Teiginiai, tiesos reikšmės ir loginės jungtys

Teiginys išreiškia apibrėžtos prasmės tvirtinimą

Klasikinėje dvireikšmėje logikoje teiginys yra tvirtinamasis sakinys, kuris, apibrėžus jo prasmę ir kontekstą, turi tik vieną iš dviejų tiesos reikšmių: teisinga arba klaidinga. Teiginys 14 − 6 = 8 yra teisingas. Teiginys 14 − 6 = 9 yra klaidingas. Abu yra teiginiai: klaidingumas netrukdo sakiniui ką nors tvirtinti.

Klausimu, pavyzdžiui, „Koks skaičius eina toliau?“, prašoma informacijos. Nurodymu, pavyzdžiui, „Nubrėžkite kvadratą“, prašoma atlikti veiksmą. Nei vienu, nei kitu netvirtinama nieko, kam priskirtume tiesos reikšmę. Atskiras reiškinys, pavyzdžiui, 5 + 2, taip pat turi skaitinę reikšmę, tačiau nieko teisingo ar klaidingo netvirtina, kol netampa teiginio dalimi, kaip antai 5 + 2 = 7.

Prieš naudodami sakinį kaip loginį dėmenį, apibrėžkite objektus ir kontekstą. Sakiniui „Šis ilgis didesnis už keturis“ reikia nurodyti konkretų ilgį ir matavimo vienetą. Sakiniui „Žymeklis yra mėlynas“ reikia nurodyti konkretų žymeklį ir sutarti dėl stebėjimo. Toliau pateikti simboliai padeda susisteminti tikslius teiginius, tačiau patys savaime negali suteikti trūkstamos prasmės.

Tiesos reikšmė ir jos žinojimas nėra tas pats

Teisingą reikšmę žymime T, o klaidingą – F. Tai tiesos reikšmės, o ne skaitiniai matavimai, pasitikėjimo įverčiai ar paaiškinimai. Įrodymas gali nustatyti T, o kontrpavyzdys – F, tačiau teiginio apibrėžimas nereikalauja, kad konkretus stebėtojas jau žinotų, kurią reikšmę teiginys turi.

Tarkime, šiuo metu uždaroje dėžutėje yra tam tikras nekintantis baigtinis žetonų skaičius. Teiginys „Dėžutėje yra lygiai dvylika žetonų“ šioje nekintančioje situacijoje turi apibrėžtą tiesos reikšmę, net jei dar nesuskaičiavote žetonų. „Dar nepatikrinau“ apibūdina jūsų turimą informaciją; tai nėra trečia tiesos reikšmė čia naudojamoje klasikinėje sistemoje. Atidarius dėžutę būtų galima nustatyti šią reikšmę nepakeičiant teiginio prasmės.

Dviprasmį sakinį reikia patikslinti prieš sudarant teisingumo lentelę. Neapibrėžto matematinio reiškinio apibrėžimo sritį reikia pataisyti prieš priskiriant teisingumo reikšmę. Šios problemos skiriasi nuo gerai apibrėžto teiginio, kurio teisingumo reikšmė skaitytojui nežinoma. Kitos logikos sistemos remiasi kitokiomis prielaidomis; visi šios pamokos dėsniai ir lentelės naudoja apibrėžtas klasikines T/F įvesties reikšmes.

Laisvasis kintamasis ar neleistina reikšmė reikalauja dėmesio

Sakinys x² < 10, kai x yra realusis kintamasis ir nenurodyta nei jo reikšmė, nei kvantorius, yra atvirasis sakinys arba predikatas P(x). Juo dar neišreiškiamas vienas uždarasis teiginys. Įstatę reikšmes gauname teiginius: P(3) yra teisingas, nes 9 < 10, o P(4) yra klaidingas, nes 16 nėra mažesnis už 10. Vėlesnėje pamokoje predikatai bus paversti teiginiais su kvantoriais apie visas arba kai kurias įvesties reikšmes.

Predikatas taip pat turi apibrėžimo sritį, kurioje jo reiškiniai yra apibrėžti. Predikatui Q(x): 1/x > 0 naudokite nenulines realiąsias įvesties reikšmes. Q(2) yra teisingas, o Q(−2) – klaidingas. Q(0) neįtraukiamas, nes 1/0 realiųjų skaičių aritmetikoje yra neapibrėžtas. Tai nėra klaidingas to paties realiojo skaičiaus atvirkštinės reikšmės palyginimo atvejis. Apibrėžimo srities apribojimas yra uždavinio formulavimo dalis.

Vien užrašas „x ≠ 0 ir 1/x > 0“ nepaverčia neapibrėžto atominio palyginimo, kai x = 0, T/F įvesties reikšme įprastai teiginių logikos teisingumo lentelei. Viena galimybė – palikti apibrėžimo sritį be nulio. Kita – aiškiai apibrėžti naują visur apibrėžtą predikatą: priskirti jam reikšmę F, kai x = 0, o kitais atvejais – reikšmę Q(x). Tai yra aiškiai nurodytas išplėtimas, o ne pradinio atvirkštinės reikšmės reiškinio apskaičiavimas ties nuliu. Programavimo taisyklės, pagal kurias praleidžiamas antrosios sąlygos tikrinimas, yra atskiras klausimas.

Neigimas pakeičia apibrėžtą teisingumo reikšmę priešinga

Tegu p žymi konkretų teiginį. Jo neiginys ¬p reiškia „Netiesa, kad p“. Pagal apibrėžimą ¬p reikšmė yra F, kai p reikšmė yra T, ir T, kai p reikšmė yra F. Šis simbolis taikomas visam iškart po jo sugrupuotam reiškiniui. Jei p reiškia, kad nurodytas realusis skaičius yra didesnis už 5, jo neiginys reiškia, kad tas skaičius yra ne didesnis už 5; formuluotė „mažesnis už 5“ klaidingai atmestų lygybės atvejį.

Dvigubas neigimas grąžina pradinę reikšmę: kai p reikšmė yra T, ¬p reikšmė yra F, o ¬(¬p) – T; kai p reikšmė yra F, du pakeitimai priešinga reikšme grąžina F. Šie du atvejai apima visas apibrėžtas klasikinės logikos galimybes, todėl ¬(¬p) yra logiškai ekvivalentiškas p kiekvienam klasikinės logikos teiginiui p. Neigimas nepriskiria reikšmės neapibrėžtam reiškiniui.

„Ir“ reikalauja abiejų; negriežtasis „arba“ leidžia abu

Konjunkcijos p ∧ q reikšmė yra T tada ir tik tada, kai ir p, ir q reikšmė yra T. Jos reikšmė yra F, kai bent vieno iš jų reikšmė yra F. Negriežtosios disjunkcijos p ∨ q reikšmė yra T, kai bent vieno teiginio reikšmė yra T, įskaitant atvejį, kai abiejų reikšmė yra T. Jos reikšmė yra F tik tada, kai abiejų reikšmė yra F. Matematikoje „arba“ turi šią negriežtąją reikšmę, nebent aiškiai nurodyta, kad abu teiginiai negali būti teisingi kartu.

Pavyzdžiui, tegu p reiškia „Nurodyta plytelė yra raudona“, o q – „Nurodyta plytelė yra trikampė“. Raudona trikampė plytelė tenkina ir p ∧ q, ir p ∨ q. Jei taisyklė reikalauja lygiai vienos iš šių dviejų savybių, rašykite griežtąją disjunkciją p ⊕ q, skaitomą „p arba q, bet ne abu“. Jos reikšmė yra T tada ir tik tada, kai abiejų teiginių teisingumo reikšmės skiriasi.

Reiškinys (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) tiesiogiai įrodo griežtosios disjunkcijos taisyklę. Kai nėra nė vienos savybės, jo pirmosios dalies reikšmė yra F. Kai yra abi savybės, jo antrosios dalies reikšmė yra F. Kai yra lygiai viena savybė, ir pirmosios, ir antrosios dalies reikšmė yra T. Šie keturi teisingumo reikšmių deriniai apima visas p ir q galimybes, todėl šio reiškinio reikšmė sutampa su p ⊕ q reikšme esant kiekvienam vertinimui.

Implikacija ir ekvivalencija – apibrėžtos loginės jungtys

Materialiosios implikacijos p → q, skaitomos „jei p, tai q“, reikšmė yra F tik tada, kai p reikšmė yra T, o q reikšmė yra F. Kitais trimis atvejais jos reikšmė yra T. Taigi klaidingas antecedentas lemia, kad ši nuo teisingumo reikšmių priklausanti implikacija yra teisinga, nepriklausomai nuo q. Šis susitarimas nusako, kad nėra atvejo, kai p yra teisingas, o q – klaidingas; jis neteigia, kad p įvyko, sukėlė q ar paaiškina q.

Visa jos tiesos lentelė sutampa su ¬p ∨ q tiesos lentele: jei p reikšmė yra F, dėl ¬p disjunkcijos reikšmė yra T; jei p reikšmė yra T, rezultatas lygus q reikšmei. Tai nustato ekvivalentiškumą visoms apibrėžtoms T/F įvestims. Nagrinėjant matematines implikacijas apie ištisas sritis, reikia daugiau dėmesio skirti jų kintamiesiems ir prielaidoms; vėlesnėje pamokoje apie implikaciją šis taikymas nagrinėjamas išsamiau.

Ekvivalencija p ↔ q, skaitoma „p tada ir tik tada, kai q“, turi reikšmę T, kai dabartinės abiejų teiginių reikšmės sutampa, ir F, kai jos skiriasi. Visų pirma, F ↔ F reikšmė yra T. Tokią pat reikšmę turi ir (p → q) ∧ (q → p): kiekviena nesutampančių reikšmių pora vieną implikacijos kryptį padaro klaidingą, o kiekviena sutampančių reikšmių pora tenkina abi kryptis. Vienoje situacijoje teisinga ekvivalencija neįrodo, kad dvi formulės yra logiškai ekvivalentiškos visose situacijose.

Skliaustai nurodo, kuri operacija taikoma kuriam teiginiui

Formulės struktūrą nurodykite skliaustais, užuot spėlioję, kaip reikėtų skaityti nesugrupuotą sakinį. Formulėje (p ∨ q) ∧ ¬r paskutinė operacija yra ∧, o jos įvestys – p ∨ q ir ¬r. Pirmiausia apskaičiuokite kiekvienos iš šių įvesčių reikšmę, tada taikykite konjunkciją. Formulėje p ∨ (q ∧ ¬r) paskutinė operacija yra ∨. Taigi tos pačios raidės ir loginių jungčių simboliai, sugrupuoti skirtingai, gali sudaryti skirtingus teiginius.

Kai p = T, q = F ir r = T, pirmoji formulė yra (T ∨ F) ∧ F = F. Antroji yra T ∨ (F ∧ F) = T. Vieno tokio neatitikimo pakanka parodyti, kad formulės nėra logiškai lygiavertės. Visoje šioje pamokoje skirtingas dvivietes operacijas aiškiai grupuojame skliaustais; neigimas taikomas atomui arba skliaustais apgaubtai formulei, einantiems iškart po ¬.

Vertinimas kiekvienam skirtingam atomui priskiria vieną tiesos reikšmę. Visur, kur formulėje pasirodo p, naudojama ta pati priskirta reikšmė. Taigi formulėje p ∧ ¬p negalima pirmajam p naudoti p = T, o antrajam – p = F. Taip pat, jei dvi raidės sąmoningai apibrėžtos kaip žyminčios tą patį teiginį, jų faktinės reikšmės turi sutapti. Neribotoje skirtingų raidžių tiesos lentelėje pateikiami visi formalūs reikšmių priskyrimai, net jei pasirinkta interpretacija leidžia tik kai kurias eilutes.

Pilna lentelė apima visus Būlio vertinimus

Formulė, turinti n skirtingų atomų, kur n yra teigiamas sveikasis skaičius, turi 2ⁿ formalių vertinimų: kiekvienam atomui nepriklausomai priskiriama T arba F. Norėdami pagrįsti pilnumą, pradėkite nuo dviejų vieno atomo lentelės eilučių. Pridėjus naują atomą, prie kiekvienos esamos eilutės prirašoma ir T, ir F, todėl eilučių skaičius padvigubėja, o kiekvienas išplėstas reikšmių priskyrimas pasitaiko tik vieną kartą. Kartojant šį sudarymo būdą gaunami visi 2ⁿ priskyrimai. Skaičiuokite skirtingus atomus, o ne pasikartojančius jų pasirodymus.

Trims atomams tvarkingas sąrašas yra TTT, TTF, TFT, TFF, FTT, FTF, FFT, FFF. Kiekvienam reikalingam tarpiniam reiškiniui sudarykite stulpelį. Reikšmes skaičiuokite nuo giliausiai skliaustuose esančių reiškinių iki paskutinės loginės jungties, kiekvieną kartą naudodami tos pačios eilutės atomų reikšmes. Kiekvienos loginės jungties apibrėžta taisyklė kiekvienam leistinam įvesčių deriniui duoda vieną išvestį, todėl ši rekursinė procedūra vienareikšmiškai nustato formulės reikšmę kiekvienoje eilutėje.

Toliau pateiktoje lentelėje apskaičiuojamos formulės (p ∨ q) ∧ ¬r reikšmės. Jos reikšmė yra T tada ir tik tada, kai r reikšmė yra F, o bent vieno iš p ir q reikšmė yra T. Tokių eilučių yra trys. Aštuonios eilutės sudaro visą trijų atomų Būlio lentelę, o ne atrinktus skaitinius pavyzdžius. Jei papildomos prielaidos apriboja atomų prasmę, atskirai išnagrinėkite jų leidžiamas eilutes ir nurodykite šią ribotą taikymo sritį.

Palyginkite visą tiesos verčių pasiskirstymą

Tautologijos vertė yra T esant kiekvienam formaliajam vertinimui. Prieštaravimo vertė yra F esant kiekvienam vertinimui. Kontingentinė formulė turi bent vieną T eilutę ir bent vieną F eilutę. Formulė yra įvykdoma, jei bent viename vertinime jos vertė yra T. Taigi tautologija yra įvykdoma, kontingentinė formulė yra įvykdoma, o prieštaravimas – ne. Tai visos formulės savybės, o ne vien šiuo metu pasirinktos eilutės apibūdinimai.

Bet kuriam apibrėžtam klasikinės logikos teiginiui p lygiai vieno iš teiginių p ir ¬p vertė yra T. Todėl p ∨ ¬p yra tautologija, o p ∧ ¬p – prieštaravimas. Pats atomas p kaip teiginių logikos formulė yra kontingentinis: jo formaliojoje lentelėje yra ir T, ir F priskyrimų. Vietoj p įrašius konkretų teiginį, kurio teisingumas žinomas, formalusis vertinimas, kuriame formulės vertė yra F, iš jos tiesos lentelės neišnyksta.

Formulės A ir B yra logiškai lygiavertės, čia žymima A ≡ B, jei jų vertės sutampa esant kiekvienam jų atomų aibių sąjungos vertinimui. Atomas, kurio vienoje formulėje nėra, tiesiog neturi įtakos tos formulės vertei. Lygiavertė sąlyga: formulė A ↔ B yra tautologija. Verčių sutapimas vienoje eilutėje įrodo tik tai, kad tos eilutės ekvivalencija yra teisinga; verčių nesutapimas vienoje eilutėje paneigia lygiavertiškumą be apribojimų.

Visiško lygiavertiškumo pavyzdys: ¬(p ∧ q) vertė yra T tada ir tik tada, kai konjunkcijos vertė yra F, o tai nutinka tada ir tik tada, kai p vertė yra F arba q vertė yra F. Būtent tokia yra sąlyga, kad ¬p ∨ ¬q vertė būtų T. Keturių eilučių lentelė patvirtina abi kryptis, išsamiai apimdama visus atvejus. Panašiai ¬(p ∨ q) vertė yra T tada ir tik tada, kai abiejų pradinių teiginių vertės yra F – tai būtent sąlyga, kad ¬p ∧ ¬q vertė būtų T. Šie du de Morgano dėsniai išlaiko pradinio neiginio grupavimą; neigiant kiekvieną atomą, bet paliekant tą pačią dvinarę jungtį, paprastai gaunamas kitoks rezultatas.

Paaiškinkite, ką iš tiesų patvirtina patikra

Išsami tiesos lentelė įrodo dviejų konkrečių baigtinių teiginių logikos formulių ekvivalentiškumą, nes loginės jungtys priklauso tik nuo atominių teiginių tiesos reikšmių, o lentelėje aprėpti visi galimi šių reikšmių priskyrimai. Dalinė lentelė negali patvirtinti tokio ekvivalentiškumo be apribojimų. Vienas paneigiantis tiesos reikšmių priskyrimas gali jį paneigti, nes pagal apibrėžimą reikšmės turi sutapti kiekvienoje eilutėje.

Aritmetinis teiginys apie visus sveikuosius skaičius turi kitokią įvesties reikšmių aibę. Pavyzdžiui, (n − 2)(n − 4)(n − 6) = 0 yra teisingas, kai n = 2, 4 ir 6, tačiau kai n = 8, jo kairioji pusė lygi 6 × 4 × 2 = 48. Šie trys sėkmingi patikrinimai nebuvo išsami visų sveikųjų įvesties reikšmių lentelė. Užrašius visą aritmetinį teiginį kaip vieną atominę formulę, neįrodoma, kad ji teisinga; jos vidinį matematinį turinį vis tiek reikia pagrįsti.

Pateikdami patikrinimo rezultatą, nurodykite formulę, apibrėžimo sritis, leistinus reikšmių priskyrimus ir išvados taikymo ribas. „Šios eilutės reikšmė yra T“, „ši formulė turi vertinimą, kuriame jos reikšmė yra T“ ir „abiejų formulių reikšmės sutampa esant kiekvienam formaliam vertinimui“ yra skirtingi rezultatai. Tolesnėse pamokose nagrinėjami kvantoriai, implikacija ir įrodymo metodai, kad teiginius apie ištisas matematines sritis būtų galima tiksliai suformuluoti ir įrodyti.

Tyrinėkite teiginius, sugrupuotas formules ir išsamias lenteles

Remdamiesi pirmiau pateiktais apibrėžimais, atskirkite uždarą teiginį, kuris yra teisingas arba klaidingas, nuo atvirojo sakinio, prašymo ar neleistinos įvesties reikšmės. Prieš vertindami sudėtinę formulę, nustatykite jos atomines formules ir patikrinkite, ar kiekvienu pasirinktu atveju apibrėžta klasikinė tiesos reikšmė. Kai atvirkštinio dydžio argumento reikšmė neleistina, turi likti įspėjimas apie apibrėžimo sritį, o ne būti priskirta išgalvota F reikšmė.

Palyginkite loginių jungčių taisykles, sekite aiškiai sugrupuotų formulių tarpines reikšmes, tada išnagrinėkite visus vertinimus, kurių reikia pagal skirtingas formulės atomines formules. Pasirinktos eilutės rezultatą atskirkite nuo tokių klasifikacijų kaip tautologiškumas ar kontingentiškumas. Lyginant dvi formules, eilutė, kurioje jų reikšmės skiriasi, pateikia paneigiantį vertinimą; išvadai apie ekvivalentiškumą reikia visos lentelės, apimančios bendrą abiejų formulių atominių formulių aibę.

Interaktyvus pasirinkimas iš baigtinio variantų skaičiaus iliustruoja pasirinktą formulę ir interpretaciją. 2ⁿ Būlio vertinimų išsamumo argumentas ir loginių jungčių apibrėžimai paaiškina, kodėl tikrai išsami lentelė įrodo nurodytą teiginių logikos rezultatą. Jie nepaverčia kelių aritmetinių įvesties reikšmių patikrinimo įrodymu apie visus skaičius.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Suklasifikuokite 4² = 16, 4² = 15, „Ar 4² lygu 16?“, „Pakelkite 4 kvadratu“, y² = 16, kai realiojo y reikšmė nepriskirta, ir 1/0 > 0 realiųjų skaičių aritmetikoje. Įvertinkite atvirąjį sakinį, kai y = −4 ir y = 3.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Dviejų uždarųjų lygybių reikšmės yra T ir F. Klausimas ir nurodymas nėra teiginiai. Sakinys su nepriskirta y reikšme yra atvirasis; įrašius −4 ir 3, jo reikšmės yra T ir F. Palyginimas su atvirkštiniu skaičiumi realiųjų skaičių aritmetikoje neapibrėžtas ir nėra atominis teiginys su apibrėžta T arba F reikšme.

   Teiginys gali būti klaidingas ir vis tiek likti teiginiu, o prašymas ar klausimas nieko neteigia. Įrašę reikšmes gauname (−4)² = 16 ir 3² = 9 ≠ 16. 1/0 neturi realiosios reikšmės, kurią būtų galima palyginti su nuliu, todėl prieš įtraukiant šį reiškinį į klasikinę tiesos lentelę reikia patikslinti jo apibrėžimo sritį arba atskirai pateikti visoms reikšmėms galiojantį apibrėžimą.

2. Tarkime, p = T, q = F ir r = T. Raskite ¬p, p ∧ q, p ∨ q, p ⊕ r, q → r ir q ↔ r reikšmes. Kiekvieną rezultatą pagrįskite apibrėžimu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nurodyta tvarka: F, F, T, F, T, F.

   Neigimas pakeičia p reikšmę priešinga. Konjunkcijoje q yra klaidingas, o negriežtojoje disjunkcijoje p yra teisingas. Griežtoji disjunkcija yra klaidinga, kai ir p, ir r yra teisingi. Implikacijos prielaida yra klaidinga, todėl pagal jos tiesos lentelę implikacija yra teisinga. Ekvivalencija yra klaidinga, nes q ir r reikšmės skiriasi.

3. Tegu p reiškia „Nurodytoje kortelėje yra žvaigždė“, o q – „Kortelė turi apvadą“. Išreikškite taisyklę „yra tik vienas iš dviejų požymių: žvaigždė arba apvadas“, naudodami tik ¬, ∧ ir ∨. Nurodykite jos reikšmes, kai priskirta TT, TF, FT ir FF.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q), o reikšmės nurodyta tvarka yra F, T, T, F.

   Pirmoji dalis reikalauja bent vieno požymio, o konjunkcijos neiginys atmeta galimybę turėti abu. TT netenkina antrosios dalies, FF netenkina pirmosios, o kiekviena eilutė, kurioje yra tik vienas požymis, tenkina abi. Taip išnagrinėjami visi keturi formalūs tiesos reikšmių priskyrimai ir įrodomas reikšmių sutapimas su griežtąja disjunkcija.

4. Sudarykite visą formulės K = ¬(p ∨ q) ∨ p teisingumo lentelę su eilutėmis TT, TF, FT ir FF. Nustatykite K tipą ir nuspręskite, ar ji logiškai lygiavertė formulei p ∨ ¬q.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   K stulpelio reikšmės yra T, T, F, T. Formulė yra kontingentinė ir įvykdoma, o K ≡ (p ∨ ¬q).

   Eilutėse TT ir TF dėl p galutinė disjunkcija yra teisinga. Eilutėje FT vidinės disjunkcijos reikšmė yra T, o p reikšmė yra F, todėl K reikšmė yra F. Eilutėje FF vidinės disjunkcijos reikšmė yra F, todėl jos neiginys padaro K teisingą. Formulės p ∨ ¬q stulpelio reikšmės taip pat yra T, T, F, T. Išnagrinėti visi keturi tiesos reikšmių priskyrimai abiejų formulių bendram atominių teiginių rinkiniui, todėl ekvivalentiškumas įrodytas. TT yra formulę tenkinančio priskyrimo pavyzdys, o FT – jos netenkinančio priskyrimo pavyzdys.

5. Tarkime, kad fiksuotam realiajam skaičiui x teiginys p reiškia x > 2, o q reiškia x < 5. Užrašykite ¬(p ∧ q) be visos grupės neiginio. Nustatykite šios formulės reikšmę, kai x = 2, 3 ir 5, ir paaiškinkite, kuo šis bendras loginis dėsnis skiriasi nuo vien šių trijų skaičių patikrinimo.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Lygiavertė sąlyga yra x ≤ 2 arba x ≥ 5. Jos reikšmės, kai x yra 2, 3 ir 5, yra atitinkamai T, F ir T.

   ¬p apima ir ribinį lygybės atvejį x = 2, o ¬q apima x = 5. Bendras dviejų atominių teiginių De Morgano dėsnis duoda ¬p ∨ ¬q kiekvienam apibrėžtam tiesos reikšmių priskyrimui, taigi, pagal šią interpretaciją, ir kiekvienam realiajam x. Kai x lygus trims nurodytiems skaičiams, pradinės sąlygos, kad x yra tarp ribų, reikšmės yra atitinkamai F, T ir F, todėl jos neiginio reikšmės yra tokios, kaip nurodyta. Dėsnis nustato bendrą ekvivalentiškumą, o trys skaičių įstatymai jį tik iliustruoja.

6. Kai p = q = F, nustatykite p → q ir p ↔ q reikšmes. Ar formulės p → q ir p ↔ q yra logiškai lygiavertės? Tada nustatykite formulių p ∨ ¬p ir p ∧ ¬p tipus, nepriskirdami pasikartojančiam p skirtingų reikšmių.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abi reikšmės esant nurodytam priskyrimui yra T, tačiau implikacijos ir ekvivalencijos formulės nėra logiškai lygiavertės. Disjunkcija yra tautologija, o konjunkcija – prieštara.

   Kai antecedentas klaidingas, implikacijos reikšmė yra T, o kai abiejų teiginių reikšmės vienodos ir klaidingos, ekvivalencijos reikšmė yra T. Tačiau kai p = F, q = T, implikacijos reikšmė yra T, o ekvivalencijos – F; ši eilutė paneigia formulių ekvivalentiškumą. Esant kiekvienai iš tik dviejų galimų p reikšmių, tiksliai vieno iš teiginių p ir ¬p reikšmė yra T. Todėl jų disjunkcijos reikšmė visada yra T, o konjunkcijos – visada F; kiekvienam p pasikartojimui naudojama ta pati priskirta reikšmė.

7. Formulėje p pasikartoja du kartus, o q – vieną kartą. Kiek eilučių reikia jos teisingumo lentelei, kai priskyrimai neribojami? Besimokantysis taip pat patikrina lygybę (n − 2)(n − 4)(n − 6) = 0, kai n = 2, 4 ir 6, ir teigia, kad ji galioja kiekvienam sveikajam skaičiui. Palyginkite šiuos patikrinimus ir pateikite kontrpavyzdį teiginiui apie sveikuosius skaičius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Dviem skirtingiems atominiams teiginiams reikia keturių eilučių: TT, TF, FT ir FF. Trys sveikųjų skaičių pavyzdžiai neapima visų sveikųjų skaičių; kai n = 8, gaunama 48, o ne 0, ir tai paneigia bendrą aritmetinį teiginį.

   Pasikartojantys teiginiai nėra nepriklausomi atominiai teiginiai: antrajam p turi būti naudojama ta pati reikšmė, kuri priskirta p pirmą kartą. Keturių eilučių loginė lentelė apima visus galimus formalius tiesos reikšmių priskyrimus p ir q. Aritmetinio teiginio sritis yra visa sveikųjų skaičių aibė, o kiekviena iš trijų patikrintų reikšmių tik paverčia vieną sandaugos daugiklį nuliu. Kai n = 8, sandauga yra (8 − 2)(8 − 4)(8 − 6) = 6 × 4 × 2 = 48. Pastebėtas dėsningumas, kad patikrinimai pasitvirtina, negali pakeisti trūkstamo visą sritį apimančio pagrindimo.

Ką verta įsidėmėti

• Klasikinis teiginys – tai tikslus tvirtinimas, turintis vieną apibrėžtą tiesos reikšmę T/F. Klaidingi teiginiai taip pat yra teiginiai; klausimai, prašymai ir atskiri skaitiniai reiškiniai atlieka kitus vaidmenis.
• Nežinoti aiškiai apibrėžto teiginio tiesos reikšmės nėra tas pats, kas susidurti su dviprasmybe, laisvuoju kintamuoju ar neapibrėžtu reiškiniu. Išlaikykite pradines apibrėžimo sritis, įskaitant atvirkštinių dydžių apibrėžties apribojimus.
• Neigimas pakeičia tiesos reikšmę priešinga, konjunkcijai reikia, kad abu teiginiai būtų teisingi, o negriežtoji disjunkcija leidžia abiem būti teisingiems. Taisyklei „tik vienas“ reikia aiškiai išreikštos griežtosios disjunkcijos arba jai lygiavertės formulės su skliaustais.
• Materialioji implikacija klaidinga tik T → F atveju; ekvivalencija teisinga, kai dabartinės tiesos reikšmės sutampa. Nei teisinga implikacija, nei esant dabartinėms reikšmėms teisinga ekvivalencija neįrodo priežastinio ryšio ar neribotos loginės ekvivalencijos.
• Skliaustai lemia formulės struktūrą, o kiekvienas to paties atominio teiginio pasikartojimas turi jam priskirtą tiesos reikšmę. Formulė, kurioje yra n skirtingų atominių teiginių, turi 2ⁿ formalių tiesos reikšmių priskyrimų.
• Tautologija, prieštaravimas, kontingencija ir įvykdomumas apibūdina visą tiesos reikšmių pasiskirstymą. Loginei ekvivalencijai reikia, kad formulės sutaptų pagal kiekvieną tiesos reikšmių priskyrimą jungtinei atominių teiginių aibei; jai paneigti pakanka vieno priskyrimo, kuriam esant reikšmės nesutampa.
• Iš tiesų išsami baigtinė Būlio tiesos lentelė gali įrodyti teiginių logikos rezultatą. Keli skaitiniai pavyzdžiai neįrodo teiginio visoje begalinėje srityje; paaiškinkite kiekvieno patikrinimo prielaidas ir aprėptį.