ji gali tapti bijektyvi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Ji tampa surjektyvi į {10, 11}, tačiau sutapimas f(0) = f(1) = 10 išlieka.

   Susiaurinus galimų reikšmių aibę, apibrėžimo sritis ir reikšmių priskyrimai nesikeičia. Atvirkštinis sąryšis argumentui 10 vis tiek priskiria dvi skirtingas reikšmes. Pasirinkus tik vieną, būtų atmesta viena pradinio atvaizdžio pora, todėl gautas atvaizdis nebūtų abipusis atvirkštinis atvaizdis.

9. Tarkime, f : A → B ir g : B → C. Ką galima pasakyti apie atskirus atvaizdžius, jei g ∘ f yra injektyvus? Ką galima pasakyti, jei jis yra surjektyvus? Ar abu atvaizdžiai turi būti bijektyvūs, jei jų kompozicija yra bijektyvi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jei kompozicija injektyvi, f būtinai yra injektyvus. Jei kompozicija surjektyvi, g būtinai yra surjektyvus. Bijektyvios kompozicijos atskiri atvaizdžiai nebūtinai yra bijektyvūs.

   Jei f dviem skirtingiems argumentams priskiria tą pačią reikšmę, pritaikius g jų kompozicijos reikšmės taip pat sutampa; kompozicijos pirmavaizdis per savo tarpinę reikšmę duoda ir g pirmavaizdį. Išsamiame pavyzdyje su A = {0, 1}, B = {10, 11, 12}, C = {20, 21} kompozicija yra bijektyvi, nors f nepasiekia 12, o g priskiria 11 ir 12 tą pačią reikšmę.

10. Tarkime, f : {0} → {10, 11} priskiria 0 reikšmę 10, o g : {10, 11} → {20, 21} priskiria 10 reikšmę 20 ir 11 reikšmę 21. Ar g surjektyvumo pakanka, kad g ∘ f būtų surjektyvus?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    Ne. Kompozicija vieninteliam savo argumentui 0 priskiria reikšmę 20 ir nepasiekia galimų reikšmių aibės elemento 21.

    Vienintelis 21 pirmavaizdis tarpinėje aibėje yra 11, tačiau f niekada nepasiekia 11. Kompozicijos surjektyvumo įrodymui reikia, kad abu atvaizdžiai būtų surjektyvūs į savo nurodytas galimų reikšmių aibes.

11. Palyginkite x² kaip atvaizdžius ℝ → ℝ, ℝ → [0, ∞) ir [0, ∞) → [0, ∞). Nurodykite kiekvieno klasifikaciją ir ją pagrindžiantį pavyzdį arba įrodymą.

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    Pirmasis nėra nei injektyvus, nei surjektyvus. Antrasis yra surjektyvus, bet ne injektyvus. Trečiasis yra bijektyvus, o jo atvirkštinis atvaizdis yra √y, kai y ≥ 0.

    Pirmosiose dviejose apibrėžimo srityse argumentai −1 ir 1 duoda tą pačią reikšmę, o reikšmė −1 lieka nepasiekta tik tada, kai ji priklauso nurodytai tikslinei aibei ℝ. Kiekviena reikšmė y ≥ 0 gaunama, kai argumentas yra √y. Neneigiamų skaičių apibrėžimo srityje vienodi kvadratai reiškia vienodus argumentus, todėl pagal paskutinę taisyklę kiekviena reikšmė taip pat turi vienintelį pirmvaizdį.

12. Aibėje ℕ₀ = {0, 1, 2, …} atvaizdžio n ↦ n + 1 apibrėžimo sritis ir tikslinė aibė sutampa. Ar jis bijektyvus? Kodėl vienodo dydžio baigtinių aibių taisyklė neleidžia išspręsti šio pavyzdžio?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    Jis injektyvus, bet ne surjektyvus, nes nepasiekia 0. Šių trijų savybių lygiavertiškumas vienodo dydžio aibėms galiojo tik tada, kai aibės buvo baigtinės.

    Pridėjus 1, skirtingi sveikieji argumentai lieka nelygūs, tačiau joks neneigiamas sveikasis skaičius, pridėjus 1, netampa 0. Begalinėje pagrindinėje aibėje injektyvus atvaizdis gali nepasiekti kurio nors tikslinės aibės elemento; baigtinių aibių elementų skaičiavimu paremtas įrodymas čia netaikomas.

Ką verta įsidėmėti

• Funkcija kiekvienam nurodytam argumentui priskiria lygiai vieną reikšmę savo tikslinėje aibėje. Klasifikuokite ją tik įsitikinę, kad ši sąlyga tenkinama.
• Injektyvumas neleidžia skirtingiems argumentams turėti tos pačios reikšmės; surjektyvumas užtikrina, kad pasiekiamas kiekvienas nurodytos tikslinės aibės elementas. Bijektyvumas užtikrina, kad kiekvienas tikslinės aibės elementas turi lygiai vieną pirmvaizdį.
• Baigtinių aibių injekcijoms būtina |A| ≤ |B|, o surjekcijoms – |A| ≥ |B|. Kai baigtinės aibės yra vienodo dydžio ir atvaizdis iš tiesų yra funkcija, injektyvumas ir surjektyvumas yra lygiaverčiai.
• Abipusis atvirkštinis atvaizdis visoje B egzistuoja tada ir tik tada, kai f : A → B yra bijektyvus. Injektyvus, bet ne surjektyvus atvaizdis turi atvirkštinį atvaizdį savo įgyjamų reikšmių aibėje, susiaurinus tikslinę aibę iki šios aibės.
• Suderinamų atvaizdžių kompozicijos išsaugo injektyvumą, surjektyvumą ir bijektyvumą, kai abu atvaizdžiai turi atitinkamą savybę. Kompozicijos injektyvumas būtinai reiškia tik vidinio atvaizdžio injektyvumą; kompozicijos surjektyvumas būtinai reiškia tik išorinio atvaizdžio surjektyvumą.
• Apibrėžimo sritys ir tikslinės aibės turi įtakos išvadai, taip pat ir tuščių pagrindinių aibių bei begalinėms aibėms taikomų formulių atvejais. Baigtinė schema iliustruoja tikslius baigtinio atvejo duomenis, o ne įrodo visuotinį teiginį apie begalinę aibę.