Ekvivalentiškumo sąryšiai ir skaidiniai

Grupavimo taisyklė nustato, kurios kortelės priklauso tai pačiai grupei

Ant šešių kortelių užrašykite 0, 1, 2, 3, 4 ir 5. Sugrupuokite korteles, kurių skaičius dalijant iš 3 gaunama ta pati liekana. Grupės yra {0, 3}, {1, 4} ir {2, 5}. Kiekviena kortelė turi vienus namus. Pirmąją grupę pavadinus 3, o ne 0, jai priklausančios kortelės nesikeičia.

Skirtingos klasės ir jų pavadinimai

Faktorinė aibė kaip klasių rinkinys

A/R = {{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}}

Dabar tą patį išdėstymą aprašykite sąryšiu: dvi kortelės yra susijusios, kai jos priklauso tai pačiai grupei. Kiekviena kortelė yra susijusi su savimi. Jei 0 yra susijusi su 3, tai 3 yra susijusi su 0. Jei dvi viena po kitos einančios susijusių kortelių poros turi bendrą vidurinę kortelę, jų kraštinės kortelės taip pat priklauso tai pačiai grupei. Tai trys ekvivalentiškumo savybės.

Siūlomas grupavimas gali netikti. Jei kortelė priklauso dviem skirtingoms grupėms arba kurios nors kortelės trūksta, tai nėra toks padalijimas į atskirus namus. Tiksliai suformuluosime sąlygas, tada įrodysime, kad jas tenkinančios grupės ir ekvivalentiškumo sąryšiai aprašo tą pačią struktūrą.

Pasiruoškite žymėjimą ir pirmiausia išnagrinėkite vieną grupavimą

„Simboliai, apibrėžimai ir matematikos kalba“ padeda suteikti simboliams aiškias reikšmes ir nurodyti teiginio taikymo sritį. „Kintamieji, reiškiniai ir keitimas“ padeda suprasti xRy kaip sąlygą dviem įvesties reikšmėms. „Veiksmų tvarka ir aritmetikos savybės“ padeda suprasti sveikųjų skaičių skirtumus kongruencijos pavyzdyje. „Pavyzdžiai, paaiškinimai ir kontrpavyzdžiai“ padeda tikrinti teiginį remiantis bendru argumentu arba vienu sąlygas tenkinančiu atveju, kuriam teiginys negalioja.

Aibė A yra mūsų leistinų objektų rinkinys. Teiginys a ∈ A reiškia, kad a yra aibės A elementas. Teiginys B ⊆ A reiškia, kad kiekvienas aibės B elementas priklauso aibei A; B yra aibės A poaibis. Elementas yra vienas aibės objektas, o poaibis pats yra leistinų objektų aibė. Dekarto sandaugą A × A sudaro visos sutvarkytosios poros (x, y), kurių abu elementai priklauso aibei A. Sąryšis R aibėje A yra šios sandaugos poaibis; xRy reiškia, kad (x, y) priklauso R. Ekvivalentiškumo sąryšį taip pat žymime x ∼ y. Dviejose ankstesnėse pamokose apie aibes šios sąvokos nagrinėjamos išsamiau; čia reikalingi apibrėžimai pateikti šioje pastraipoje.

Skaitydami pirmą kartą, iš eilės peržiūrėkite šešias korteles, trijų aksiomų patikras ir klasės apskaičiavimą. Tada išnagrinėkite įrodymą, kaip iš skaidinio gaunamas sąryšis. Kai galėsite paaiškinti vieną klasę ir jos elementus, grįžkite prie įrodymo, kad klasės sutampa arba nesikerta, faktoraibės žymėjimo, bendrojo kongruentumo įrodymo ir susitarimų dėl tuščios apibrėžimo srities.

Kiekvienas ekvivalentiškumo sąryšis turi tenkinti tris skirtingas sąlygas

Refleksyvumas reiškia, kad xRx kiekvienam x ∈ A. Simetriškumas reiškia, kad visiems x, y ∈ A iš xRy išplaukia yRx. Tranzityvumas reiškia, kad visiems x, y, z ∈ A iš xRy ir yRz kartu išplaukia xRz. R yra ekvivalentiškumo sąryšis aibėje A tada ir tik tada, kai galioja visos trys savybės.

Ar tai ekvivalentiškumo sąryšis?

Taip

Šie kvantoriai taikomi visai nurodytai apibrėžimo sričiai, o ne tik poroms, jau įtrauktoms į R. Norėdami patikrinti refleksyvumą, patikrinkite kiekvieną leistiną įstrižainės porą. Norėdami patikrinti simetriškumą, sukeiskite vietomis kiekvienos sąryšiui priklausančios poros elementus. Norėdami patikrinti tranzityvumą, patikrinkite kiekvieną dviejų grandžių grandinę, įskaitant grandines su pasikartojančiais objektais.

Kai A yra baigtinė aibė, visus atvejus galima patikrinti naudojant visą matricą. T eilutėje x ir stulpelyje y reiškia xRy; F reiškia, kad ši pora sąryšiui nepriklauso. Grafo kilpos atitinka įstrižainės įrašus T. Dvi priešingų krypčių rodyklės leidžia patikrinti porą su sukeistais elementais, o kelias x → y → z reikalauja tiesioginės rodyklės x → z. Atstumai grafe sąryšio neapibrėžia.

Begalinėje apibrėžimo srityje baigtinės imties patikra negali patvirtinti, kad aksioma galioja visiems leistiniems elementams. Įrodymui reikia argumento, galiojančio bet kuriems leistiniems elementams. Pakanka vienos trūkstamos leistinos įstrižainės poros, vienos trūkstamos poros su sukeistais elementais arba vienos dviejų grandžių grandinės, kuriai sąlyga negalioja, kad būtų paneigta atitinkama visuotinė savybė.

Dviejų sąlygų tenkinimas nereiškia trečiosios

Imkime A = {0, 1, 2}. Pirmiausia imkime R = {1, 2} × {1, 2}. Šis sąryšis yra simetrinis, nes sukeitus poros elementus vietomis pora lieka tame pačiame kvadrate. Jis yra tranzityvus, nes bet kurios dviejų grandžių grandinės galiniai elementai vis dar priklauso {1, 2}. Jis nėra refleksyvus aibėje A: trūksta poros (0, 0). Tas pats sąryšis būtų refleksyvus, jei jo apibrėžimo sritis būtų tik {1, 2}.

Toliau aibėje A apibrėžkime xRy tada ir tik tada, kai x ≤ y. Šis sąryšis yra refleksyvus ir tranzityvus. Jis nėra simetrinis: 0 ≤ 1, bet 1 ≤ 0 yra netiesa. Simetriškumas nėra tas pats, kas tranzityvumas.

Galiausiai aibėje A apibrėžkime xRy tada ir tik tada, kai |x − y| ≤ 1. Šis sąryšis yra refleksyvus ir simetrinis. Jis nėra tranzityvus: galioja 0R1 ir 1R2, bet 0R2 negalioja, nes |0 − 2| = 2. Kelis kartus pereinant prie artimo elemento galima viršyti leistiną atstumą.

Kiekviename iš šių trijų pavyzdžių atsisakoma vienos aksiomos, išlaikant kitas dvi. Tapatumo sąryšis, kuriame xRy reiškia x = y, ir universalusis sąryšis A × A tenkina visas tris aksiomas. Jų klasės yra atitinkamai vienelementės aibės ir vienintelis blokas A, kai A netuščia.

Klasę sudaro visi jos pasirinktam elementui ekvivalentiški objektai

Jei R yra ekvivalentiškumo sąryšis aibėje A ir a ∈ A, apibrėžiame [a] = {x ∈ A : aRx}. Tai ekvivalentiškumo klasė, aibės A poaibis. Iš refleksyvumo gauname, kad a priklauso [a], todėl kiekviena klasė yra netuščia. Dėl simetriškumo galima pateikti lygiavertį apibrėžimą naudojant xRa.

Skirtingos klasės ir jų pavadinimai

Faktorinė aibė kaip klasių rinkinys

A/R = {{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}}

Pagal šešių kortelių liekanų taisyklę [0] = {0, 3} ir [3] = {0, 3}. Taip pat [1] = [4] = {1, 4}, o [2] = [5] = {2, 5}. Galimi šeši žymenys [a], bet yra tik trys skirtingos klasės. Skirtingi žymenys savaime nereiškia skirtingų aibių.

Atstovas a yra elementas, naudojamas klasei [a] žymėti. Klasė [a] yra visas poaibis. Šiame pavyzdyje 0 ∈ [0], bet 0 nėra aibė {0, 3}. Laužtiniai skliaustai pakeičia aprašomo objekto tipą.

Jei sąryšis netenkina kurios nors ekvivalentiškumo aksiomos, aibę {x ∈ A : aRx} vis tiek galima sudaryti, tačiau ji nebūtinai turi ekvivalentiškumo klasės savybes. Netaikykite teoremos apie klases ir skaidinį, kol neįrodyta, kad tenkinamos visos trys aksiomos.

Bendrą elementą turinčios klasės sutampa

Pirmiausia tarkime, kad aRb. Jei x ∈ [a], tai aRx. Iš simetriškumo gauname bRa, o pritaikę tranzityvumą teiginiams bRa ir aRx gauname bRx. Taigi x ∈ [b], ir tai įrodo, kad [a] ⊆ [b]. Sukeitę a ir b vietomis, įrodome [b] ⊆ [a], todėl [a] = [b].

Atvirkščiai, tarkime, kad [a] = [b]. Iš refleksyvumo gauname a ∈ [a], todėl a ∈ [b], vadinasi, bRa. Iš simetriškumo gauname aRb. Taigi aRb tada ir tik tada, kai [a] = [b].

Jei c priklauso ir [a], ir [b], tai aRc ir bRc. Iš simetriškumo teiginį bRc pakeičiame į cRb, o iš tranzityvumo gauname aRb. Tuomet pagal ankstesnį rezultatą [a] = [b]. Vadinasi, bet kurios dvi klasės arba sutampa, arba neturi bendrų elementų.

Šis teiginys yra apie skirtingas klases, o ne skirtingus atstovus. Šešių kortelių pavyzdyje 0 ≠ 3, tačiau [0] = [3]. Šie du žymenys žymi tą patį bloką, todėl būtų klaidinga teigti, kad jų klasės nesikerta.

Skirtingos klasės padengia A ir nesikerta

Aibės A skaidinys yra netuščių A poaibių šeima, kurios sąjunga yra A ir kurios skirtingi blokai nesikerta. Netuščių A poaibių šeimoje padengimo ir nesikirtimo sąlygos reiškia, kad kiekvienas A elementas priklauso lygiai vienam blokui. Ši šeima yra blokų aibė: tą patį bloką užrašius du kartus, antras blokas neatsiranda.

Ar siūloma šeima sudaro skaidinį?

Ne

Šeima netenkina bent vienos skaidinio sąlygos. Jos indukuotą sąryšį patikrinkite atskirai: pavyzdžiui, tuščias blokas neprideda jokių porų ir gali nepakeisti ekvivalentiškumo sąryšio.

Ar siūloma šeima sudaro skaidinį?

Ne

Šeima netenkina bent vienos skaidinio sąlygos. Jos indukuotą sąryšį patikrinkite atskirai: pavyzdžiui, tuščias blokas neprideda jokių porų ir gali nepakeisti ekvivalentiškumo sąryšio.

Skirtingų ekvivalentiškumo klasių šeima yra skaidinys. Kiekviena klasė yra netuščias A poaibis. Kiekvienas a ∈ A priklauso [a], todėl šių klasių sąjunga padengia A. Teiginys, kad klasės arba sutampa, arba nesikerta, įrodo, jog skirtingos klasės nesikerta.

Kai A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, šeima {{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}} yra skaidinys. Įdėtiniai riestiniai skliaustai yra svarbūs: trys šios šeimos elementai yra A poaibiai. Kortelė 0 priklauso vienam iš šių poaibių; pati ji nėra blokas.

Vien denginys dar nėra skaidinys. Blokai {0, 1, 2} ir {2, 3, 4, 5} padengia A, bet turi bendrą elementą 2. Vien nesikertančių aibių šeima taip pat nėra skaidinys: {{0, 1}, {2, 3}, {4}} neapima 5. Tuščias blokas arba aibei A nepriklausantis elementas taip pat pažeidžia apibrėžimą.

Priklausymas tam pačiam blokui atkuria ekvivalentiškumo sąryšį

Pradėkime nuo aibės A skaidinio Π. Apibrėžkime xRy tada ir tik tada, kai x ir y priklauso tam pačiam skaidinio Π blokui. Turime įrodyti tris aksiomas, o ne laikyti brėžinį įrodymu.

Ar siūloma šeima sudaro skaidinį?

Taip

Taikoma taisyklingo skaidinio teorema. Indukuotos klasės yra būtent šie blokai.

Ar tai ekvivalentiškumo sąryšis?

Taip

Refleksyvumas: dėl aprėpties kiekvienas x ∈ A priklauso kuriam nors blokui. Jis priklauso tam pačiam blokui kaip ir jis pats, todėl xRx. Simetriškumas: jei x ir y priklauso vienam blokui, tai y ir x priklauso tam pačiam blokui, todėl iš xRy išplaukia yRx.

Tranzityvumas: tarkime, kad x ir y priklauso blokui B, o y ir z – blokui C. Vidurinis elementas y priklauso ir B, ir C. Kadangi skirtingi blokai nesikerta, būtinai B = C. Taigi x ir z priklauso tam pačiam blokui, todėl xRz.

Jei a priklauso blokui B, jo atkurta klasė yra būtent B: kiekvienas B elementas priklauso tam pačiam blokui kaip ir a, o joks elementas už B ribų negali priklausyti kitam blokui kartu su a. Kadangi blokai netušti, kiekviename bloke yra toks a. Taigi sudarę klases gauname pradinį skaidinį. Pradėję nuo ekvivalentiškumo sąryšio, sudarę jo klases ir tada apibrėžę sąryšį pagal priklausymą tam pačiam blokui, gauname pradinį sąryšį, nes aRb yra lygiavertis teiginiui [a] = [b].

Teoremai būtinas tinkamas skaidinys. Skaidinio sąlygų netenkinanti šeima nebūtinai sukuria ekvivalentiškumo sąlygų netenkinantį sąryšį: pridėjus tuščią bloką, susietų elementų poros nepasikeičia, nors šeima nebetenkina skaidinio sąlygų. Kiti pažeidimai gali lemti, kad nebus tenkinama kuri nors aksioma; ankstesniame pavyzdyje persidengiantys blokai duoda 0R2 ir 2R5, bet ne 0R5. Konkrečią šeimą ir konkretų jos indukuotą sąryšį tikrinkite atskirai.

Faktoraibė – klasių, o ne pasirinktų kortelių aibė

Faktoraibė A/R yra skirtingų ekvivalentiškumo klasių aibė: A/R = {[a] : a ∈ A}. Taikant liekanos taisyklę šešioms kortelėms, A/R = {{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}}. Ji turi tris elementus, kurių kiekvienas yra dviejų kortelių aibė.

Skirtingos klasės ir jų pavadinimai

Faktorinė aibė kaip klasių rinkinys

A/R = {{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}}

Pasirinkti atstovai {0, 1, 2} sudaro kitą aibę. Pasirinkus {3, 4, 5}, būtų įvardytos tos pačios trys klasės. Atstovų sistema gali padėti žymėti faktoraibės elementus, tačiau ją sudarantys sveikieji skaičiai nėra tikrieji faktoraibės elementai.

Šiame pavyzdyje 0 ∈ A ir [0] ∈ A/R. Klasė [0] yra A poaibis, o 0 ∈ [0]. Atskirkite šiuos teiginius apie elemento priklausymą aibei ir poaibio įtraukimą į aibę. Klasių lygybę lemia jų elementai, o ne tai, kaip užrašytas pasirinktas jų atstovas.

Sugrupavę objektus gauname faktoraibę. Tačiau tai savaime neapibrėžia jos klasių sudėties, daugybos, tvarkos ar atstumo tarp jų. Kiekvieną papildomą operaciją, apibrėžtą naudojant atstovus, būtina patikrinti: pasirinkus kitą tos pačios klasės atstovą, rezultatas turi likti toks pat.

Kongruencija grupuoja visus sveikuosius skaičius pagal fiksuotą teigiamą modulį

Fiksuokime sveikąjį skaičių m ≥ 1 ir imkime ℤ, visų sveikųjų skaičių aibę, kaip nagrinėjamą aibę. Apibrėžkime x ≡ y (mod m), kai m dalija x − y. Tai reiškia, kad x − y = mk su kuriuo nors sveikuoju skaičiumi k. Skirtumai ir k reikšmės gali būti neigiami.

m = 3; W = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Išsamūs baigtinio lango liekanų sertifikatai

Faktorinė aibė kaip klasių rinkinys

ℤ/≡ = {[0], [1], [2]}

[0] = 0 + 3ℤ; [1] = 1 + 3ℤ; [2] = 2 + 3ℤ

Rėmeliuose parodytos pilnų sveikųjų skaičių klasių sankirtos su W. Kiekviena pilna klasė be galo tęsiasi abiem kryptimis. Straipsnyje pateiktas dalumo įrodymas pagrindžia ekvivalentiškumo aksiomų galiojimą visiems sveikiesiems skaičiams.

Refleksyvumas išplaukia iš x − x = m × 0. Simetriškumui įrodyti: iš x − y = mk gauname y − x = m(−k), kur −k yra sveikasis skaičius. Tranzityvumui įrodyti: iš x − y = mk ir y − z = mℓ gauname x − z = m(k + ℓ), kur k + ℓ yra sveikasis skaičius. Taigi kongruencija yra ekvivalentiškumo sąryšis visoje ℤ.

Jos klasė [r] yra r + mℤ = {r + mk : k ∈ ℤ}. Dalyba su liekana kiekvienam x duoda vienintelę liekaną r, kuriai 0 ≤ r < m ir x = mq + r su sveikuoju skaičiumi q. Todėl m skirtingų klasių yra [0], [1], …, [m − 1]. Kiekviena jų yra begalinė, tačiau faktoraibė ℤ/≡ turi lygiai m elementų.

Kai m = 3, −2 ≡ 4, nes −2 − 4 = −6 = 3 × (−2). Taip pat [−1] = [2], nes −1 = 3 × (−1) + 2. Šioms trims klasėms priklauso visi pavidalo 3k, 3k + 1 ir 3k + 2 sveikieji skaičiai, o ne vien 0, 1 ir 2.

Pavaizduotame lange W = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} matomos tik sankirtos [r] ∩ W. Jame nerodomos visos sveikųjų skaičių klasės, o išvardijimas neįrodo aksiomų begalinėje srityje. Kai m = 1, kiekvienas sveikasis skaičius priklauso vienintelei klasei ℤ; faktorinė aibė turi vieną elementą. Visur laikome m teigiamu, todėl nenaudojame nei dalybos iš nulio, nei alternatyvaus susitarimo dėl nulinio modulio.

Tuščioji aibė turi vieną sąryšį ir vieną skaidinį

Leidžiame tuščią blokų šeimą. Pagal šį susitarimą tuščioji aibė ∅ turi lygiai vieną skaidinį: tuščią šeimą ∅. Jos sąjunga yra ∅, o blokų netuštumo ir nesikirtimo reikalavimai tenkinami, nes nėra blokų, kurie juos pažeistų.

Šeima {∅} yra kitokia. Joje yra vienas blokas, kuris yra tuščias, todėl ji nėra skaidinys. Jei A netuščia, tuščia šeima nepadengia A. Šie teiginiai leidžia atskirti tuščiąją aibę, tuščią šeimą ir šeimą, kurioje yra tuščias blokas.

Aibėje ∅ yra lygiai vienas sąryšis: tuščiasis ∅ × ∅ poaibis. Refleksyvumo, simetriškumo ir tranzityvumo sąlygos tenkinamos savaime, nes nėra jokio leistino elemento ar poros, kurie jas pažeistų. Nėra jokio a ∈ ∅, pagal kurį būtų galima sudaryti klasę, todėl faktorinė aibė yra tuščia klasių šeima. Tai atitinka tuščią skaidinį.

Kai A netuščia, tapatumo sąryšis duoda skaidinį į vienaelementius blokus, o A × A duoda vieno bloko skaidinį {A}. Kai A = ∅, šie du sąryšiai sutampa, o jų skaidinys yra ∅, ne {∅}.

Remkitės išsamiais baigtiniais duomenimis ir nurodykite jų taikymo ribas

Skiltyje „Aksiomų tikrinimas“ numatykite, kuri savybė netenkinama, prieš atverdami visą orientuotąjį grafą, matricą ir pažeidimo liudijimą. Kilpos, atvirkštinės rodyklės ar dvi grandis pakeičiančios tiesioginės rodyklės nebuvimas atitinka vis kitą aksiomą. Tuščios srities atveju nėra jokios išgalvotos viršūnės ar poros.

Skiltyje „Blokai ir klasės“ patikrinkite visas keturias skaidinio sąlygas. Palyginkite persidengimo, trūkstamo elemento, tuščio bloko ir aibei nepriklausančio elemento atvejus. Visas indukuotasis sąryšis apskaičiuojamas būtent aibėje A; siūlomas jai nepriklausantis elementas šios srities neišplečia. Faktorinės aibės klasės rodomos tik tada, kai indukuotasis sąryšis yra ekvivalentiškumo sąryšis.

Skiltyje „Sveikųjų skaičių kongruencija“ pasirinkite teigiamą modulį ir palyginkite kiekvieną lango elementą su jo kanonine liekana. Lentelėje pateikiamas skirtumas x − r ir jį išreiškiantis sveikasis m kartotinis, įskaitant neigiamas reikšmes. Bendras dalumo argumentas pagrindžia teiginį apie visus sveikuosius skaičius; baigtinė lentelė pateikia tikslius pavyzdžius.

Išsamiame įrodyme nurodomos A ir R, kiekviena ekvivalentiškumo aksioma pagrindžiama atskirai, apibrėžiamos klasės ir atskiriami atstovai nuo blokų. Skaidinio įrodyme tikrinama kiekviena jo apibrėžimo sąlyga. Atkurto sąryšio įrodyme refleksyvumui pagrįsti naudojamas padengimas, o tranzityvumui – vienintelis blokas, kuriam priklauso vidurinis elementas.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Tegu R = {1, 2} × {1, 2}. Ar R yra refleksyvus aibėje {0, 1, 2}? Ar jis refleksyvus aibėje {1, 2}? Paaiškinkite, kodėl atsakymas pasikeičia.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Aibėje {0, 1, 2} – ne, nes pora (0, 0) sąryšiui nepriklauso. Aibėje {1, 2} – taip, nes abi reikalingos įstrižainės poros sąryšiui priklauso.

   Refleksyvumo sąlyga taikoma kiekvienam nurodytos apibrėžimo srities elementui. Leistina sąryšio apibrėžimo sritis yra teiginio dalis; jos negalima nepastebimai susiaurinti iki elementų, pasirodančių sąryšio porose.

2. Aibėje {0, 1, 2} apibrėžkite xRy tada ir tik tada, kai x ≤ y. Kuri ekvivalentiškumo aksioma netenkinama, o kurios dvi vis dar tenkinamos?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Simetriškumas negalioja, nes yra 0R1, bet nėra 1R0. Refleksyvumas ir tranzityvumas galioja.

   Kiekvienam x galioja x ≤ x. Jei x ≤ y ir y ≤ z, tai x ≤ z. Nė vienas iš šių faktų nereikalauja, kad sąryšiui priklausytų ir atvirkštinė sutvarkytoji pora, kai jos elementai nelygūs.

3. Ar pagal šešių kortelių liekanų taisyklę klasės [0] ir [3] nesikerta? Kiek yra skirtingų klasių?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jos lygios: [0] = [3] = {0, 3}. Yra trys skirtingos klasės.

   Skirtingi atstovai gali žymėti tą patį bloką. Nesikirtimo sąlyga taikoma skirtingoms klasėms, kurios čia yra {0, 3}, {1, 4} ir {2, 5}.

4. Ar aibės {0, 1, 2} ir {2, 3, 4, 5} sudaro aibės A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} skaidinį? Pateikite jų indukuoto priklausymo tam pačiam blokui sąryšio grandinę, kurioje pažeidžiamas tranzityvumas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne: jos turi bendrą elementą 2. Indukuotame sąryšyje yra 0R2 ir 2R5, bet nėra 0R5.

   Abu blokai kartu padengia A, tačiau tarpinis elementas 2 priklauso dviem skirtingiems blokams. Nė viename bloke nėra ir 0, ir 5, todėl trūksta būtinos kraštinių elementų poros.

5. Prie tinkamų aibės A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} blokų {0, 1, 2} ir {3, 4, 5} pridėkite ∅. Ar ši šeima yra skaidinys? Ar pridėjus ∅ pasikeičia jos priklausymo tam pačiam blokui sąryšis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Šeima nėra skaidinys, nes joje yra tuščias blokas. Priklausymo tam pačiam blokui sąryšis nepasikeičia ir tebėra ekvivalentiškumo sąryšis.

   Tuščiame bloke nėra jokios nagrinėjamos aibės elementų poros, todėl jis neprideda jokios sąryšiui priklausančios poros. Štai kodėl skaidinio apibrėžime reikalaujama netuščių blokų, nors indukuotas sąryšis gali tenkinti visas tris aksiomas.

6. Kai A/R = {{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}}, nustatykite, ar 0, [0] ir {0, 1, 2} yra A/R elementai.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   [0] = {0, 3} yra elementas. Sveikasis skaičius 0 ir poaibis {0, 1, 2} nėra šios faktoraibės elementai.

   Faktoraibės elementai yra būtent trys išvardytos klasės. Atstovas 0 priklauso ir A, ir [0]; atstovų sistema {0, 1, 2} yra kitas A poaibis.

7. Aibėje ℤ palyginkite −1 ir 5 moduliu 3. Pateikite jų bendrą kanoninę liekaną ir dalumo patvirtinimą su sveikuoju daugikliu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   −1 ≡ 5 (mod 3). Jų kanoninė liekana yra 2, o −1 − 5 = −6 = 3 × (−2).

   Neigiami kartotiniai leidžiami. Liekanai taikoma sąlyga 0 ≤ r < 3: −1 = 3 × (−1) + 2 ir 5 = 3 × 1 + 2. Visa klasė yra 2 + 3ℤ, o ne tik du patikrinti jos elementai.

8. Kiek klasių sudaro kongruencija moduliu 1 aibėje ℤ ir kokia yra vienintelė klasė? Ar jos faktoraibė lygi ℤ?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Yra viena klasė – ℤ. Faktoraibė yra {ℤ}, vieno elemento aibė, ir ji nėra sveikųjų skaičių aibė ℤ.

   Bet kurių dviejų sveikųjų skaičių skirtumas yra 1 kartotinis. Todėl kiekvienas sveikasis skaičius atstovauja tai pačiai visai klasei. Aibė, kurioje ℤ yra vienas elementas, skiriasi nuo pačių ℤ elementų.

9. Pagal šioje pamokoje taikomą susitarimą palyginkite tuščiąją šeimą ∅ ir šeimą {∅} kaip aibės ∅ skaidinius. Kokie yra ekvivalentiškumo sąryšis ir faktoraibė aibėje ∅?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tuščioji šeima ∅ yra vienintelis skaidinys. Šeima {∅} nėra skaidinys. Vienintelis sąryšis ir jo faktoraibė yra ∅.

   Tuščiojoje šeimoje nėra blokų, o apibrėžimo srityje nėra elementų, kuriuos reikėtų aprėpti. Šeima {∅} pažeidžia reikalavimą, kad blokai būtų netušti. Tuščiojoje apibrėžimo srityje visos sąryšio aksiomos tenkinamos savaime, tačiau nėra jokio apibrėžimo srities elemento, kuriuo būtų galima įvardyti klasę.

Ką verta įsidėmėti

• Ekvivalentiškumo sąryšis savo konkrečioje apibrėžimo srityje tenkina refleksyvumo, simetriškumo ir tranzityvumo sąlygas; nė vienas iš šių trijų patikrinimų neatstoja kito.
• Atstovas priklauso savo klasei. Sąryšiu susieti atstovai žymi tas pačias klases, o skirtingos klasės nesikerta.
• Netuščios klasės padengia apibrėžimo sritį ir sudaro skaidinį. Tinkamas skaidinys leidžia atkurti sąryšį pagal priklausymą tam pačiam blokui.
• Faktoraibės elementai yra klasės, o ne pasirinkti atstovai. Kongruencija pagal teigiamą modulį m turi m skirtingų sveikųjų skaičių klasių, kurių kiekvienoje yra be galo daug sveikųjų skaičių.
• Jei leidžiamos tuščios šeimos, tuščios apibrėžimo srities skaidinys, sąryšis ir faktoraibė yra tušti; iš vieno bloko sudaryta šeima {∅} nėra skaidinys.