Dekarto sandaugos ir sąryšiai

Pradėkite nuo dviejų pasirinkimų nurodyta tvarka

Užsakant gėrimą pirmiausia pasirenkamas gėrimas, tada – jo dydis. Jei gėrimai yra arbata ir vanduo, o dydžiai – mažas ir didelis, galimi keturi variantai: (arbata, mažas), (arbata, didelis), (vanduo, mažas) ir (vanduo, didelis). Pirmasis poros elementas nurodo gėrimą, antrasis – dydį. Sukeitus juos vietomis, pasikeičia jų vaidmenys.

Panašius pasirinkimus sisteminsime naudodami trumpus žymenis: A = {1, 2} ir B = {a, b, c}. Šie simboliai galėtų žymėti du laiko intervalus ir tris patalpas. Jie nebūtinai turi būti skaičiai matavimo ašyje. Kiekvieną pasirinkimą iš A galima suporuoti su kiekvienu pasirinkimu iš B, nebent vėliau įvesta taisyklė atmeta kurį nors derinį.

Reikia mokėti skaityti elemento priklausymo aibei žymėjimą ir atskirti aibę nuo jos elemento. Aibėje kiekvienas skirtingas elementas išvardijamas vieną kartą: {1, 2, 1} = {1, 2}, o ∅ yra aibė, neturinti elementų. Žymėjimas x ∈ A reiškia, kad x yra aibės A elementas. Žymėjimas R ⊆ P reiškia, kad kiekvienas R elementas priklauso P. Šiais susitarimais remiamasi toliau, užuot darius prielaidą, kad jie jau žinomi dėl skyriaus vietos mokymosi sekoje.

Skaitydami pirmą kartą, išnagrinėkite baigtinį tinklelį, trimis rodyklėmis pavaizduotą sąryšį ir dviejų etapų kelių lentelę. Pasirengimo nuorodos gali padėti suprasti sutvarkytąsias koordinates bei apibrėžimo ir reikšmių sričių terminus. Prie baigiamųjų tapatybių grįžkite, kai galėsite paaiškinti, ką reiškia „egzistuoja tarpinis elementas“; jų trumpi įrodymai remiasi šia idėja, o ne nauju skaičiavimo metodu. Vėlesnės pamokos apie ekvivalentiškumą, tvarką ir atvaizdžius remiasi šiais apibrėžimais, tačiau norint pradėti čia jų nereikia.

Sutvarkytoji pora išsaugo abiejų elementų vaidmenis

Sutvarkytųjų porų lygybė (u, v) = (x, y) galioja tada ir tik tada, kai u = x ir v = y. Taigi (1, 2) ≠ (2, 1), nors nesutvarkytosios aibės {1, 2} ir {2, 1} yra lygios. Riestiniai skliaustai žymi aibę, o paprastieji skliaustai čia žymi porą. Elementą galima pakartoti: (1, 1) yra pora, o {1, 1} yra tik vieno elemento aibė {1}.

Patys komponentai gali būti raidės, aibės ar kiti objektai. Jų vaidmenys vis tiek svarbūs. Poros ({1, 2}, 3) pirmasis komponentas yra aibė, o antrasis – skaičius; ši pora nėra trijų elementų aibė {1, 2, 3}. Naudojame įprastas sutvarkytąsias poras, nesiremdami konkrečiu jų konstravimo iš aibių būdu.

Sutvarkytųjų porų rinkinys pats yra aibė. Pakeitus porų išvardijimo tvarką, šis rinkinys nepasikeičia, tačiau sukeitus poros komponentus vietomis gali pasikeisti tai, kurį rinkinio elementą pora nusako. Šių dviejų skirtingų tvarkos rūšių nepainiokite.

Dekarto sandaugoje yra visi leistini deriniai

Aibių A ir B Dekarto sandauga yra A × B = {(a, b) : a ∈ A ir b ∈ B}. Dvitaškis reiškia „tokie, kad“. Pirmoji koordinatė imama iš pirmojo daugiklio A, o antroji – iš B. Kad pora priklausytų šiai sandaugai, abi sąlygos turi būti tenkinamos vienu metu.

Kai A = {1, 2} ir B = {a, b, c}, sandauga yra {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}. Tinklelyje kiekvienam pirmajam elementui skirtas vienas stulpelis, o kiekvienam antrajam elementui – viena eilutė. Kiekvienas langelis atitinka vieną galimą porą. Visa lentelė pateikia tas pačias šešias galimybes, nereikalaudama interpretuoti paveikslo.

Jei A ir B yra baigtinės aibės, turinčios atitinkamai m ir n skirtingų elementų, kiekvienam iš m pirmųjų komponentų galimi n antrųjų komponentų. Šios m grupės nesikerta, nes skirtingi pirmieji komponentai sudaro skirtingas poras. Todėl |A × B| = mn, kur |X| žymi baigtinės aibės X skirtingų elementų skaičių. Ši baigtinių aibių elementų skaičiavimo formulė nelaiko begalinio dydžio įprastu realiuoju skaičiumi.

Nereikalaujama, kad abu daugikliai būtų nesikertančios aibės. Kai A = {1, 2}, sandaugai A × A priklauso (1, 1), (1, 2), (2, 1) ir (2, 2). Leidžiamos tiek dvi poros su nevienodais komponentais, tiek dvi poros su vienodais komponentais. Sandauga kartais žymima A²; čia šis žymėjimas reiškia porų aibę, o ne kiekvieno elemento kėlimą kvadratu.

Daugiklių tvarka ir tuščiosios aibės keičia galimas poras

Sandaugoje B × A komponentų vaidmenys sukeisti. Kadangi mūsų žymimos aibės nesikerta, pora (a, 1) priklauso B × A, bet nepriklauso A × B, todėl šios sandaugos skiriasi, nors abi turi po šešis elementus. Sukeitus koordinates vietomis, gaunama abipus vienareikšmė sandaugų atitiktis; atitiktis nepadaro jų porų tapačių. Ypatingais atvejais sandaugos gali būti lygios, pavyzdžiui, kai A = B arba vienas daugiklis yra tuščioji aibė, todėl teiginys „visada nelygios“ taip pat būtų klaidingas.

Jei bent vienas daugiklis yra tuščioji aibė, jokia pora negali tenkinti abiejų priklausymo sąlygų: A × ∅ = ∅ ir ∅ × B = ∅. Tai galioja tiek baigtinėms, tiek begalinėms aibėms A ir B. Baigtinių aibių atveju elementų skaičiavimas taip pat duoda m × 0 = 0.

Nepainiokite ∅ su {∅}. Aibė {∅} turi vieną elementą – tuščiąją aibę. Jei A = {1, 2}, tai A × {∅} = {(1, ∅), (2, ∅)} turi dvi poras, o A × ∅ neturi nė vienos. Tuščias tikslinės aibės stulpelis reiškia, kad tikslinėje aibėje nėra elementų, o ne kad vienas jos elementas yra tuščioji aibė.

Nagrinėdami trijų daugiklių sandaugas, nurodykite, ką reiškia komponentai. Sutvarkytasis trejetas (a, b, c) turi tris vaidmenis. Įdėtinė pora ((a, b), c) ir įdėtinė pora (a, (b, c)) per natūralias atitiktis gali užkoduoti tuos pačius tris pasirinkimus, tačiau jų porų struktūros skiriasi. Visoje šioje pamokoje nagrinėjame tik dviejų daugiklių sandaugas.

Dvinaris sąryšis atrenka nurodytos sandaugos poras

Dvinaris sąryšis iš A į B yra poaibis R ⊆ A × B. Užrašas a R b reiškia, kad (a, b) ∈ R. Tai teiginys apie šią sutvarkytąją porą, o ne a ir b daugyba. Sąryšis aibėje A reiškia sąryšį iš A į save pačią, taigi R ⊆ A × A.

Mūsų šešių porų sandaugoje pasirinkime R = {(1, a), (1, b), (2, b)}. Šio sąryšio rodyklių diagramoje vaizduojamos tik rodyklės 1 → a, 1 → b ir 2 → b. Jo tinklelyje pažymėti tik šie trys langeliai. Jo porų lentelėje išvardytos tik šios trys poros. Nepanaudotas galinės aibės elementas c lieka nurodytoje aibėje B, nors į jį neveda jokia rodyklė.

Sąryšis gali neturėti nė vienos poros, turėti dalį sandaugos porų arba visas jos poras. Tuščiasis sąryšis ∅ yra kiekvienos sandaugos poaibis. Jei pati sandauga yra tuščia, ∅ yra vienintelis jos poaibis, taigi ir vienintelis sąryšis. Netuščios baigtinės sandaugos kiekvienas poaibis yra galimas sąryšis; bet kokią papildomą prasmę, pavyzdžiui, „yra suplanuotas“, reikia nurodyti atskirai.

Nurodytos aibės yra nagrinėjamo konteksto dalis. Tą patį porų sąrašą galima nagrinėti skirtingose didesnėse sandaugose, o galimiems teiginiams apie jo buvimą funkcija ar sąryšių kompoziciją tuomet reikia šių nurodytų aibių. Siūloma pora, nepriklausanti A × B, nėra papildoma sąryšio iš A į B pora; ji neatitinka nurodyto tipo.

Faktinės apibrėžimo ir reikšmių sritys apima panaudotus elementus

Kai R ⊆ A × B, apibrėžkime dom(R) = {a ∈ A : egzistuoja b ∈ B, kuriam (a, b) ∈ R} ir ran(R) = {b ∈ B : egzistuoja a ∈ A, kuriam (a, b) ∈ R}. Apibrėžimo sritis apima elementus, kurie iš tikrųjų pasitaiko pirmosiose porų pozicijose; reikšmių sritis apima elementus, kurie iš tikrųjų pasitaiko antrosiose porų pozicijose. Vadinasi, dom(R) ⊆ A ir ran(R) ⊆ B, tačiau bet kuris iš šių poaibių gali būti tikrinis.

Trijų porų sąryšiui R turime dom(R) = {1, 2} ir ran(R) = {a, b}. Šiuo atveju apibrėžimo sritis sutampa su A; reikšmių sritis nesutampa su B, nes c nepanaudotas. Pašalinus porą (2, b), elementas 2 lieka nurodytoje pradinėje aibėje A, bet nebepriklauso naujajai faktinei apibrėžimo sričiai.

Tuščiojo sąryšio faktinė apibrėžimo sritis ir faktinė reikšmių sritis yra tuščios, net jei A ir B yra netuščios. Elementui, iš kurio neina jokia rodyklė, nepriskiriama jokia paslaptinga reikšmė: jis tiesiog nesudaro jokios poros. Visoje šioje pamokoje „nurodyta pradinė aibė“ reiškia A, o „faktinė apibrėžimo sritis“ reiškia dom(R), todėl šie terminai nėra nepastebimai sukeičiami.

Funkcija kiekvienam nurodytos pradinės aibės elementui turi priskirti lygiai vieną reikšmę

Funkcija iš A į B yra sąryšis R ⊆ A × B, kuriame kiekvienam a ∈ A egzistuoja lygiai vienas b ∈ B, toks, kad (a, b) ∈ R. „Lygiai vienas“ apima ir egzistavimą, ir vienatį. Nepakanka turėti ne daugiau kaip vieną reikšmę, jei kuriam nors nurodytos pradinės aibės elementui nepriskirta nė viena. Nepakanka turėti bent vieną reikšmę, jei kuriam nors pradinės aibės elementui priskirtos dvi skirtingos reikšmės.

Mūsų trijų porų sąryšis R nėra funkcija iš A į B, nes 1 sudaro porą ir su a, ir su b. Sąryšis F = {(1, a), (2, b)} yra funkcija iš A į B, nors c lieka nepanaudotas. Ne kiekvienas tikslinės aibės elementas turi būti funkcijos reikšmė. Sąryšis P = {(1, a)} yra funkcija iš {1} į B, bet ne iš didesnės nurodytos pradinės aibės {1, 2} į B.

Tuščiasis sąryšis yra funkcija iš ∅ į bet kurią aibę B: nėra nė vieno pradinės aibės elemento, kuris pažeistų reikalavimą. Funkcija iš netuščios aibės A į ∅ neegzistuoja, nes kiekvienam a ∈ A reikėtų priskirti reikšmę iš aibės, neturinčios nė vieno elemento. Taip tuščiųjų aibių atvejai paaiškinami remiantis apibrėžimu, o ne vien brėžiniu.

Atvirkštinis sąryšis sukeičia porų elementus vietomis

Sąryšio R ⊆ A × B atvirkštinis sąryšis yra R⁻¹ = {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ R}. Šis viršutinis indeksas žymi atvirkštinį sąryšį, o ne atvirkštinį skaičių. Kiekvienos rodyklės kryptis pasikeičia, o nurodytos pradinė ir galinė aibės susikeičia vaidmenimis. Mūsų sąryšio R atveju gauname R⁻¹ = {(a, 1), (b, 1), (b, 2)}.

Dukart sukeitus porų elementus vietomis, gaunamos pradinės poros, todėl (R⁻¹)⁻¹ = R. Atvirkštinio sąryšio pirmieji porų elementai yra būtent pradinio sąryšio antrieji porų elementai, todėl dom(R⁻¹) = ran(R) ir ran(R⁻¹) = dom(R). Šios tapatybės galioja ir tuštiesiems sąryšiams.

Atvirkštinis sąryšis visada egzistuoja, tačiau jis nebūtinai yra atvirkštinė funkcija iš B į A. Pirmiau pateiktos funkcijos F = {(1, a), (2, b)} atvirkštiniame sąryšyje F⁻¹ elementui c nepriskirta jokia reikšmė, todėl šis sąryšis nėra funkcija iš visos aibės B. Jei dviem funkcijos argumentams priskirta ta pati reikšmė, atvirkštinis sąryšis tai reikšmei priskiria du galimus grįžimo elementus. Funkcijos atvirkštinis sąryšis yra funkcija iš visos galinės aibės atgal į visą pradinę aibę tada ir tik tada, kai kiekvienas galinės aibės elementas pasiekiamas tik vieną kartą. Vėlesnėse pamokose apie atvaizdžius tai vadinama bijekcija; čia tai jau paaiškina poroms keliama sąlyga.

Kompoziciją sudarykite rasdami visą dviejų rodyklių kelią

Tegu R ⊆ A × B ir S ⊆ B × C. Žymėjimu S ∘ R sutartinai reiškiame „pirmiausia R, tada S“. Apibrėžiame S ∘ R = {(a, c) ∈ A × C : egzistuoja b ∈ B, kuriam (a, b) ∈ R ir (b, c) ∈ S}. Tas pats tarpinis elementas b turi tenkinti abi ryšio sąlygas. Rezultatas yra sąryšis iš A į C, o ne iš A į B.

Palikime R = {(1, a), (1, b), (2, b)} ir imkime C = {x, y}, S = {(a, x), (b, x), (b, y)}. Yra penki keliai: 1 → a → x, 1 → b → x, 1 → b → y, 2 → b → x ir 2 → b → y. Iš jų pradžios ir pabaigos elementų porų gauname S ∘ R = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.

Porą (1, x) gauname dviem keliais, kuriuose tarpiniai elementai yra a ir b. Kompozicija yra kelių pradžios ir pabaigos elementų porų aibė, todėl ši pora joje pasirodo tik vieną kartą. Kad pora priklausytų kompozicijai, pakanka vieno tinkamo tarpinio elemento; kiekvieną visą kelią galima išsaugoti atskirai, kad būtų galima paaiškinti, kodėl pora priklauso kompozicijai. Skaičiuoti kelius ir skaičiuoti kompozicijos poras – skirtingi uždaviniai.

Pirmoji rodyklė, po kurios nėra kitos rodyklės, nesukuria jokios kompozicijos poros. Jei vietoj to S = {(c, x)}, sąryšis R niekada nepasiekia c, todėl S ∘ R = ∅, nors abu sąryšiai netušti. Jei R arba S yra tuščias, kompozicija yra tuščia. Kai bendra aibė B yra tuščia, kompozicija yra apibrėžta, tačiau nėra jokio galimo tarpinio elemento, todėl ji taip pat tuščia.

Kai kuriose knygose kompozicija užrašoma kita tvarka. Visada perskaitykite jos apibrėžimą. Čia dešinėje esantis R veikia pirmas, kaip ir įprastame funkcijų kompozicijos žymėjime, o nurodyta tarpinė aibė B abiejose pusėse sutampa. Jei vieno sąryšio galinė aibė yra B, o kito pradinė aibė yra kita nurodyta aibė D, prieš sudarydami kompoziciją pirmiausia nurodykite tinkamą bendrą kontekstą arba apribojimą. Baigtinis modelis atmeta tokį neatitikimą, užuot nepastebimai laikęs rezultatą tuščiu.

Apibrėžimas taikomas ne tik baigtinėms rodyklių diagramoms

Sąryšiui nebūtinas baigtinis porų sąrašas. Pavyzdžiui, Q = {(u, v) ∈ ℝ × ℝ : v = u²} yra sąryšis iš realiųjų skaičių aibės į realiųjų skaičių aibę. Jo tikroji apibrėžimo sritis yra ℝ, o reikšmių sritis – [0, ∞): kiekvieno realiojo skaičiaus kvadratas yra neneigiamas, o kiekvienai neneigiamai reikšmei v yra argumentas √v. Baigtinė jo grafiko taškų imtis neleistų nustatyti visos šios apibrėžimo ar reikšmių srities.

Atvirkštinį sąryšį Q⁻¹ sudaro poros (v, u), kurioms v = u². Jo tikroji apibrėžimo sritis yra [0, ∞), reikšmių sritis – ℝ, o teigiamam pirmajam poros elementui v priskiriamos dvi reikšmės: √v ir −√v. Kai v = 0, vienintelė reikšmė yra nulis; neigiamam pirmajam poros elementui nepriskiriama jokia reikšmė. Taigi tai nėra funkcija iš ℝ į ℝ ir net nėra funkcija iš tikrosios neneigiamų skaičių apibrėžimo srities į ℝ.

Apribokite pradinę Q aibę ir jo nurodytą galinę aibę iki [0, ∞). Taip gaunama kėlimo kvadratu funkcija iš [0, ∞) į [0, ∞). Tuomet jos atvirkštinis sąryšis kiekvienam v ≥ 0 priskiria vienintelę neneigiamą reikšmę √v ir yra funkcija tarp tų pačių neneigiamų skaičių aibių. Apribojus tik pradinę aibę, o galinę palikus ℝ, atvirkštinio sąryšio nurodytoje pradinėje aibėje liktų neigiamų įvesčių, neturinčių išvesties. Dėl šių aiškiai nurodytų pradinės ir galinės aibių apribojimų teiginys apie atvirkštinę funkciją yra teisingas; šie apribojimai nepašalina neigiamos šaknies iš neapriboto sąryšio.

Tarpinis elementas leidžia įrodyti tapatybes neapsiribojant brėžiniais

Tapatumo sąryšis aibėje A yra I_A = {(a, a) : a ∈ A}. Iš to išplaukia, kad R ∘ I_A = R ir I_B ∘ R = R, kai R ⊆ A × B. Pirmojoje kompozicijoje tapatumo rodyklė palieka pradinį elementą nepakeistą prieš taikant R; antrojoje ji palieka galinį elementą nepakeistą pritaikius R. Pagal apibrėžimus išsaugomos visos pradinės poros ir nepridedama jokių kitų, net kai kuri nors aibė yra tuščia.

Kai R ⊆ A × B ir S ⊆ B × C, (S ∘ R)⁻¹ = R⁻¹ ∘ S⁻¹. Pora (c, a) priklauso kairiajai pusei tada ir tik tada, kai egzistuoja toks b, kad a R b ir b S c. Apgręžus tuos pačius ryšius gaunama c S⁻¹ b ir b R⁻¹ a, o tai tiksliai reiškia priklausymą dešiniajai pusei. Kartu su rodyklėmis apgręžiama ir tvarka.

Kompozicija yra asociatyvi, kai dera aibių tipai: jei T ⊆ C × D, tai T ∘ (S ∘ R) = (T ∘ S) ∘ R. Abi pusės turi tiksliai tas poras (a, d), kurioms egzistuoja b ∈ B ir c ∈ C, tenkinantys a R b, b S c ir c T d. Skliaustai pakeičia tai, kurie du ryšiai sujungiami pirmiausia, bet nekeičia viso trijų ryšių kelio. Šis teiginys neleidžia apgręžti R, S ir T tvarkos.

Šie argumentai nagrinėja atskirus elementus ir galioja bet kokioms aibėms. Baigtinių sąryšių diagramos naudingos patikrai ir pavyzdžiams, tačiau jos nepakeičia samprotavimo pasitelkiant tarpinį elementą, kai sąryšis yra begalinis. Jei du įdėtiniai egzistenciniai pasirinkimai jums nepažįstami, grįžkite prie šio skyriaus išrašę penkis baigtinius kelius ir paaiškinę, kodėl pasikartojančios galinių taškų poros įtraukiamos tik vieną kartą.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Ar (2, 5) ir (5, 2) yra lygios? Ar {2, 5} ir {5, 2} yra lygios? Paaiškinkite abu atsakymus.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Poros nelygios, bet aibės lygios.

   Kad sutvarkytosios poros būtų lygios, turi būti lygūs jų pirmieji elementai ir lygūs jų antrieji elementai. Pirmieji elementai 2 ir 5 skiriasi. Aibę apibrėžia jos elementai, neatsižvelgiant į jų tvarką, o abiejose aibėse yra tik 2 ir 5.

2. Tegu A = {1, 1, 2} ir B = {p, q}. Išvardykite A × B elementus. Ar pora (p, 1) priklauso šiai aibei?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   A × B = {(1, p), (1, q), (2, p), (2, q)} turi keturias poras. Pora (p, 1) šiai aibei nepriklauso.

   Pasikartojantis 1 yra vienas aibės elementas, todėl |A| = 2, o |B| = 2. Kad pora priklausytų Dekarto sandaugai, jos pirmasis narys turi priklausyti A, o antrasis – B. Čia p ∉ A ir 1 ∉ B.

3. Kai A = {r}, palyginkite A × ∅ ir A × {∅}.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   A × ∅ = ∅, o A × {∅} = {(r, ∅)}.

   Pirmosios sandaugos antroji aibė neturi elemento, kuris galėtų būti antruoju poros nariu. Antrosios sandaugos antroji aibė turi vieną elementą – pačią tuščiąją aibę, todėl yra vienas tinkamas antrasis poros narys. Taigi šios sandaugos turi atitinkamai nulį ir vieną elementą.

4. Tegu A = {1, 2, 3}, B = {u, v}, o R = {(1, u), (2, u)}. Raskite dom(R), ran(R) ir nustatykite, ar R yra funkcija iš A į B.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   dom(R) = {1, 2}, ran(R) = {u}, o R nėra funkcija iš A į B.

   Argumentui 3 nepriskirta jokia reikšmė, todėl netenkinamas reikalavimas, kad reikšmė egzistuotų kiekvienam nurodytam argumentui. Tai yra funkcija iš {1, 2} į B: tą pačią reikšmę u galima priskirti keliems argumentams, nes kiekvienam naudojamam argumentui priskirta lygiai viena reikšmė.

5. Užrašykite ankstesnio uždavinio sąryšio R atvirkštinį sąryšį R⁻¹ ir nustatykite, ar jis yra funkcija iš B į A.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   R⁻¹ = {(u, 1), (u, 2)}, ir tai nėra funkcija iš B į A.

   Sukeitus koordinates, argumentui u priskiriamos dvi reikšmės, o argumentui v nepriskiriama nė viena. Atvirkštinis sąryšis yra apibrėžtas, tačiau ties u netenkinamas funkcijos reikšmės vienaties reikalavimas, o ties v – jos egzistavimo reikalavimas.

6. Tegu A = {1, 2}, B = {p, q}, C = {z}, R = {(1, p), (2, q)}, o S = {(q, z)}. Raskite S ∘ R ir pagrįskite kiekvienos įtrauktos poros priklausymą šiam sąryšiui.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   S ∘ R = {(2, z)}; tai patvirtina tarpinis elementas q.

   Visas kelias yra 2 → q → z. Rodyklė 1 → p neturi tęsinio sąryšyje S, todėl ji nesudaro kompozicijos poros. Priklausymas pradinei aibei negarantuoja, kad bendrasis sąryšis turės atitinkamą reikšmę.

7. Tegu R = {(1, p), (1, q)} ir S = {(p, z), (q, z)} yra atitinkamose sandaugose. Kiek yra visų kelių ir kiek kompozicijos porų?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Yra du keliai, bet viena kompozicijos pora – (1, z).

   Tarpiniai elementai p ir q sudaro skirtingus dviejų rodyklių kelius su tais pačiais galiniais taškais. Aibėje pora (1, z) įrašoma tik vieną kartą. Egzistavimo sąlyga reikalauja bent vieno tarpinio elemento, o ne lygiai vieno.

8. Tarkime, R deklaruotas iš A į B, o S – iš D į C, ir B ≠ D. Ar baigtinis modelis gali be papildomo paaiškinimo taikyti savo S ∘ R taisyklę ir pateikti tuščią atsakymą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Pagal nurodytą kompozicijos apibrėžimą deklaruota tarpinė aibė turi būti ta pati; pirmiausia reikia nurodyti tinkamą bendrą kontekstą arba apribojimą.

   Neatitiktis reiškia, kad netenkinamas deklaruotas šios operacijos tipas, o ne tai, kad tinkamame A–B–C kontekste nėra kelių. Bendroji teorija gali apibrėžti suderinamas kompozicijas bendrame universume, tačiau čia susitarimas nėra keičiamas be paaiškinimo.

9. Kai Q = {(u, v) ∈ ℝ² : v = u²}, išvardykite reikšmes, kurias sąryšyje Q⁻¹ atitinka pirmieji komponentai 4, 0 ir −1. Koks apribojimas paverčia atvirkštinį sąryšį kvadratinės šaknies funkcija?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmąjį komponentą 4 atitinka reikšmės 2 ir −2; 0 atitinka tik reikšmė 0; −1 neatitinka jokia reikšmė. Apribokite ir pradinę sąryšio aibę, ir jo deklaruotą galinę aibę intervalu [0, ∞).

   Atvirkštinio sąryšio sąlyga yra v = u², sukeitus komponentus vietomis, todėl kiekvienas antrasis komponentas turi būti realusis skaičius, kurio kvadratas lygus pirmajam komponentui. Apribojus pradinę sąryšio aibę neneigiamomis u reikšmėmis, kiekvienam neneigiamam pirmajam komponentui lieka viena šaknis. Apribojus pradinio sąryšio galinę aibę intervalu [0, ∞), iš atvirkštinio sąryšio deklaruotos pradinės aibės taip pat pašalinamos neigiamos reikšmės. Abu apribojimai kartu duoda kvadratinės šaknies funkciją iš [0, ∞) į [0, ∞), įskaitant nulį.

Ką verta įsidėmėti

• Sutvarkytoji pora išlaiko du skirtingus vaidmenis; Dekarto sandauga apima visus derinius, kuriuos leidžia jos daugikliai.
• Sąryšis yra pasirinktas deklaruotos sandaugos poaibis. Jo tikroji apibrėžimo sritis ir reikšmių sritis apima tik pasirinktose porose esančius komponentus.
• Funkcijoje iš A į B kiekvienam a ∈ A turi būti priskirta tiksliai viena reikšmė; bendrasis sąryšis gali nepriskirti nė vienos arba priskirti kelias.
• Atvirkštinis sąryšis sukeičia koordinates ir jų tipus vietomis. Jis visada yra sąryšis, tačiau nebūtinai yra atvirkštinė funkcija.
• Šioje pamokoje S ∘ R reiškia, kad pirmiausia taikomas R, paskui S. Bendras tarpinis elementas lemia poros priklausymą kompozicijai; keli tokie elementai tos poros nedubliuoja.
• Tuščios sandaugą sudarančios aibės, trūkstamos rodyklės ir nurodyta tarpinė aibė yra apibrėžimų dalis, o ne detalės, kurias galima papildyti pagal paveikslą.