Kompleksinio skaičiaus polinė forma ir Eulerio formulė

Pasirenkite susieti kompleksinių skaičių aritmetiką su kryptimis

Naudosite i² = −1, koordinates su ženklais, kompleksinio skaičiaus modulį ir tikrųjų skaičių kėlimą sveikuoju laipsniu. Grįžkite prie pasirengimo nuorodų, jei dar neįprasta dauginti (1 + i)(1 − i), rasti |3 + 4i| ar atlikti veiksmus su atvirkštiniu skaičiumi. Kampų taisyklėse taip pat naudojami vienetinio apskritimo sinusas ir kosinusas bei tikrųjų kampų sudėties tapatybės.

Skaitydami pirmą kartą, išnagrinėkite polinį vaizdavimą, argumentus, daugybą, kėlimą sveikuoju laipsniu ir formulę, duodančią visas šaknis, remdamiesi jų diagramomis ir tiksliais pavyzdžiais. Šiems algebriniams veiksmams pakanka žymėjimo cis. Prie skyriaus apie Eulerio formulę grįžkite išmokę diferencijuoti atskiras komponentes, taikyti sandaugos diferencijavimo taisyklę ir supratę, kodėl nulinė išvestinė intervale reiškia, kad funkcija jame pastovi; tame skyriuje matematinės analizės prielaidos nurodytos aiškiai.

Polinė forma atskiria ilgį nuo krypties

Taškas z = 1 + √3 i yra nutolęs nuo koordinačių pradžios per 2 vienetus, nes 1² + (√3)² = 4. Jo teigiama realioji koordinatė ir teigiama menamoji koordinatė rodo, kad jis yra pirmajame ketvirtyje, o jo kryptį nusako kampas π/3. Koordinatės nurodo, kiek reikia pasislinkti išilgai kiekvienos ašies; ilgis 2 ir kryptis π/3 leidžia nustatyti to paties taško vietą kitu būdu.

Užrašykite z = x + yi, kur x ir y yra realiosios koordinatės kompleksinėje plokštumoje, kurios abiejų ašių mastelis vienodas. Šio skaičiaus modulis yra r = |z| = √(x² + y²), neneigiamas realusis skaičius. Jei z ≠ 0, tai r > 0, o taškas (x/r, y/r) yra vienetiniame apskritime. Todėl egzistuoja realusis kampas θ, kuriam cosθ = x/r ir sinθ = y/r. Padauginę šias koordinates iš r, gauname pradinį skaičių: z = r(cosθ + i sinθ).

Santrumpa cisθ reiškia cosθ + i sinθ. Taigi nenulinio skaičiaus polinė forma yra r cisθ, kur r yra jo teigiamas modulis. Visi šios pamokos kampai matuojami radianais. Iš vienetinio apskritimo tapatybės gauname |cisθ|² = cos²θ + sin²θ = 1, todėl |r cisθ| = r, kai r ≥ 0. Tai įrodo, kad standartinis polinis spindulys yra modulis, o ne Dekarto koordinatė su ženklu.

Kai z = 0, modulis lygus nuliui ir 0 cisθ = 0 su kiekvienu realiuoju θ. Tai to paties skaičiaus išraiškos, tačiau nulis neturi nei krypties, nei argumento. Dalijant jo koordinates iš r, būtų dalijama iš nulio. Atsižvelkite į šį skirtumą, kai formulėje ar diagramoje prašoma nurodyti argumentą: savavališkas kampas, priskirtas išraiškai 0 cisθ, neapibrėžia Arg 0.

Pagrindinė argumento reikšmė – vienas pasirinktas atstovas

Kai z ≠ 0, argumentas yra bet kuris realusis θ, tenkinantis normuotų koordinačių lygtis. Du kampai nusako tą patį vienetinio apskritimo tašką tada ir tik tada, kai jų skirtumas lygus 2kπ, kur k yra sveikasis skaičius. Pasirinkime pagrindinę argumento reikšmę Arg z iš intervalo (−π, π]. Tuomet visa argumento reikšmių aibė yra arg z = {Arg z + 2kπ : k ∈ ℤ}. Šioje aibėje yra visos argumento reikšmės, o Arg z yra vienas skaičius.

Neigiamojoje realiojoje pusašėje pagrindinė argumento reikšmė yra π, nes pagal šį susitarimą π įtraukiamas, o −π neįtraukiamas. Ankstesnėje polinių koordinačių pamokoje naudotas kitas kanoninis atstovas Θ ∈ [0, 2π). Kai 0 ≤ Θ ≤ π, Arg z = Θ; kai π < Θ < 2π, Arg z = Θ − 2π. Abu susitarimai aprašo tą pačią visą argumento reikšmių aibę, ir pagal nė vieną iš jų koordinačių pradžiai kryptis nepriskiriama.

Ketvirtį nustatykite pagal abiejų koordinačių ženklus. Santykis y/x vertikaliojoje ašyje neapibrėžtas ir pats savaime neleidžia atskirti priešingų krypčių. Taškui, nesutampančiam su koordinačių pradžia, imkime α = arccos(x/r) ∈ [0, π]. Jei y ≥ 0, imkite Arg z = α; jei y < 0, imkite Arg z = −α. Iš vienetinio apskritimo tapatybės gauname |sinα| = |y|/r, o pasirinkę ženklą tiksliai atkuriame y/r. Taškams ant ašių galioja tas pats susitarimas. Dešimtainė kampo reikšmė gali padėti nustatyti padėtį brėžinyje, tačiau ji neįrodo argumento reikšmės.

Argumentas nusako galutinę kryptį. Pasirinktas kryptinis posūkis gali vykti pagal laikrodžio rodyklę arba apimti kelis pilnus apsisukimus, kol pasiekiama ši kryptis. Pavyzdžiui, −π/2 ir 7π/2 atitinka tą patį galutinį tašką ir skiriasi 4π, tačiau tai skirtingi realieji posūkio dydžiai. Argumento normavimas nereiškia, kad šie sukimosi keliai yra vienodi.

Lygybei reikia spindulio ir visos kampų šeimos

Tarkime, kad r ir s yra teigiami. Tuomet r cisθ = s cisφ tada ir tik tada, kai r = s ir θ − φ = 2kπ su kuriuo nors sveikuoju skaičiumi k. Iš lygybės pirmiausia išplaukia modulių lygybė. Padalijus iš jų bendro teigiamo modulio, gaunamos vienodos vienetinio apskritimo koordinatės, todėl išplaukia pilno apsisukimo sąlyga. Ir atvirkščiai: vienodi spinduliai ir ši kampų sąlyga duoda abi tas pačias Dekarto koordinates. Vien vienodos tangento reikšmės nepakanka.

Naudojant neneigiamus standartinius spindulius, yra dar vienas atvejis: jei r = s = 0, lygybė galioja visiems θ ir φ be jokios argumento sąlygos. Jei tik vienas spindulys lygus nuliui, šie du skaičiai skiriasi. Todėl teigiamo spindulio argumento taisyklės negalima be išlygų taikyti nuliui.

Polinės koordinatės su ženklą turinčiu spinduliu vis tiek naudingos, kai anksčiau nagrinėta kreivė duoda neigiamą spindulį. Kai realusis spindulys su ženklu R ≠ 0, R cisθ = |R| cis(θ + π), jei R < 0, o jei R > 0, gaunama |R| cisθ. Pusė apsisukimo pakeičia abi vienetines koordinates priešingomis ir panaikina neigiamą ženklą. Kiekvienas nenulinio skaičiaus, kurio modulis yra r, o argumentas α, vaizdavimas spinduliu su ženklu yra arba (r, α + 2kπ), arba (−r, α + (2k + 1)π). Neigiamas spindulys yra tinkamas koordinačių vaizdavimas, bet jis nėra neigiamas modulis.

Dauginant krypties kampai sudedami, o ilgiai dauginami

Pirmiausia apskaičiuokite (2i)(1 + i) = −2 + 2i. Daugyba iš i pakeičia (1, 1) į (−1, 1) – tai ketvirtis apsisukimo prieš laikrodžio rodyklę; tada daugiklis 2 padvigubina abi koordinates. Modulis padidėja nuo √2 iki 2√2, o krypties kampas – nuo π/4 iki 3π/4. Šis paprastas atvejis parodo pasukimą ir mastelio keitimą, kuriuos paaiškina bendroji taisyklė.

Išskleiskite dviejų vienetinio modulio daugiklių sandaugą, naudodami i² = −1. Jos realioji dalis yra cosθ cosφ − sinθ sinφ, o menamoji dalis – sinθ cosφ + cosθ sinφ. Todėl iš realiųjų kampų sumos tapatybių gaunama cisθ cisφ = cis(θ + φ) bet kuriai realiųjų kampų porai. Tai bendras algebrinis įrodymas, o ne patikrinimas su keliais pasirinktais ypatingais kampais.

Kai z = r cisθ ir w = s cisφ yra nenuliniai, iš to išplaukia zw = rs cis(θ + φ), o |zw| = rs. Bet kurį sandaugos argumentą galima gauti sudėjus daugiklių argumentus, tačiau suma nebūtinai priklauso intervalui (−π, π]. Prieš vadindami ją pagrindiniu argumentu, atimkite tinkamą pilno apsisukimo kartotinį. Apskritai Arg(zw) yra kongruentus Arg z + Arg w moduliu 2π, o ne lygus šiai sumai kaip realusis skaičius.

Fiksuotas nenulinis daugiklis w = s cisφ kiekvieno poslinkio ilgį padaugina iš s ir pasuka jį kampu φ; kampai, besiskiriantys pilno apsisukimo kartotiniu, nusako tą patį pasukimą. Bet kuriems taškams z₁ ir z₂ iš skirstomumo dėsnio gaunama wz₁ − wz₂ = w(z₁ − z₂), todėl naujasis atstumas tarp jų yra s|z₁ − z₂|. Kai s = 1, šis atvaizdis išsaugo atstumus. Kai w = 0, kiekvienas taškas virsta nuliu; daugikliui negalima priskirti krypties, o nenuliniai atstumai neišsaugomi. Ilgio tapatybė |zw| = |z||w| galioja ir tada, kai vienas daugiklis lygus nuliui.

Atvirkštinis skaičius pakeičia argumento ženklą, o jo modulis yra atvirkštinis

Kadangi cisφ cis(−φ) = cis0 = 1, nenulinio skaičiaus w = s cisφ atvirkštinis skaičius yra (1/s) cis(−φ). Taigi nenuliniams z ir w galioja z/w = (r/s) cis(θ − φ). Pradinis vardiklis turi tenkinti sąlygą w ≠ 0, arba, lygiavertiškai, s > 0. Kai skaitiklis z = 0, o vardiklis nenulinis, dalmuo lygus nuliui ir neturi argumento; dalyba iš nulio lieka neapibrėžta nepriklausomai nuo skaitiklio.

Kompleksiškai jungtinis skaičius yra z̄ = r(cosθ − i sinθ) = r cis(−θ), nes kosinusas yra lyginė, o sinusas – nelyginė funkcija. Modulis išlieka toks pat, o krypties kampas pakeičia ženklą atspindint realiosios ašies atžvilgiu. Ir čia −θ yra argumentas, bet nebūtinai pagrindinė jo reikšmė: neigiamo realiojo skaičiaus jungtinis skaičius sutampa su juo pačiu ir turi pagrindinį argumentą π, nors −π nusako tą patį spindulį.

Atvirkštinis skaičius Dekarto koordinatėmis taip pat išreiškiamas formule z̄/|z|², kai z ≠ 0, nes z z̄ = |z|² > 0. Taip patikrinama, ar polinė atvirkštinio skaičiaus išraiška dera su ankstesniais algebriniais veiksmais koordinatėmis. Įprastas polinės išraiškos modulis dalmenyje išlieka neneigiamas; neigiama koordinatė ar neigiamas argumentas nereiškia, kad daliklio ilgis yra neigiamas.

Kėlimui sveikuoju laipsniu taikoma ta pati daugybos taisyklė

Kai m yra teigiamasis sveikasis skaičius, kartotinė daugyba duoda cis(θ)ᵐ = cis(mθ). Matematinės indukcijos būdu tai įrodoma kiekvienam tokiam m: atvejis m = 1 yra apibrėžimas, o padauginus galiojančio m atvejo išraišką iš cisθ, gaunama cis(mθ + θ), t. y. atvejis m + 1. Taigi zᵐ = rᵐ cis(mθ), kai z = r cisθ yra nenulinis. Kai pagrindas lygus nuliui, taip pat galioja 0ᵐ = 0, jei m > 0, nors nulis neturi argumento, kurį būtų galima dauginti.

Kai z ≠ 0, sveikasis laipsnio rodiklis nulis duoda z⁰ = 1 = r⁰ cis0. Kai m = −j yra neigiamasis sveikasis skaičius ir j > 0, apibrėžiame zᵐ = (1/z)ʲ. Atvirkštiniam skaičiui pritaikome įrodytą teigiamojo laipsnio taisyklę: zᵐ = r⁻ʲ cis(−jθ), taigi gauname tą pačią formulę rᵐ cis(mθ). Sąlyga, kad pagrindas būtų nenulinis, yra būtina. Šioje pamokoje 0⁰ ir visi neigiamieji nulio laipsniai lieka neapibrėžti.

Pakeitus θ į θ + 2kπ, mθ pasikeičia dydžiu 2mkπ, kuris yra pilno apsisukimo kampo kartotinis, nes m yra sveikasis skaičius. Todėl laipsnio reikšmė nepriklauso nuo to, kuris argumentas pasirinktas. Šis samprotavimas nepagrindžia kompleksinio skaičiaus kėlimo bet kokiu trupmeniniu ar realiuoju laipsniu. Dalijant argumentą iš sveikojo skaičiaus, gaunamos skirtingos šaknys; tik vienos iš jų pasirinkimas yra papildomas susitarimas, o ne neribotas teoremos apie sveikuosius laipsnius išplėtimas.

Teigiamas sveikasis šaknies laipsnis duoda visą baigtinę šaknų aibę

Tegu n yra teigiamas sveikasis skaičius, o duotasis skaičius yra z = r cisθ, kur r > 0. Apibrėžkime ρ kaip vienintelį teigiamą realųjį skaičių, tenkinantį ρⁿ = r. Bet kuris lygties wⁿ = z sprendinys yra nenulinis, todėl užrašykime w = s cisφ, kur s > 0. Iš kėlimo sveikuoju laipsniu taisyklės ir polinės formos skaičių lygybės sąlygų gauname sⁿ = r ir nφ = θ + 2kπ. Taigi s = ρ, o kiekvienas galimas sprendinys yra pavidalo w_k = ρ cis((θ + 2kπ)/n), kur k yra sveikasis skaičius.

Pakanka imti k = 0, 1, …, n − 1. Užrašius bet kurį sveikąjį skaičių k kaip nq + j, kur 0 ≤ j < n, atitinkamas kampas pasikeičia dydžiu 2qπ, o jį atitinkantis taškas lieka tas pats. Kiekvienas iš išvardytų skaičių iš tiesų tinka: pakėlę jį n-uoju laipsniu gauname r cis(θ + 2jπ) = z. Taip įrodomas kiekvienos šakos egzistavimas ir atliekamas atvirkštinis patikrinimas.

Visos n išvardytų šaknų yra skirtingos. Jei šaknys su indeksais j ir l sutampa, jų teigiamus spindulius galima suprastinti, todėl 2π(j − l)/n turi būti pilno apsisukimo kampo kartotinis. Vadinasi, j − l dalijasi iš n. Kai 0 ≤ j,l < n, tai įmanoma tik tada, kai j = l. Šaknys išsidėsčiusios apskritime, kurio spindulys ρ, vienodais kampiniais tarpais 2π/n, o išvedimas įrodo, kad nepraleista jokių kitų sprendinių. Duotojo skaičiaus argumentu pasirinkus θ + 2hπ, tik perstatomi indeksai moduliu n.

Kai duotasis skaičius z = 0, nepriskirkite jam išgalvoto argumento ir netaikykite teigiamo spindulio šaknų apskritimo. Iš modulių lygybės |wⁿ| = |w|ⁿ gauname |w|ⁿ = 0, taigi w = 0. Kiekvienam teigiamam sveikajam n tai yra vienintelis skirtingas sprendinys; visi n reiškinių, gaunamų nulį dauginant iš kampinių daugiklių, sutampa. Kai n = 1, vienintelis sprendinys yra pats duotasis skaičius. Nuliniam, neigiamam ar nesveikajam šaknies laipsniui ši n-ojo laipsnio šaknų teorema netaikoma, ir to negalima pateikti kaip įrodymo, kad kitaip apibrėžta lygtis neturi sprendinių.

Pasirinkta pagrindinė šaknis – tik viena šaka

Lygtis wⁿ = z reikalauja rasti visus sprendinius. Kai n yra teigiamas sveikasis skaičius, susitarimas dėl pagrindinės vertės parenka tik vieną: kai z ≠ 0, pagal šį susitarimą dėl argumento pasirenkama ρ cis((Arg z)/n). Šis apibrėžimas neatmeta kitų n − 1 pradinės lygties šaknų. Kai z = 0, pagrindinė šaknis yra nulis, nepriskiriant pagrindinio argumento.

Pagrindinei kvadratinei šakniai parinkti naudojama pusė kampo iš intervalo (−π, π], todėl jos realioji dalis yra neneigiama; jei realioji dalis lygi nuliui, menamoji dalis yra neneigiama. Taigi pagrindinė kvadratinė šaknis iš −1 yra i, o visa kvadratinių šaknų iš −1 aibė yra {i, −i}. Šioje pamokoje simbolis √r, kai r yra neneigiamas realusis skaičius, visada reiškia jo neneigiamą realiąją šaknį, o kompleksinių šaknų lygties atveju būtina išlaikyti visas šakas.

Pagrindinėms kompleksinių šaknų reikšmėms galioja ne visi įprasti neneigiamų realiųjų skaičių šaknų dėsniai. Pavyzdžiui, abi pagrindinės reikšmės √(−1) yra i, jų sandauga yra −1, o pagrindinė reikšmė √((−1)(−1)) = √1 yra 1. Siūlant šaknies skaičiavimą, būtina nurodyti, ar nagrinėjami visi sprendiniai, ar pasirinkta šaka, ir patikrinti gautą reikšmę pradinėje lygtyje su laipsniu.

Analizinė Eulerio formulės žymėjimo prasmė

Eulerio žymėjime rašoma e^(it) = cos t + i sin t = cis t, kai t yra realusis skaičius. Vien realiosios eksponentinės funkcijos apibrėžimas nepaaiškina menamojo laipsnio rodiklio. Toliau pateikiama įžanga suteikia prasmę žymėjimui menamojoje ašyje, remiantis nurodytais realiosios matematinės analizės faktais: diferencijavimu pagal komponentes, (cos t)′ = −sin t, (sin t)′ = cos t, sandaugos diferencijavimo taisykle ir tuo, kad diferencijuojama realioji funkcija, kurios išvestinė intervale lygi nuliui, yra pastovi. Čia šie faktai apie išvestines laikomi žinomais; jų įrodymai matematinės analizės metodais bus pateikti vėliau.

Apibrėžkime E(t) kaip diferencijuojamą kompleksinių reikšmių funkciją aibėje ℝ, tenkinančią E′(t) = iE(t) ir E(0) = 1. Egzistavimas parodomas tiesiogiai: C(t) = cis t tenkina C′(t) = −sin t + i cos t = iC(t) ir C(0) = 1. Vienatinumui įrodyti imkime bet kurį kitą sprendinį F ir diferencijuokime C(−t)F(t). Šios sandaugos išvestinė yra (−iC(−t))F + C(−t)iF = 0. Abi realiosios komponentės yra pastovios, todėl ši sandauga lygi savo pradinei reikšmei 1. Padauginę iš C(t) ir pasinaudoję C(t)C(−t) = 1, gauname F(t) = C(t) visur. Šį vienintelį sprendinį pažymėję e^(it), pagrindžiame Eulerio formulę esant šioms analizinėms prielaidoms.

Šis argumentas įrodo teiginį visiems realiesiems t pagal pateiktą apibrėžimą diferencialine lygtimi; tai nėra nei baigtinio skaičiaus specialiųjų kampų patikra, nei teiginys apie neįrodytą laipsninės eilutės konvergavimą. Visuose ankstesniuose sandaugos, dalmens, laipsnio ir šaknies įrodymuose jau buvo naudojamas cis žymėjimas ir trigonometrinės tapatybės, todėl šiais įrodymais galima remtis dar nesimokius matematinės analizės. Eulerio žymėjimas dabar glaustai išreiškia tuos pačius jau pagrįstus vienetinio modulio daugiklius.

Kompleksinės eksponentinės funkcijos žymėjimas nuosekliai pratęsia realiąją eksponentinę funkciją

Kai a ir b yra realieji skaičiai, apibrėžkime exp(a + bi) = eᵃ cis b, kur eᵃ yra įprastos realiosios eksponentinės funkcijos teigiama reikšmė. Kai b = 0, šis apibrėžimas sutampa su eᵃ, o kai a = 0, jis sutampa su pagrįstu žymėjimu menamojoje ašyje. Šią apibrėžtą kompleksinę eksponentinę funkciją taip pat žymime e^(a + bi). Jos sudėties dėsnis išplaukia tiesiogiai: realiosios eksponentinės funkcijos reikšmės dauginamos sudedant jų realiuosius laipsnio rodiklius, o įrodytas cis sandaugos dėsnis sudeda menamąsias koordinates. Taigi exp(u + v) = exp(u)exp(v) visiems kompleksiniams u ir v.

Jos modulis yra eᵃ > 0, todėl kompleksinės eksponentinės funkcijos reikšmė niekada nėra nulis. Ir atvirkščiai, bet kuris nenulinis r cisθ yra exp(ln r + iθ), naudojant realųjį skaičiaus r > 0 logaritmą. Taip gaunama kiekviena nenulinė reikšmė ir įrodoma, kad visa jos reikšmių aibė yra ℂ be nulio. Du argumentai a + bi ir c + di duoda tą pačią reikšmę tada ir tik tada, kai a = c ir b − d = 2kπ, kur k yra sveikasis skaičius: iš teigiamų modulių lygybės ir realiosios eksponentinės funkcijos injektyvumo gauname a = c, o vienetinio modulio daugiklių lygybė duoda kampų sąlygą. Neapribojus šakos, vienos atvirkštinės funkcijos visoje ℂ nėra.

Taigi, kai t yra realusis skaičius, e^(it) brėžia vienetinį apskritimą, o mažiausias teigiamas periodas yra 2π. Periodas P > 0 turi tenkinti e^(iP) = e^(i0) = 1, todėl P = 2kπ; pagal sudėties dėsnį 2π iš tiesų yra periodas. Funkcijos reikšmės pasikartojimas po viso apsisukimo nereiškia, kad skirtingi realieji argumentai ar orientuotieji posūkiai yra tapatūs. Tapatybės e^(iπ) = −1 ir e^(iπ) + 1 = 0 yra tikslios išvados, o ne dešimtainės aproksimacijos.

Aiškiai nurodykite kampų matavimo vienetus: įžangoje apie išvestines, jos periode ir pirmiau pateiktose formulėse naudojami radianai, o ne vien laipsnių skaičius laipsnio rodiklyje. Jei laipsnio rodiklis ar fazė gaunami iš fizikinio modelio, jų argumentas turi būti bedimensis arba perskaičiuotas į aiškiai nurodytą fazę radianais. Baigtinė diagrama gali iliustruoti pasirinktus vienetinio modulio daugiklius ar baigtinę šaknų aibę; ji negali įrodyti visos parametrinės funkcijos reikšmių aibės, eksponentinės funkcijos reikšmių aibės ar kiekvienos argumentų šeimos.

Palyginkite tikslias vaizdavimo formas, veiksmus, laipsnius ir šaknų aibes

Pradėkite nuo vaizdavimo pirmajame ketvirtyje. Numatykite, ar prie kampo pridėjus 2π arba π skaičius išlieka tas pats, tada patikrinkite tikslias koordinates. Palyginkite neigiamąją realiosios ašies dalį su pasirinktu pagrindinio argumento intervalu. Spindulio su ženklu atveju paaiškinkite, kodėl nurodyto kampo spindulys gali būti nukreiptas priešinga kryptimi nei kompleksinis skaičius, nors modulis išlieka teigiamas. Galiausiai išnagrinėkite nulį ir atskirkite jo vaizdavimui priskirtą kampą nuo tikrojo argumento.

Daugybos atveju numatykite rezultato modulį ir kryptį prieš peržiūrėdami jo Dekarto formą. Dalybos atveju pirmiausia patikrinkite pradinį daliklį. Palyginkite atvejus, kai skaitiklis lygus nuliui ir kai daliklis lygus nuliui: kuriuo atveju gaunamas apibrėžtas nulis, neturintis argumento, o kuriuo veiksmas neapibrėžtas? Jungtinio skaičiaus sudarymas leidžia patikrinti atspindį nekeičiant modulio.

Palyginkite kėlimą teigiamais, nuliniu ir neigiamais sveikaisiais laipsniais. Numatykite, kuriais atvejais, kai pagrindas lygus nuliui, reikia atvirkštinio skaičiaus arba nenulinio pagrindo, tada perskaitykite jų taikymo sąlygas. Nesveikojo laipsnio valdiklis nepatenka į šios teoremos apie sveikuosius laipsnius taikymo sritį; jo būsena nenulemia kitaip apibrėžto šaknies traukimo ar šakos pasirinkimo veiksmo.

Nagrinėdami ketvirtojo laipsnio šaknis iš −16, suskaičiuokite visus skirtingus taškus ir numatykite kampinius tarpus prieš tikrindami jų ketvirtuosius laipsnius. Palyginkite su atveju, kai skaičius, iš kurio traukiama šaknis, lygus nuliui: tuomet visos siūlomos vaizdavimo formos su nuliniu spinduliu žymi tą patį tašką. Netinkamiems šaknies rodikliams pateikiamas taikymo srities paaiškinimas, o ne išgalvotas šaknų apskritimas ar išvada apie nesusijusią lygtį.

Tikslias Dekarto koordinates, modulius, argumentus ir patvirtinimus skaitykite kartu su pasirinktu geometriniu vaizdu. Vaizdavimo ir aritmetinių veiksmų plokštumose pradiniai duomenys, palyginimai ir kiekvienas apibrėžtas rezultatas rodomi vienoje koordinačių sistemoje su vienodu abiejų ašių masteliu; nurodyto kampo spindulys gali būti nukreiptas priešingai nei taško padėtis, kai pateiktas spindulys yra neigiamas. Šaknų plokštumoje rodomos šaknys ir koordinačių pradžia, o teigiamo šaknų spindulio apskritimas rodomas tik tada, kai jis taikytinas; skaičius, iš kurio traukiama šaknis, lieka tikslių reikšmių lentelėje, kad didelė jo reikšmė nesuspaustų šaknų vaizdo. Sutampančius vaidmenis atlieka tas pats tikrasis taškas, tačiau jų tikslios sąsajos išlieka atskiros. Eulerio žymos nurodo atskirai pagrįstą žymėjimą e^(iθ) = cisθ; algebrinės išvados remiasi tiksliomis cis reikšmėmis. Apytikslės koordinatės pikseliais ir baigtinis grafiko langas skirti brėžiniui ir nepateikia išsamių argumento, eksponentinės funkcijos reikšmių srities ar šaknų aibės pilnumo įrodymų.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Duota z = −2 − 2√3 i. Raskite šio skaičiaus modulį, pagrindinį argumentą ir visus argumentus. Nustatykite, ar −4 cis(π/3) yra tas pats skaičius ir ar −4 yra modulis pagal įprastą apibrėžimą. Palyginkite su nulio argumentu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   |z| = 4, Arg z = −2π/3, o visi argumentai yra −2π/3 + 2kπ. Užrašas su ženklu −4 cis(π/3) iš tiesų reiškia z, tačiau jo modulis pagal įprastą apibrėžimą yra 4. Nulis argumento neturi.

   Modulio kvadratas yra 4 + 12 = 16. Normalizavę gauname (−1/2, −√3/2), o šios krypties pagrindinis argumentas yra −2π/3. Neigiamas spindulys pakeičia vienetinę kryptį π/3 į priešingą, todėl gaunamas tas pats trečiojo ketvirčio taškas; pereinant prie teigiamo spindulio pridedama π ir gaunama 4π/3, o tada kampas suvedamas į −2π/3. Nulio atveju normalizavimo vardiklis yra nulis, nors 0 cisθ reiškia nulį su kiekvienu realiuoju θ.

2. Palyginkite 3 cis(7π/4), 3 cis(−π/4) ir 3 cis(π/4). Tada padauginkite 2 cis(3π/4) iš 5 cis(3π/4) ir pateikite tikslią sandaugos reikšmę bei jos pagrindinį argumentą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmieji du skaičiai yra lygūs; trečiasis yra jiems jungtinis ir nuo jų skiriasi. Sandauga yra −10i, jos pagrindinis argumentas yra −π/2, nors argumentų suma yra 3π/2.

   Pirmieji du kampai skiriasi 2π, todėl taikoma polinių formų su teigiamu spinduliu lygybės sąlyga. Trečiasis kampas nuo −π/4 skiriasi π/2, o ne pilnojo kampo kartotiniu, ir pakeičia menamosios dalies ženklą į priešingą. Skaičiuodami sandaugą, sudauginame spindulius ir gauname 10, o sudėję kampus gauname 3π/2. Atitinkamo vienetinio apskritimo taško koordinatės yra (0, −1); atėmę 2π gauname leistiną pagrindinį argumentą −π/2.

3. Kai z = 1 + √3 i, raskite tikslias z̄, 1/z ir z/(2i) reikšmes, taip pat pastarojo dalmens modulį ir pagrindinį argumentą. Nurodykite, kas pasikeičia, kai skaitiklis arba daliklis lygus nuliui.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   z̄ = 1 − √3 i, 1/z = (1 − √3 i)/4, o z/(2i) = √3/2 − i/2. Pastarojo dalmens modulis yra 1, o pagrindinis argumentas −π/6. Nulinį skaitiklį padaliję iš 2i gauname nulį, kuris neturi argumento; kai daliklis lygus nuliui, dalmuo neapibrėžtas.

   Duotojo skaičiaus modulis yra 2, o pagrindinis argumentas π/3. Sudarant jungtinį skaičių, menamosios dalies koeficiento ženklas pakeičiamas į priešingą, o padaliję jungtinį skaičių iš modulio kvadrato 4 gauname atvirkštinį skaičių. Dalydami iš 2 cis(π/2), gauname modulį 1 ir kampą π/3 − π/2 = −π/6, kuriam atitinka nurodytos vienetinio apskritimo taško koordinatės. Padauginę iš 2i, tiksliai gauname pradinį skaičių 1 + √3 i. Prieš taikant bet kurią dalmens formulę, įskaitant 0/0, patikrinama, ar daliklis nelygus nuliui.

4. Apskaičiuokite (−√3 + i)³ ir (−√3 + i)⁻². Pagal šioje pamokoje priimtą susitarimą nustatykite 0³, 0⁰ ir 0⁻² reikšmes arba nurodykite, kad jos neapibrėžtos. Paaiškinkite, kodėl sveikojo laipsnio rodiklio formulės taikymas rodikliui 1/2 nėra pakankamas, jei nesusitarta dėl šaknies reikšmės.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kubas yra 8i. Laipsnio su rodikliu −2 reikšmė yra 1/8 + (√3/8)i. Kai pagrindas lygus nuliui, rezultatai atitinkamai yra 0, neapibrėžta ir neapibrėžta. Rodikliui 1/2 būtina nurodyti šaknies arba šakos prasmę.

   Duotasis nenulinis skaičius yra 2 cis(5π/6). Jo kubas yra 8 cis(5π/2) = 8i. Jo laipsnio su rodikliu −2 reikšmė yra (1/4) cis(−5π/3) = (1/4) cis(π/3), todėl gaunami du nurodyti koeficientai. Kai rodiklis neigiamas, naudojamas egzistuojantis atvirkštinis skaičius. Kai rodiklis trupmeninis, lygiaverčiai skaičiaus −1 argumentai π ir 3π, padalyti pusiau, duoda kampus π/2 ir 3π/2, kurie atitinka dvi skirtingas kvadratines šaknis; nepriklausomumo nuo argumento pasirinkimo įrodymas sveikajam rodikliui šiam dalijimui netinka.

5. Raskite visus lygties v³ = 27 sprendinius tikslia algebrine forma ir įrodykite, kad kitų šaknų nėra. Kiek skirtingų sprendinių turi lygtis v³ = 0?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Skaičiaus 27 kubinės šaknys yra 3, −3/2 + (3√3/2)i ir −3/2 − (3√3/2)i. Lygtis, kurios dešinioji pusė lygi nuliui, turi tik vieną skirtingą sprendinį: v = 0.

   Kai dešinioji pusė yra 27, šaknies modulis yra 3, o visi šaknų kampai yra 2kπ/3, kur k = 0, 1, 2. Iš jų koordinačių gauname tris išvardytas reikšmes, o kiekvieną polinę formą pakėlę kubu gauname 27 cis(2kπ) = 27. Ir atvirkščiai, kiekvieno sprendinio modulis turi būti 3, o kampas turi priklausyti šiai sveikuoju skaičiumi parametrizuotai šeimai; nagrinėdami k liekanas moduliu 3, įrodome, kad rasti visi sprendiniai ir kad jie skirtingi. Kai dešinioji pusė lygi nuliui, iš |v|³ = 0 būtinai gauname v = 0, todėl pasikartojantys kampiniai daugikliai, padauginti iš nulio, nesudaro trijų skirtingų taškų.

6. Išvardykite visas skaičiaus 1 šeštojo laipsnio šaknis tiksliomis reikšmėmis ir paaiškinkite jų vienodą kampinį išsidėstymą, skirtingumą ir kodėl šis sąrašas apima visas šaknis. Ar ta pati n-tojo laipsnio šaknų teorema taikoma, kai šaknies rodiklis yra 0, −2 arba 3/2?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Šaknys yra 1, 1/2 + (√3/2)i, −1/2 + (√3/2)i, −1, −1/2 − (√3/2)i ir 1/2 − (√3/2)i. Kampas tarp gretimų šaknų yra π/3. Pateikta teorema taikoma tik teigiamiems sveikiesiems šaknies rodikliams.

   Visų šaknų modulis yra 1, o kampai yra 2kπ/6 = kπ/3, kai k kinta nuo 0 iki 5. Pakėlę bet kurią iš išvardytų šaknų šeštuoju laipsniu, gauname cis(2kπ) = 1. Kad du tokie taškai sutaptų, jų indeksų skirtumas turėtų dalytis iš 6, o tai neįmanoma, jei indeksai šiame intervale yra skirtingi. Kiekvienos šaknies sveikąjį kampo indeksą galima redukuoti į šį intervalą, todėl įrodyta, kad išvardytos visos šaknys. Rodiklis, kuriam teorema netaikoma, reiškia kitą operaciją arba lygtį, kuriai reikia atskirai apibrėžti prasmę ir apibrėžimo sritį; iš šios teoremos negalima daryti išvados, kad sprendinių nėra.

7. Apskaičiuokite tikslias e^(i7π/3) ir e^(−iπ/2) reikšmes. Naudodamiesi šioje pamokoje apibrėžtu plėtiniu, raskite visus realiuosius θ, kuriems e^(iθ) = −1, ir visus realiuosius a, b, kuriems exp(a + bi) = −3.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Šios dvi reikšmės yra 1/2 + (√3/2)i ir −i. Visų kampų šeima yra θ = π + 2kπ. Visų kompleksinių argumentų, kuriems funkcijos reikšmė yra −3, šeima aprašoma lygybėmis a = ln3 ir b = π + 2kπ, kur k ∈ ℤ.

   Eulerio formulė sutapatina vienetinio modulio daugiklius su cis. Iš 7π/3 atėmę 2π, gauname π/3, o kampas −π/2 duoda neigiamą menamąjį vienetą. Vienetinio modulio daugiklis lygus −1 tada ir tik tada, kai jis yra neigiamoje realiojoje pusašėje, todėl visi jo kampai yra π, pridėjus sveikąjį skaičių pilnų apsisukimų. Lygybėje exp(a + bi) = eᵃ cis b norimos reikšmės modulis 3 lemia eᵃ = 3, taigi, pritaikę realiosios rodiklinės funkcijos atvirkštinę funkciją, gauname a = ln3. Jos kryptis lemia nurodytą visų b reikšmių šeimą. Kiekvienam išvardytam argumentui gaunama reikšmė −3, o šios dvi būtinosios sąlygos nepalieka jokių kitų galimų argumentų.

Ką verta įsidėmėti

• Nenulinis kompleksinis skaičius turi teigiamą modulį ir visą argumentų šeimą. Kai Arg z ∈ (−π, π], kiekvienas argumentas yra Arg z + 2kπ; nulis argumento neturi, nors 0 cisθ jį išreiškia su kiekvienu realiuoju θ.
• Standartinėje polinėje formoje naudojamas neneigiamas spindulys. Neigiamas koordinačių spindulys su ženklu išlieka tinkamas pasukus kryptį per pusę apsisukimo; dėl jo modulis niekada netampa neigiamas.
• Kampų sudėties tapatybės įrodo, kad cisθ cisφ = cis(θ + φ) visoms realiųjų kampų poroms. Dauginant moduliai sudauginami, o argumentai sudedami; paskui pagrindiniai argumentai redukuojami moduliu, lygiu pilnam apsisukimui.
• Dalijant išlieka pradinė sąlyga, kad daliklis turi būti nenulinis. Jungtinio kompleksinio skaičiaus sudarymas pakeičia argumento ženklą; imant atvirkštinį skaičių, teigiamas modulis taip pat pakeičiamas atvirkštiniu. Kai skaitiklis lygus nuliui, dalmuo gali būti apibrėžtas ir lygus nuliui, nors argumento neturi.
• Muavro formulė taikoma sveikiesiems laipsniams. Čia neigiamiems laipsniams ir nuliniam laipsnio rodikliui reikalingas nenulinis pagrindas; nulį galima kelti teigiamu sveikuoju laipsniu, tačiau jis neturi atvirkštinio skaičiaus, o 0⁰ paliekamas neapibrėžtas.
• Kai n yra teigiamas sveikasis skaičius, o skaičius, iš kurio traukiama šaknis, yra nenulinis, visą n-tojo laipsnio šaknų aibę sudaro lygiai n skirtingų, vienodais kampiniais tarpais išsidėsčiusių šaknų; tai įrodoma modulio lygtimi ir lygtimis, apimančiomis visus kampus. Nulis turi vieną skirtingą šaknį; pagrindinės šaknies pasirinkimas tėra viena šaka.
• Eulerio formulė pagrindžiama pateiktoje įvadinėje matematinės analizės apžvalgoje, o algebriniuose įrodymuose tiesiogiai naudojama cis. Apibrėžtos kompleksinės rodiklinės funkcijos reikšmių aibėje nėra nulio, o skirtingiems argumentams gali atitikti ta pati reikšmė; baigtinės diagramos ir specialiųjų kampų atvejai neįrodo šių teiginių visu bendrumu.