Kampai, radianai ir stačiojo trikampio kraštinių santykiai

Kampas gali nusakyti posūkį ir jo kryptį

Įsivaizduokite spindulį, besisukantį apie savo pradžios tašką. Pradinėje padėtyje jis vadinamas pradiniu spinduliu, o galutinėje – galiniu spinduliu. Laipsnis yra 1/360 pilno apsisukimo dalis, todėl ketvirtis apsisukimo yra 90°, pusė apsisukimo – 180°, o vienas pilnas apsisukimas – 360°. Orientuotojo posūkio kryptis prieš laikrodžio rodyklę laikoma teigiama, o pagal laikrodžio rodyklę – neigiama.

Norėdami palyginti posūkius brėžinyje, kampo viršūnę dažnai dedame koordinačių pradžioje, o pradinį spindulį nukreipiame teigiama horizontaliosios ašies kryptimi. Tai vadinama standartine padėtimi. −90° posūkis reiškia ketvirtį apsisukimo pagal laikrodžio rodyklę, o 270° posūkis – tris ketvirčius apsisukimo prieš laikrodžio rodyklę. Abiejų galinis spindulys yra tas pats žemyn nukreiptas spindulys, tačiau jie nusako skirtingus posūkius.

Pridėjus sveikąjį pilnų apsisukimų skaičių, galinis spindulys nepasikeičia: d° ir (d + 360n)° posūkių galiniai spinduliai sutampa su kiekvienu sveikuoju n. Tokie kampai vadinami kampais su bendru galiniu spinduliu. 450° posūkį sudaro pilnas apsisukimas ir po jo einantis 90° posūkis; pakeitus jį 90° posūkiu, galinis spindulys išlieka tas pats, tačiau prarandamas papildomas apsisukimas. Visada nustatykite, ar užduotyje prašoma nusakyti visą posūkį, ar tik jo galutinę kryptį.

Radianai sieja lanko ilgį su teigiamu spinduliu

Įsivaizduokite ketvirtį apsisukimo apskritime, kurio spindulys yra 3 cm. Atitinkamas lankas sudaro ketvirtį 6π cm apskritimo ilgio, todėl jo ilgis yra 3π/2 cm. Padaliję šį lanko ilgį iš spindulio, gauname (3π/2)/3 = π/2. Šis dalmuo nusako kampą be centimetro matavimo vieneto.

Imkime apskritimą, kurio spindulys r > 0. Neneigiamo centrinio kampo, atitinkančio s ilgio lanką, dydį radianais apibrėžkime taip: θ = s/r. Lanko ilgis ir spindulys turi būti išreikšti tuo pačiu ilgio vienetu. Vienas radianas yra kampas, atitinkantis lanką, kurio ilgis lygus spinduliui. Didesniame apskritime tą patį kampą atitinkantys lankai yra proporcingai ilgesni, todėl jų ilgio ir spindulio dalmuo nekinta.

Viso apskritimo ilgis yra 2πr. Taigi vienas visas apsisukimas atitinka 2πr/r = 2π radianų, pusė apsisukimo – π radianų, o ketvirtis apsisukimo – π/2 radianų. Šiame apibrėžime spindulys negali būti lygus nuliui: dalyba iš nulio negalima, o vienas taškas nesudaro įprasto apskritimo ar jo lanko.

Dalmenyje s/r ilgio vienetai susiprastina. Todėl radianai yra bedimensiai, tačiau žymuo „rad“ nurodo, kokiu kampo matavimo vienetu išreikštas skaičius. Vien skaičiaus, pavyzdžiui, 60, negalima įrašyti į formulę, kurioje kampas turi būti išreikštas radianais, jei duotas kampas yra 60°. Išlaikykite tikslius π kartotinius, kol iš tiesų prireiks apytikslės dešimtainės reikšmės.

Kampo dydžiui radianais su ženklu taikomas tas pats susitarimas dėl krypties kaip ir laipsniams, o bendras sukimosi kampas gali viršyti 2π. Pavyzdžiui, ketvirtis apsisukimo pagal laikrodžio rodyklę yra −π/2. Neigiamas ženklas nurodo kryptį; nueito ketvirčio apskritimo lanko fizinis ilgis yra teigiamas. Lanko ilgis be ženklo ir sukimosi kampas su ženklu yra skirtingi dydžiai.

Keičiamas vienetas, ne sukimosi kampas

Kadangi 180° lygu π radianų, kampo dydis d laipsniais perskaičiuojamas į θ = (d/180)π radianų. Ir atvirkščiai, kampo dydis θ radianais perskaičiuojamas į d = 180θ/π laipsnių. Šios formulės taikomos teigiamiems, neigiamiems ir kelių apsisukimų kampams. Jos išlaiko ženklą ir apsisukimų skaičių; vienetų keitimas nėra kampo pakeitimas kitu kampu su pasirinkta galinės kraštinės kryptimi.

Pavyzdžiui, 150° perskaičiuojama į (150/180)π = 5π/6 radianų. −90° sukimosi kampas perskaičiuojamas į −π/2, o 450° – į 5π/2. Norėdami po to rasti kampą su ta pačia galine kraštine, pridėkite arba atimkite sveikuosius 2π kartotinius. Pasirinkti atitinkamą kampą intervale 0 ≤ θ < 2π yra atskiras veiksmas: juo −π/2 pakeičiama į 3π/2, o 5π/2 – į π/2.

Apsisukimų skaičius su ženklu yra d/360, arba, lygiaverčiai, θ/(2π). Tai patogus būdas patikrinti abu perskaičiavimus. Trupmena −1/4 reiškia ketvirtį apsisukimo pagal laikrodžio rodyklę, o 5/4 – vieną ir ketvirtį apsisukimo prieš laikrodžio rodyklę. Vien galinės kraštinės brėžinys šio skirtumo parodyti negali.

Įprastai skritulio išpjovai naudokite viso apskritimo dalį

Naudokite tą patį 3 cm spindulį ir ketvirtį apsisukimo prieš laikrodžio rodyklę. Apskritimo lankas turi ilgį, o posūkiu apibrėžtas ketvirtis skritulio yra sritis, turinti plotą. Numatykite, kurį rezultatą reikia išreikšti centimetrais, o kurį – kvadratiniais centimetrais. Ketvirtis 9π cm² skritulio ploto yra 9π/4 cm²; lanko ilgis lieka 3π/2 cm.

Šioje pamokoje nagrinėjamai įprastai, vieną kartą apibrėžtai skritulio išpjovai taikykite sąlygas r > 0 ir 0 ≤ θ ≤ 2π, kai kampas matuojamas radianais. Kampas nusako posūkį prieš laikrodžio rodyklę nuo pradinio spindulio, todėl jis parenka apibrėžiamą sritį net tada, kai vien tie du spinduliai galėtų apriboti dvi skirtingas išpjovas. Intervalo viduje esančios kampo vertės gali nusakyti mažąją arba didžiąją išpjovą. Intervalo galai taip pat įtraukti: jie atitinka nulinį posūkį ir visą skritulį.

Posūkis sudaro θ/(2π) viso apsisukimo dalį. Padauginę šią dalį iš apskritimo ilgio, gauname s = [θ/(2π)] × 2πr = rθ. Padauginę ją iš skritulio ploto, gauname S = [θ/(2π)] × πr² = r²θ/2. Čia remiamasi nustatytu centrinio kampo ir jį atitinkančio lanko ilgio bei vieną kartą apibrėžtos išpjovos ploto proporcingumu. Šis išvedimas galioja visoms leistinoms r ir θ vertėms, nepriklausomai nuo pasirinkto pavyzdžio.

Šiose formulėse kampas turi būti išreikštas radianais. Jei duotas d laipsnių kampas, pirmiausia paverskite jį radianais arba naudokite s = (d/360) × 2πr ir S = (d/360) × πr², kai 0 ≤ d ≤ 360. Jei spindulys matuojamas centimetrais, s išreiškiamas centimetrais, o S – kvadratiniais centimetrais; atsitiktinis jų skaitinių verčių sutapimas nereiškia, kad tai tas pats dydis.

Kai θ = 0, tiek posūkiu apibrėžto lanko ilgis, tiek išpjovos plotas lygūs nuliui, nors apskritimo, kuriam priklauso lankas, spindulys tebėra teigiamas. Kai θ = 2π, jie lygūs visam apskritimo ilgiui ir skritulio plotui. Šių dviejų posūkių galutinis spindulys sutampa, tačiau posūkiais apibrėžti dydžiai skiriasi. Neigiamas arba didesnis nei 2π posūkis taip pat yra galiojantis kampas; jis nepatenka į šį konkretų susitarimą dėl vieną kartą apibrėžtos išpjovos. Pakartotiniai apsisukimai nepadaro vieną kartą padengtos srities ploto didesnio už viso skritulio plotą.

Kraštinių pavadinimai priklauso nuo pasirinkto smailiojo kampo

Statusis trikampis, kurio statiniai yra 3 cm ir 4 cm, o įžambinė – 5 cm, yra konkretus atspirties taškas. Jo statusis kampas yra ten, kur susitinka abu statiniai; prieš vadindami statinį priešinguoju ar prie kampo esančiu statiniu, pasirinkite vieną iš kitų trikampio kampų. Toliau pateiktuose įrodymuose remiamės žinoma trikampio kampų sumos savybe, kampų prieš lygias kraštines lygybės savybe, Pitagoro teorema ir jai atvirkštine teorema bei KK ir KKK kriterijais.

Dabar pasirinkime smailųjį kampą θ neišsigimusiame stačiajame trikampyje: 0 < θ < π/2, arba 0° < θ < 90°. Įžambinė h yra prieš statųjį kampą. Kampo θ atžvilgiu o pažymėkime prieš jį esantį statinį, o a – prie jo esantį statinį. Čia „prie kampo esantis“ reiškia statinį, sudarantį kampą θ, o ne įžambinę, kuri taip pat eina per to kampo viršūnę. Pasirinkus kitą smailųjį kampą, o ir a susikeičia vietomis, bet h nesikeičia.

Patogioje stačiakampėje koordinačių sistemoje, kurioje naudojamas vienas bendras ilgio vienetas, parinkime A = (0, 0), B = (a, 0) ir C = (0, o), kur o > 0 ir a > 0. Statusis kampas yra ties A, o pasirinktas kampas θ – ties B. Taigi AC yra prieš kampą θ esantis statinis, AB – prie jo esantis statinis, o BC – įžambinė. Tokį koordinačių pasirinkimą pagrindžia žinomas statusis kampas; priskirdami jas bet kokiam trikampiui, darytume dar neįrodytą prielaidą.

Kai pateikiami kraštinių ilgiai ir teigiama, kad trikampis yra statusis, pirmiausia visus ilgius išreikškime tuo pačiu vienetu. Turi galioti o > 0, a > 0, h > 0 ir o² + a² = h². Pitagoro teorema ir jai atvirkštinė teorema pagrindžia trikampio priskyrimą statiesiems trikampiams. Kai o ir a teigiami, gauname h > o ir h > a, taip pat griežtas trikampio nelygybes, todėl trikampis yra neišsigimęs, o kiti jo kampai – smailieji.

Duomenys (o, a, h) = (0, 4, 4) tenkina kvadratų lygybę, tačiau vienos kraštinės ilgis lygus nuliui, todėl neišsigimusio trikampio nėra. Duomenų (3, 4, 6) kraštinių ilgiai teigiami ir tenkina griežtas trikampio nelygybes, todėl įprastas trikampis egzistuoja. Tačiau jie netenkina lygybės 3² + 4² = 6² ir neapibrėžia numanomo stačiojo trikampio. Skirkime nepasitvirtinusią hipotezę apie statųjį kampą nuo teiginio, kad joks trikampis neįmanomas.

Sinusas, kosinusas ir tangentas – ilgių santykiai

Pasirinkime kampą ties B stačiajame trikampyje, kuriame prieš šį kampą esančio statinio ilgis yra 3 cm, prie jo esančio statinio – 4 cm, o įžambinės – 5 cm. Trys naudingi santykiai yra 3/5, 4/5 ir 3/4: prieš kampą esančio statinio ir įžambinės, prie kampo esančio statinio ir įžambinės bei prieš kampą esančio statinio ir prie kampo esančio statinio. Kitoje pastraipoje šiems santykiams suteikiami pavadinimai.

Pasirinktam smailiajam kampui tinkamame stačiajame trikampyje apibrėžiame sin θ = o/h, cos θ = a/h ir tan θ = o/a. Žodžiai sinusas, kosinusas ir tangentas įvardija šiuos tris skirtingus santykius. Žymėjimas sin θ reiškia kampo θ sinusą; tai nėra kintamojo, pavadinto „sin“, ir θ sandauga. Prieš priskirdami prieš kampą ir prie kampo esančius statinius, nurodykime pasirinktą kampą.

Kiekviename santykyje vienas ilgis dalijamas iš kito, išreikšto tuo pačiu vienetu, todėl ilgio vienetai susiprastina. Rezultatas yra bedimensis: (3 m)/(5 m) = 3/5, ir metrų nebelieka. Šiuo smailiojo kampo atveju visi trys santykiai yra teigiami. Kadangi h yra ilgesnė už kiekvieną statinį, 0 < sin θ < 1 ir 0 < cos θ < 1. Priklausomai nuo abiejų statinių ilgių, tangentas gali būti mažesnis už 1, jam lygus arba už jį didesnis.

Kol kas šie apibrėžimai taikomi smailiesiems kampams neišsigimusiuose stačiuosiuose trikampiuose. Jie dar neapibrėžia 0°, 90°, neigiamų kampų ar pilno apsisukimo kampų sinuso, kosinuso ar tangento. Ankstesniuose skyriuose tokio dydžio kampai yra galimi pasukimai; norint jiems išplėsti trigonometrines funkcijas, reikia kitoje pamokoje pateikiamos vienetinio apskritimo konstrukcijos.

Panašumas įrodo, kad kampas lemia santykius

Padauginkite kraštinių ilgius 3, 4, 5 iš 3/2. Naujieji ilgiai yra 9/2, 6 ir 15/2, išreikšti tuo pačiu matavimo vienetu. Prieš skaičiuodami numatykite, ar santykiai, perimetras ir plotas išliks tokie patys. Poriniame brėžinyje naudojama viena koordinačių sistema, todėl atitinkamus ilgius galima palyginti tiesiogiai; bendras pagrindimas pateikiamas toliau.

Kodėl šiuos santykius galime vadinti kampo, o ne vieno trikampio reikšmėmis? Imkime bet kuriuos du neišsigimusius stačiuosius trikampius, turinčius tą patį smailųjį kampą θ. Abu taip pat turi statųjį kampą, todėl jų tretieji kampai yra lygūs. Pagal trikampių panašumo pagal du kampus požymį atitinkamų kraštinių ilgius sieja bendras teigiamas mastelio koeficientas k: o′ = ko, a′ = ka ir h′ = kh.

Suprastinę šį nenulinį daugiklį, gauname o′/h′ = ko/(kh) = o/h, a′/h′ = ka/(kh) = a/h ir o′/a′ = ko/(ka) = o/a. Tai įrodo, kad visi trys santykiai sutampa kiekvienoje tokioje trikampių poroje. Skaitiniai pavyzdžiai gali padėti patikrinti samprotavimą, tačiau bendrąjį įrodymą suteikia laisvai pasirinktas teigiamas k ir panašumo požymis.

Pakeitus bendrą ilgio matavimo vienetą, visos skaitinės kraštinių ilgių vertės taip pat padauginamos iš to paties teigiamo skaičiaus, todėl santykiai nesikeičia. Skirtingais vienetais išreikštus ilgius pirmiausia reikia suvienodinti. Jei ilgiai yra 3 m, 400 cm ir 5 m, prieš tikrindami Pitagoro teoremą ar skaičiuodami santykius, 400 cm paverskite į 4 m. Vien skaičiai 3, 400 ir 5 neišreiškia trijų ilgių tuo pačiu vienetu.

Keičiant kraštinių ilgių mastelį, būtina sąlyga k > 0. Padauginus iš nulio, visų kraštinių ilgiai tampa lygūs nuliui, todėl trupmenų vardikliai būtų nuliniai, o trikampio su smailiuoju kampu nebeliktų. Neigiamas daugiklis duoda neigiamus numatomus fizinius ilgius. Koordinačių transformacijose, kuriose atsižvelgiama į ženklą, taikoma kita sutartis; dėl jos neigiamas skaičius čia netampa leistinu fizinių kraštinių ilgių daugikliu.

Kitas smailusis kampas sukeičia sinusą ir kosinusą

Dviejų stačiojo trikampio smailiųjų kampų suma yra π/2. Jei pasirinktas kampas yra θ, kitą pažymėkime φ = π/2 − θ. Abu kampai lieka smailieji. Prieš kampą θ esantis statinis yra prie kampo φ, o prie kampo θ esantis statinis yra prieš kampą φ. Įžambinė lieka ta pati.

Pritaikę apibrėžimus taip sukeitus statinių vaidmenis, gauname sin φ = a/h = cos θ, cos φ = o/h = sin θ ir tan φ = a/o = 1/(tan θ). Esant nurodytoms prielaidoms, visi vardikliai yra teigiami. Taip kampų, kurių suma lygi stačiajam kampui, ryšiai paaiškinami tiesiogiai remiantis trikampiu, nenaudojant suapvalinto kampo matavimo rezultato.

Iš Pitagoro teoremos taip pat gauname (sin θ)² + (cos θ)² = (o² + a²)/h² = 1. Padaliję sinusą iš kosinuso, gauname (sin θ)/(cos θ) = (o/h)/(a/h) = o/a = tan θ. Čia kvadratu keliamos santykių reikšmės, o kosinusas nelygus nuliui, nes θ yra smailusis kampas. Tai bendrosios tapatybės šiuo metu nagrinėjamiems smailiesiems kampams, o ne funkcijų apibrėžimas visiems posūkiams.

Lygiašonis statusis trikampis duoda tikslias 45° reikšmes

Pradėkime nuo stačiojo trikampio, kurio kiekvieno statinio ilgis yra 1 ilgio vienetas. Kai statiniai lygūs, smailieji kampai taip pat lygūs; jų suma yra 90°, todėl kiekvienas yra 45°. Dabar išlaikykime tą pačią konstrukciją, pasirinkdami bet kokį dydį, kai abiejų statinių ilgis yra ℓ > 0. Prieš lygius statinius esantys kampai yra lygūs. Dviejų smailiųjų kampų suma yra 90°, todėl kiekvienas yra 45°, arba π/4 radianų. Iš Pitagoro teoremos gauname h² = ℓ² + ℓ² = 2ℓ², taigi h = ℓ√2; ilgiui būtina teigiama šaknis.

Bet kurio smailiojo kampo atžvilgiu tiek prieš jį, tiek prie jo esančio statinio ilgis yra ℓ. Taigi sin 45° = cos 45° = ℓ/(ℓ√2) = 1/√2 = √2/2, o tan 45° = ℓ/ℓ = 1. Padauginę 1/√2 skaitiklį ir vardiklį iš √2, paaiškiname lygiavertę tikslią išraišką √2/2.

Įrodyme naudojamas laisvai pasirinktas teigiamas ℓ, todėl jis galioja bet kokio dydžio šiam ypatingam stačiajam trikampiui. Pasirinkus ℓ = 1, patogu nubraižyti brėžinį, o panašumas paaiškina, kodėl dydžio pakeitimas negali pakeisti santykių. Toks dešimtainis skaičius kaip 0.707 yra tik apytikslė √2/2 reikšmė.

Padaliję lygiakraštį trikampį pusiau, gauname tikslias 30° ir 60° kampų reikšmes

Pradėkite nuo lygiakraščio trikampio, kurio kraštinės ilgis yra 2 vienetai, ir pažymėkite jo pagrindo vidurio tašką: pagrindas pasidalija į dvi 1 vieneto ilgio dalis. Bendresniu atveju imkite 2ℓ ilgio kraštinę, kur ℓ > 0, ir sujunkite viršutinę viršūnę su pagrindo vidurio tašku. Gauti trikampiai turi lygias ilgąsias kraštines, lygias pagrindo dalis ir bendrą vidurinę atkarpą. Pagal trikampių lygumo požymį pagal tris kraštines jų kampai ties pagrindo vidurio tašku yra lygūs; šių gretutinių kampų suma yra 180°, todėl kiekvienas lygus 90°. Lygūs kampai ties viršutine viršūne padalija 60° kampą į du 30° kampus, o kampai prie pagrindo lieka 60°.

Kiekvieno stačiojo trikampio įžambinė yra 2ℓ, o trumpasis statinis – ℓ. Jei kitas statinis yra t > 0, pagal Pitagoro teoremą t² = (2ℓ)² − ℓ² = 3ℓ², taigi t = ℓ√3. Kampo 30° atžvilgiu priešingasis statinis yra ℓ, o prie kampo esantis statinis – ℓ√3. Gauname santykius sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ir tan 30° = 1/√3 = √3/3.

Nagrinėjant iki stačiojo kampo papildantį 60° kampą, abu statiniai susikeičia vaidmenimis. Todėl sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2 ir tan 60° = √3. Šios reikšmės ir 45° kampo reikšmės gaunamos taikant tikslią geometriją ir algebrą. Brėžinyje atlikti matavimai negali pakeisti jų įrodymų, o suapvalinus šaknų reikšmes būtų prarastas jų tikslumas.

Palyginkite tikslius atvejus ir susiekite kiekvieną patikrą su jos bendruoju pagrindu

Interaktyviojoje tyrinėjimo priemonėje yra keturios scenos, kiekvienoje – po aštuonis pasirinkimus. Konvertuojant išsaugomi visi posūkio kampai su ženklais: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, −90° ir 450°. Palyginkite kiekvieną tikslią kampo vertę radianais ir apsisukimų skaičių su ženklu su atskirai redukuota galutine kryptimi. Sutampantys galutiniai spinduliai nepanaikina skirtingų sukimosi krypčių ar pilnų apsisukimų. Šioje scenoje apskritimas iliustruoja sukimąsi ir radianus; jis neįveda globaliųjų trigonometrinių funkcijų.

Santykių scenoje naudojami trejetai (priešingasis statinis, prie kampo esantis statinis, siūloma įžambinė): (3, 4, 5), (4, 3, 5), (5, 12, 13), (12, 5, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (0, 4, 4) ir (3, 4, 6). Visiems ilgiams taikomas tas pats matavimo vienetas. Ir straipsnyje, ir lentelėse priešingasis statinis žymimas o, o prie kampo esantis statinis – a. Kai duomenys tinka stačiajam trikampiui, jo brėžinyje naudojamos koordinatės A = (0, 0), B = (prie kampo esantis statinis, 0), C = (0, priešingasis statinis), o pasirinktas smailusis kampas yra ties B. Prieš pripažindami bet kurį santykį stačiojo trikampio kampo sinusu, kosinusu ar tangentu, patikrinkite, ar ilgiai teigiami ir ar tiksliai tenkinama Pitagoro lygybė. Nulinio ilgio statinis reiškia išsigimusį trikampį; paskutinis trejetas aprašo įprastą nestatųjį trikampį, o ne tinkamus stačiojo trikampio duomenis. Pasirinkimams, kurie netinka stačiajam trikampiui, išsaugomos tikslios patikros, tačiau nepateikiamas brėžinys, teigiantis, kad toks statusis trikampis egzistuoja.

Panašumo vaizde pradiniai ilgiai (3, 4, 5) dauginami iš k = 1/2, 1, 2, 3/2, 3, 11/5, 0 arba −1. Pasirinkus teigiamas reikšmes, visi trys santykiai išlieka nepakitę pagal bendrąjį įrodymą, paremtą bendro daugiklio suprastinimu. Nulinės ir neigiamos reikšmės neatitinka fizinių kraštinių ilgių reikalavimo, nors formalius aritmetinius veiksmus vis tiek galima užrašyti. Keli sutampantys santykiai iliustruoja įrodymą, tačiau neįrodo nekintamumo esant bet kokiam teigiamam mastelio koeficientui.

Skritulio išpjovos vaizde pateikiamos poros (spindulys, kampas radianais, padalytas iš π): (2, 1/6), (3, 1/2), (1/2, 1), (4, 2), (2, 0), (0, 1/2), (2, −1/2) ir (2, 5/2). Prieš braižydami įprastą vieną kartą apibrėžtą skritulio išpjovą ar priskirdami jai lanko ilgį ir plotą, taikykite sąlygas r > 0 ir 0 ≤ θ ≤ 2π. Kai spindulys teigiamas, nulinis ir pilnas posūkiai yra leistini kraštiniai atvejai. Paskutiniai trys pasirinkimai neatitinka šios konstrukcijos sąlygų; kampų su ženklu ir kelių apsisukimų kampų perskaičiavimas išlieka galiojantis. Perskaitykite prie kiekvieno atvejo pateiktas tikslias formules ir įrodymą, o visus 32 pasirinktų atvejų patikrinimus atskirkite nuo pirmiau pateiktų bendrųjų argumentų.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Išreikškite 150° posūkį prieš laikrodžio rodyklę radianais, pateikdami tikslią reikšmę. Kokią viso apsisukimo dalį jis sudaro?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   150° = 5π/6 radianų, tai yra 5/12 viso apsisukimo prieš laikrodžio rodyklę.

   Kampo dydį laipsniais padauginkite iš π/180: 150π/180 = 5π/6. Apsisukimų skaičius su ženklu yra 150/360 = 5/12, taip pat (5π/6)/(2π). Abu skaičiavimai išsaugo teigiamą pasukimą, o ne pakeičia jį kitu kampu.

2. Paverskite −90° ir 270° radianais. Jei pradedama nuo to paties pradinio spindulio, ar šių kampų galinis spindulys sutampa ir ar jie nusako tą patį pasukimą su ženklu?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   −90° = −π/2 radianų, o 270° = 3π/2 radianų. Jų galinis spindulys sutampa, bet pasukimai su ženklu skiriasi vienu teigiamu visu apsisukimu, lygiu 2π.

   Verčiant radianais, kiekvienas kampo dydis laipsniais su ženklu dauginamas iš π/180. Jų skirtumas yra 270° − (−90°) = 360°, arba 3π/2 − (−π/2) = 2π. Vienu atveju pasukama ketvirtį apsisukimo pagal laikrodžio rodyklę, kitu – tris ketvirčius prieš laikrodžio rodyklę; supaprastinant galinės krypties išraišką, ši informacija neturi būti prarasta.

3. Apskritimo spindulys yra 2 cm, o vieną kartą apibrėžtos skritulio išpjovos kampas – 60°. Raskite tikslias jos lanko ilgio ir išpjovos ploto vertes. Ar tai tas pats fizikinis dydis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Lanko ilgis yra 2π/3 cm, o išpjovos plotas – 2π/3 cm². Jų skaitiniai koeficientai sutampa, tačiau tai skirtingi dydžiai, matuojami skirtingais vienetais.

   Paverskite 60° į π/3 radianų ir patikrinkite, ar r > 0 ir 0 ≤ π/3 ≤ 2π. Tada s = 2 × π/3 = 2π/3 cm, o S = 2² × (π/3)/2 = 2π/3 cm². Vienas dydis matuoja kreivės ilgį, kitas – srities plotą, todėl sutampantys skaičiai nereiškia, kad dydžiai yra tapatūs.

4. Duoti tariamo stačiojo trikampio kraštinių ilgiai smailiojo kampo θ atžvilgiu: priešingojo statinio – 8 vienetai, prie kampo esančio statinio – 15 vienetų, o įžambinės – 17 vienetų. Patikrinkite duomenis ir raskite tris šio kampo trigonometrinius santykius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Lygybė 8² + 15² = 17² patvirtina, kad teigiami kraštinių ilgiai atitinka stačiojo trikampio sąlygą. Nurodytajam kampui θ: sin θ = 8/17, cos θ = 15/17 ir tan θ = 8/15.

   Visi trys ilgiai yra teigiami ir išreikšti tuo pačiu vienetu, o 64 + 225 = 289 = 17². Remkitės kraštinių padėtimi duotojo kampo atžvilgiu, o ne sukeiskite statinius: sinusas yra priešingojo statinio ir įžambinės ilgių santykis, kosinusas – prie kampo esančio statinio ir įžambinės ilgių santykis, o tangentas – priešingojo ir prie kampo esančio statinių ilgių santykis. Visi matavimo vienetai susiprastina.

5. 3–4–5 stačiajame trikampyje kampas θ yra prieš 3 vienetų ilgio statinį. Kitą smailųjį kampą pažymėkime φ. Išreikškite φ per θ ir raskite sin φ, cos φ ir tan φ.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   φ = π/2 − θ. Šio kampo trigonometriniai santykiai yra sin φ = 4/5, cos φ = 3/5 ir tan φ = 4/3.

   Abu smailieji kampai papildo vienas kitą iki stačiojo kampo. Kampo θ atžvilgiu prieš jį ir prie jo esantys statiniai yra 3 ir 4; kampo φ atžvilgiu jie yra 4 ir 3. Įžambinė išlieka 5. Taigi sinuso ir kosinuso vertės susikeičia vietomis, o tangento vertė tampa atvirkštinė: 1/(3/4) = 4/3. Abu kampai yra smailieji, todėl nė vienas vardiklis nėra lygus nuliui.

6. Padauginkite stačiojo trikampio 3–4–5 prieš kampą esančio statinio, prie kampo esančio statinio ir įžambinės ilgius iš k = 3/2. Nurodykite naujus ilgius ir tris santykius. Paaiškinkite, kodėl bet kuris teigiamas daugiklis išlaikytų šiuos santykius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nauji ilgiai yra 9/2, 6 ir 15/2 ilgio vienetų. Santykiai išlieka 3/5, 4/5 ir 3/4. Kai k > 0, bendras daugiklis susiprastina santykiuose ko/(kh), ka/(kh) ir ko/(ka).

   Padauginkite visus tris pradinius ilgius iš to paties teigiamo daugiklio. Nauja ilgių kvadratų lygybė yra (9/2)² + 6² = 81/4 + 144/4 = 225/4 = (15/2)². Šių ilgių santykiai yra (9/2)/(15/2) = 3/5, 6/(15/2) = 4/5 ir (9/2)/6 = 3/4. Teigiamas daugiklis išlaiko neišsigimusį trikampį; bet kurio teigiamo daugiklio suprastinimas ir panašumu grindžiamas argumentas paaiškina bendrąjį teiginį, neapsiribojant šiuo vienu patikrinimu.

7. Duoti du ilgių trejetai (prieš kampą esantis statinis, prie kampo esantis statinis, numanoma įžambinė), išreikšti tuo pačiu ilgio vienetu: (0, 4, 4) ir (3, 4, 6). Kurį galima naudoti kaip neišsigimusio stačiojo trikampio duomenis smailiojo kampo trigonometriniams santykiams apskaičiuoti? Ar tai, kad antrasis trejetas atmetamas kaip stačiojo trikampio duomenys, reiškia, kad joks įprastas trikampis neegzistuoja?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nė vienas trejetas nėra tinkami neišsigimusio stačiojo trikampio duomenys. Pirmojo trejeto viena kraštinė yra nulinio ilgio; antrasis netenkina lygybės 3² + 4² = 6². Teigiami ilgiai 3, 4 ir 6 sudaro įprastą nestatųjį trikampį.

   Trejeto (0, 4, 4) atveju lygybė 0² + 4² = 4² nekompensuoja teigiamo ilgio statinio trūkumo ir neužtikrina smailiojo kampo. Trejeto (3, 4, 6) atveju 9 + 16 = 25 ≠ 36, todėl Pitagoro teoremos lygybė netenkinama. Vis dėlto visos nelygybės 3 + 4 > 6, 3 + 6 > 4 ir 4 + 6 > 3 yra griežtos, todėl įprastas neišsigimęs trikampis yra galimas. Jo kraštinių ilgių santykių negalima laikyti šioje pamokoje apibrėžtais stačiojo trikampio smailiojo kampo trigonometriniais santykiais.

Ką verta įsidėmėti

• Laipsniais ir radianais tas pats posūkis aprašomas skirtingais vienetais: d° = (d/180)π radianų. Konvertuojant išlaikomi ženklai ir pilni apsisukimai.
• Kampai, kurie skiriasi sveikuoju pilnų apsisukimų skaičiumi, turi tą patį galinį spindulį; jie nebūtinai aprašo tą patį posūkį su ženklu.
• Kai apskritimo spindulys teigiamas, kampo matas radianais nusako lanko ilgio ir spindulio, išreikštų tuo pačiu vienetu, santykį. Įprastoms vieną kartą apibrėžtoms skritulio išpjovoms, kai 0 ≤ θ ≤ 2π, taikomos formulės s = rθ ir S = r²θ/2; kampas išreiškiamas radianais, o ilgis ir plotas – skirtingais vienetais.
• Stačiojo trikampio smailiojo kampo trigonometriniams santykiams reikia teigiamų kraštinių ilgių, išreikštų tuo pačiu vienetu ir tenkinančių Pitagoro teoremos lygybę. Kuris statinis yra prieš kampą, o kuris prie jo, priklauso nuo pasirinkto kampo; įžambinė visada yra prieš statųjį kampą.
• Sinusas yra priešingojo statinio ir įžambinės santykis, kosinusas – gretimojo statinio ir įžambinės santykis, o tangentas – priešingojo ir gretimojo statinių santykis. Panašumas ir teigiamo bendrojo daugiklio suprastinimas įrodo, kad šie bedimensiai santykiai priklauso nuo smailiojo kampo, o ne nuo trikampio dydžio.
• Vienas kitą iki stačiojo kampo papildančių smailiųjų kampų priešingasis ir gretimasis statiniai susikeičia vietomis, todėl sinusas ir kosinusas taip pat susikeičia, o tangentas tampa savo atvirkštiniu dydžiu. Čia nagrinėjamu atveju iš Pitagoro teoremos gauname (sin θ)² + (cos θ)² = 1.
• Įrodymai, paremti lygiašoniu stačiuoju trikampiu ir perpus padalytu lygiakraščiu trikampiu, leidžia gauti tikslius 45°, 30° ir 60° kampų santykius. Pasirinkti tyrinėjimo priemonės atvejai iliustruoja bendruosius argumentus; toliau bus nagrinėjamos vienetiniu apskritimu apibrėžtos visų kampų trigonometrinės funkcijos.