Parametrinės kreivės ir polinės koordinatės

Pradėkite stebėdami vieną koordinačių porą

Tarkime, žymeklio koordinatės yra x = t² ir y = t, o bedimensio parametro reikšmės apribotos intervalu −2 ≤ t ≤ 1. Kai t = −2, −1, 0 ir 1, jis aplanko taškus (4, −2), (1, −1), (0, 0) ir (1, 1). Dviejų aplankytų taškų, kuriuose x = 1, aukščiai skiriasi. Eliminavę t, gauname x = y², tačiau leistinoji dalis vis tiek tenkina −2 ≤ y ≤ 1. Visos į šoną atvertos parabolės formulė pridėtų taškų, kurių žymeklis niekada nepasiekia.

Pasiruoškite braižydami taškus pagal koordinačių poras ir nagrinėdami funkcijų apibrėžimo sritis. Atlikti atvirkštinį keitimą reiškia atkurti pradinę leistiną parametro reikšmę; šiame žingsnyje padeda atvirkštinės funkcijos ir racionaliųjų bei iracionaliųjų lygčių apribojimai. Apskritimo ir polinių koordinačių pavyzdžiuose taip pat naudojamos sinuso ir kosinuso reikšmės vienetiniame apskritime, kryptiniai kampai radianais ir tapatybė cos² t + sin² t = 1.

Skaitydami pirmą kartą, nagrinėkite skyrius apie parametro aprašomą taškų aibę, atkarpą, apribotą parabolės dalį ir judėjimo apskritimu kryptį, tada pereikite prie polinių koordinačių su ženklu konvertavimo. Prie racionaliosios apskritimo parametrizacijos atvirkštinio atkūrimo ir polinių dalmenų su apribojimais grįžkite tada, kai gebėsite patikrinti pradinius vardiklio ir kvadratinės šaknies apribojimus. Polinės parabolės įrodyme teigiamam spinduliui atkurti naudojamas Dekarto koordinačių sąryšis; šį įrodymą skaitykite po elementariųjų apskritimo ir tiesės koordinačių konvertavimo pavyzdžių.

Kiekviena leistina parametro reikšmė nusako tašką

Parametrinės lygtys x = f(t), y = g(t), kai t priklauso nurodytai aibei I, aprašo taškų aibę C = {(f(t), g(t)): t ∈ I}. Kiekvienai leistinai parametro reikšmei abu reiškiniai turi būti apibrėžti ir įgyti realiąsias reikšmes. Parametras gali reikšti laiką, kampą, atstumą arba abstraktų skaičių; prieš interpretuodami jį kaip fizinį judėjimą, įvardykite jo reikšmę ir matavimo vienetus. Jei leistinų parametro reikšmių aibė tuščia, aprašoma taškų aibė taip pat tuščia, net jei vėliau gauta algebrinė lygtis turi daug sprendinių.

Atvaizdas yra taškų aibė. Parametrinis atvaizdis suteikia papildomos informacijos: kuris taškas atitinka kiekvieną parametro reikšmę, kokia tvarka taškai lankomi didėjant t ir ar tas pats taškas aplankomas dar kartą. Du atvaizdžiai gali turėti tą patį atvaizdą, nors jį pereina priešingomis kryptimis arba skirtingu greičiu. Jei dvi parametro reikšmės atitinka tą pačią padėtį, tai nereiškia, kad tos reikšmės yra lygios.

Kreivė nebūtinai yra funkcijos y = F(x) grafikas. Apskritime daugelį x reikšmių atitinka dvi skirtingos y reikšmės, tačiau x(t) ir y(t) gali būti įprastos t funkcijos. Parametrinės koordinatės aprašo šią porą kartu; atskiri x priklausomybės nuo t ir y priklausomybės nuo t grafikai nėra pati kreivė x-y plokštumoje.

Aibę I nurodykite taip pat tiksliai kaip ir formules. Intervalo galų įtraukimas arba neįtraukimas lemia priklausymą aibei, o pašalinus parametro reikšmę gali pritrūkti taško, nebent jį pasiektų kita leistina parametro reikšmė. Dėl vardiklio atmesta reikšmė lieka atmesta ir po supaprastinimo. Baigtinė lentelė rodo pasirinktus taškų aplankymus; norint įrodyti, koks yra visas atvaizdas, reikia argumento, apimančio kiekvieną leistiną parametro reikšmę ir kiekvieną tašką, kuris, kaip teigiama, priklauso atvaizdui.

Apribojus tiesės parametro intervalą, gaunama atkarpa

Dviem taškams A = (a₁, a₂) ir B = (b₁, b₂) naudokite P(t) = A + t(B − A): x = a₁ + t(b₁ − a₁), y = a₂ + t(b₂ − a₂). Jei A ≠ B ir t įgyja visas realiąsias reikšmes, reikšmių aibė yra visa per šiuos taškus einanti tiesė. Kiekvieno tos tiesės taško poslinkis nuo A yra nenulinio krypties vektoriaus B − A ir realiojo skaliaro sandauga, o tai įrodo atvirkštinę implikaciją.

Kai 0 ≤ t ≤ 1, reikšmių aibė yra tiksliai uždara atkarpa nuo A iki B. Jei intervalo galas atviras, atitinkamas atkarpos galinis taškas neįtraukiamas, nes atvaizdis yra injektyvus, kai B − A ≠ 0. Kai t ≥ 0, reikšmių aibė yra spindulys, prasidedantis taške A ir einantis taško B link. Taigi tos pačios formulės su skirtingomis parametro reikšmių aibėmis aprašo skirtingas geometrines aibes.

Jei vienos koordinatės skirtumas lygus nuliui, raskite t iš kitos, nenulinės komponentės. Nedalykite iš b₁ − a₁, kai tiesė vertikali. Jei A = B, abu skirtumai lygūs nuliui ir atvaizdis yra pastovus: kiekviena leistina parametro reikšmė duoda A. Jo reikšmių aibę sudaro vienas taškas, kai I netuščias, ir tuščioji aibė, kai I tuščias; neapibrėžtas nuolydis ar atvirkštinis atvaizdis nepaverčia jos tiese.

Jei t yra laikas, o x = x₀ + vₓt, y = y₀ + vᵧt fizikiniame laiko intervale, konstantos vₓ ir vᵧ yra koordinačių kitimo spartos, matuojamos ilgio vienetais per laiko vienetą. Per laiko pokytį Δt poslinkio ilgis yra √(vₓ² + vᵧ²)|Δt|. Vien geometrinė tiesės lygtis neišsaugo šių spartų ar pradinių laikotarpio pradžios ir pabaigos momentų.

Neišreikštinė lygtis dažnai tėra pasekmė

Eliminavus t gaunamas sąryšis, kurį tenkina kiekviena leistina pora. Norint teigti, kad reikšmių aibės sutampa, taip pat reikia kiekvienam siūlomos Dekarto koordinačių aibės taškui rasti bent vieną t iš I, duodantį būtent tą porą. Lygtis be pradinių apribojimų gali apimti papildomas šakas ar galinius taškus.

Kai x = t² ir y = t, o −2 ≤ t ≤ 1, eliminavus parametrą gaunama x = y², tačiau visai reikšmių aibei aprašyti taip pat reikia −2 ≤ y ≤ 1. Ir atvirkščiai: bet kuris šias dvi sąlygas tenkinantis taškas pasiekiamas pasirinkus t = y. Pasirinkus tik t = √x, būtų atmesta dalis, kurioje y neigiamas; pasirinkus abu ženklus nepatikrinus I, būtų pridėta taškų virš y = 1.

Kai x = t, y = √t ir t ≥ 0, pakėlę kvadratu gauname x = y². Pradinė kvadratinė šaknis yra neneigiama, todėl sąlyga y ≥ 0 turi išlikti. Ir atvirkščiai, iš x = y² ir y ≥ 0 gauname t = x ≥ 0 ir √t = y. Į šoną nukreiptos parabolės apatinė pusė tenkina pakėlus kvadratu gautą lygtį, bet neturi pirmavaizdžio pagal pradinį atvaizdį.

Kitas pavyzdys – x = t², y = t⁴, kai t yra bet kuris realusis skaičius. Vaizdas yra y = x² su sąlyga x ≥ 0: kiekvienas x ≥ 0 turi pirmavaizdžius t = ±√x, kurie sutampa, kai t = 0. Parabolė be apribojimų apima ir x < 0, todėl yra per didelė. Panašiai x = t², y = t² apima tiksliai spindulį y = x su sąlyga x ≥ 0: kiekvienas taškas, kurio x teigiamas, pasiekiamas du kartus, o koordinačių pradžia – vieną kartą. Eliminuojant parametrą būtina išsaugoti kvadratu išreikštos koordinatės reikšmių sritį, net jei pats t nėra apribotas.

Kai x = t², y = t³, o t yra bet kuris realusis skaičius, vaizdas yra kreivė su smaile y² = x³. Iš pačios šios lygties išplaukia x ≥ 0. Kai x > 0, atvirkštinė išraiška t = y/x duoda t² = y²/x² = x ir t³ = tx = y, taigi atkuriamas kiekvienas toks taškas. Kai x = 0, iš lygties išplaukia y = 0, o t = 0 pasiekia koordinačių pradžią. Atvirkštinės išraiškos dalmuo ten neapibrėžtas, todėl šį tašką reikia atkurti atskirai, o ne atmesti.

Vardiklio nulemta apibrėžimo srities spraga veikia priešinga kryptimi: x = t, y = 1/t su sąlyga t ≠ 0 duoda xy = 1. Ir atvirkščiai, kiekvienam taškui, kuriame xy = 1, galioja x ≠ 0, todėl t = x yra leistina reikšmė ir duoda y = 1/x. Šis visas vaizdas turi dvi nesusijungiančias šakas. Pagal atrinktus taškus braižoma kreivė neturi sujungti dalių abipus t = 0, kur pradinis atvaizdis neapibrėžtas.

Tas pats vaizdas, kitokia judėjimo eiga

Tarkime, P(t) apibrėžtas aibėje I. Atlikime keitinį t = φ(u), kai u priklauso J. Naujojo atvaizdžio vaizdas yra P(φ(J)), kuris yra aibės P(I) poaibis, jei φ(J) ⊆ I. Pakankama sąlyga, kad vaizdas būtų lygiai toks pat, yra φ(J) = I. Jei φ nepasiekia kurios nors argumento reikšmės, vaizdai vis tiek gali sutapti, kai tą reikšmę atitinkantis taškas turi kitą pasiekiamą pirmavaizdį; lyginkite taškus, o ne vien argumentų aibes.

Griežtai didėjantis injektyvus atvaizdis φ, kurio vaizdas yra I, išlaiko parametro reikšmių aplankymo tvarką; griežtai mažėjantis ją apverčia. Keitinys, kuriuo parametro reikšmės pasiekiamos pakartotinai, gali lemti pakartotinį judėjimą ta pačia kreive. Šie teiginiai nusako pradinę tvarką, o ne tvirtina, kad kiekviena kreivė turi vieną bendrą judėjimo pagal laikrodžio rodyklę kryptį ar pastovų greitį.

Visos parabolės P(t) = (t, t²), t ∈ ℝ, atveju keitinys t = u³, kai u ∈ ℝ, pasiekia kiekvieną t reikšmę lygiai vieną kartą ir išlaiko jų tvarką. Keitinys t = −u pasiekia kiekvieną t reikšmę vieną kartą atvirkštine tvarka. Tačiau t = u² pasiekia tik t ≥ 0; šis keitinys duoda dešinę parabolės pusę ir kiekvieną tašką, kurio x teigiamas, aplanko du kartus: vieną kartą esant teigiamam u, kitą – neigiamam u.

Kai P(t) = (cos t, sin t), didėjant t vienetinis apskritimas apeinamas prieš laikrodžio rodyklę. Naudojant −t, kryptis pasikeičia į priešingą; naudojant 2t, kai 0 ≤ t < 2π, visas apskritimas apeinamas du kartus. Geometrinėje aibėje kiekviena vieta įtraukiama tik vieną kartą, todėl jos lygtis neparodo, kiek kartų ta vieta buvo aplankyta. Galinis taškas, sutampantis su pradiniu, reiškia antrą apsilankymą, o ne antrą tašką vaizde.

Trigonometriniai parametrai išsaugo lankus ir ašių išsigimimo atvejus

Kai r > 0, x = h + r cos t, y = k + r sin t tenkina (x − h)² + (y − k)² = r² kiekvienam realiajam t. Ir atvirkščiai, kiekvienas šio apskritimo taškas normalizuojamas į vienetinio apskritimo tašką ir turi kampą t. Intervale 0 ≤ t < 2π kiekvienas taškas pasiekiamas lygiai vieną kartą. Uždarajame intervale 0 ≤ t ≤ 2π gaunamas tas pats visas vaizdas, tačiau pabaigoje pakartojamas pradinis taškas.

Apribojus parametrą intervalu 0 ≤ t ≤ π/2, gaunamas tiksliai pirmojo ketvirčio lankas centro atžvilgiu, įskaitant abu galinius taškus. Išsamų aprašą Dekarto koordinatėmis sudaro apskritimo lygtis kartu su x ≥ h ir y ≥ k. Ženklai parenka vienintelį tame intervale esantį vienetinio apskritimo kampą, taip įrodydami atvirkštinį teiginį. Pašalinus t = 0 iš šio ketvirčio intervalo, pašalinamas dešiniausias jo galinis taškas; taip pat pašalinus šią parametro reikšmę iš intervalo, kuriame yra t = 2π, ta vieta liktų įtraukta.

Intervale [0, π] panašiai gaunamas uždarasis viršutinis pusapskritimis, o intervale (0, π) pašalinami abu horizontalūs galiniai taškai ir lieka y > k. Intervale [0, 4π] visas apskritimas apeinamas du kartus, tačiau pradinė vieta aplankoma tris kartus, kai t = 0, 2π ir 4π; kiekvienas kitas taškas aplankomas du kartus. Nurodant apsilankymų skaičių reguliariesiems taškams, būtina pažymėti šią galinio taško išimtį. Pakartotas uždarojo intervalo pradinis taškas netampa papildomu geometriniu tašku.

Kai a > 0 ir b > 0, x = h + a cos t, y = k + b sin t aprašo elipsę (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1. Normalizavimas dalijant iš teigiamų pusašių įrodo, kad per visą apsisukimą gaunama visa elipsė. Apribotas kampo intervalas gali duoti tik lanką. Apskritimas yra atvejis, kai pusašiai lygūs; postūmiai keičia taškų vietas, bet nekeičia parametro tvarkos.

Jei a = 0 ir b > 0, formulės lieka apibrėžtos: x = h ir y = k + b sin t. Per visą apsisukimą jų vaizdas yra atkarpa, kurioje x = h, k − b ≤ y ≤ k + b, o taškai aplankomi pakartotinai. Standartinis elipsės reiškinys su vardikliu a² yra neapibrėžtas, todėl negalima jo pagrįsti panaikinant vardiklius. Jei ir a, ir b lygūs nuliui, o parametro reikšmių aibė netuščia, vaizdą sudaro tik (h, k). Šiuos atvaizdžius nagrinėkite tiesiogiai, užuot priskyrę jiems įprastą elipsę.

Racionalusis parametras gali nepasiekti neišreikštinės lygties apskritimo taško

Nagrinėkime x = (1 − t²)/(1 + t²), y = 2t/(1 + t²) kiekvienam realiajam t. Vardiklis visada teigiamas. Išskleidus (1 − t²)² + 4t² = (1 + t²)², įrodoma, kad x² + y² = 1 visiems t. Tai visuotinai galiojanti algebrinė tapatybė, o ne išvada iš nubraižytų pavienių taškų.

Tačiau x + 1 = 2/(1 + t²) yra griežtai teigiamas kiekvienam baigtiniam realiajam t. Taigi taškas (−1, 0) niekada nepasiekiamas. Visas vaizdas yra vienetinis apskritimas be šio vieno taško, o ne visas neišreikštine lygtimi aprašytas apskritimas.

Ir atvirkščiai, imkime bet kurį vienetinio apskritimo tašką, išskyrus (−1, 0). Tuomet x > −1, todėl t = y/(1 + x) yra apibrėžtas. Iš y² = 1 − x² gauname t² = (1 − x)/(1 + x). Vadinasi, 1 + t² = 2/(1 + x), o įstatę atkuriame ir x, ir y. Tai įrodo, kad kitų nepasiekiamų apskritimo taškų nėra, ir kiekvienam šio vaizdo taškui pateikia vienintelį baigtinį pirmvaizdį.

Kai t artėja prie teigiamos arba neigiamos begalybės, koordinatės artėja prie (−1, 0), tačiau begalybė nėra leistina realioji argumento reikšmė. Ribinis taškas nebūtinai priklauso vaizdui. Norėdami apimti visą apskritimą, naudokite trigonometrinį parametrizavimą arba aiškiai pridėkite šį tašką kaip atskirą aprašo dalį. Brėžinys, kuriame du tolimieji galai sujungiami per praleistą tašką, paslėptų spragą.

Polinė koordinatė su ženklu nėra atstumas

Polinių koordinačių pora (r, θ) nusako tašką, kurio Dekarto koordinatės yra x = r cos θ, y = r sin θ. Naudojame realųjį r su ženklu ir realųjį orientuotąjį kampą θ, matuojamą radianais nuo teigiamos x ašies krypties. Kai r > 0, taškas yra kampo galiniame spindulyje; kai r < 0, jis yra priešinga kryptimi. Tikrasis taško atstumas nuo koordinačių pradžios yra |r|, nes x² + y² = r². Neigiama polinė koordinatė su ženklu yra leistina ir nėra neigiamas geometrinis atstumas.

Kiekvienam sveikajam skaičiui k poros (r, θ + 2kπ) ir (−r, θ + (2k + 1)π) nusako tą patį tašką kaip ir (r, θ). Pirmasis lygiavertiškumas kyla iš periodiškumo kas pilną apsisukimą. Pridėjus nelyginį pusės apsisukimo kartotinį, ir sinusas, ir kosinusas pakeičia ženklą; antruoju atveju šį pokytį kompensuoja r ženklo pakeitimas.

Taškui, nesutampančiam su koordinačių pradžia, tai yra visi jo vaizdavimo būdai, išreiškiami per vieną pasirinktą porą, kurioje r ≠ 0. Iš Dekarto koordinatėmis išreikštų atstumų kvadratų lygybės išplaukia, kad bet kuris kitas spindulys su ženklu turi būti r arba −r. Kai spindulys tas pats, abiejų vienetinio apskritimo koordinačių lygybė reiškia, kad kampų skirtumas turi būti 2kπ; kai spindulio ženklas priešingas, šis skirtumas turi būti nelyginis π kartotinis. Vien tangento lygybė neleistų atskirti priešingų spindulių.

Kai r = 0, kiekvienas realusis θ nusako koordinačių pradžią. Šis taškas nenustato savo kampo ir neturi vienintelės atskaitos krypties. Šį išimtinį atvejį būtina atskirti prieš dalijant iš r arba naudojant atvirkštinę trigonometrinę funkciją kampui nustatyti. Vaizdavimo susitarimas r ≥ 0 nekeičia taškų aibės, tačiau pašalina vaizdavimus su neigiamu spinduliu ir reikalauja atskiros taisyklės koordinačių pradžiai.

Prieš priimdami atvirkštine funkcija gautą kampą, nustatykite ketvirtį

Nenuliniam taškui (x, y) Dekarto koordinačių sistemoje pirmiausia pasirinkite kanoninį teigiamą polinį spindulį R = √(x² + y²) > 0. Jo normuotoji koordinačių pora (x/R, y/R) yra vienetiniame apskritime. Egzistuoja vienintelis kampas Θ, tenkinantis 0 ≤ Θ < 2π, kurio galinė kraštinė atitinka šias dvi koordinates. Šį egzistavimą ir vienatinumą lemia kryptis vienetiniame apskritime, todėl dalyti iš x nereikia.

Jei x ≠ 0, gali padėti lygybė tan Θ = y/x, tačiau pagrindinė arctan reikšmė yra griežtai tarp −π/2 ir π/2. Kai x < 0, prie šios pagrindinės reikšmės pridėkite π, kad gautumėte kampą teisingame ketvirtyje. Kai x > 0, palikite ją nepakeistą, jei ji neneigiama, o jei neigiama, pridėkite 2π. Po to patikrinkite abiejų koordinačių ženklus; tangento santykio periodas yra π, todėl vien jo nepakanka galinei kraštinei nustatyti.

Jei x = 0 ir y > 0, imkite Θ = π/2; jei x = 0 ir y < 0, imkite Θ = 3π/2. Kai y = 0, nenuliniams teigiamosios ir neigiamosios x ašies dalies taškams imkite atitinkamai 0 ir π. Taške (0, 0) R lygus nuliui, todėl kampo negalima vienareikšmiškai atkurti. Visos poros (0, θ) nusako šį tašką. Nenuliniam taškui taip pat galima naudoti arccos(x/R), kuris duoda kampą intervale [0, π]; palikite jį, kai y ≥ 0, ir imkite 2π − arccos(x/R), kai y < 0. Taip taip pat išsaugomi abiejų koordinačių ženklai, o ne remiamasi suapvalintu kampu.

Radus nenulinę kanoninę porą (R, Θ), visos taško polinių koordinačių poros, leidžiant abiejų ženklų spindulį, yra (R, Θ + 2kπ) arba (−R, Θ + (2k + 1)π), kur k yra sveikasis skaičius. Pradinį orientuotąjį kampą laikykite atskirai nuo šio kanoninio galutinės krypties kampo: skirtingas pilnų apsisukimų skaičius gali duoti tą patį tašką, o pakeitus spindulio ženklą taip pat pasikeičia tašką nusakantis spindulys.

Polinė lygtis nusako taškus, išlaikant jos apibrėžimo sritį

Kai r = f(θ), θ ∈ I, vaizdas yra {(f(θ)cos θ, f(θ)sin θ): θ ∈ I ir f apibrėžta}. Tai parametrinis atvaizdis, kurio parametras yra θ. Taškas priklauso vaizdui, jei bent viena leistina jo polinių koordinačių pora tenkina lygtį; kita to paties taško polinių koordinačių pora nebūtinai ją tenkina. Pavyzdžiui, koordinačių pradžia gali būti gaunama ties vienu f nuliu, net jei r = 0 netenkina lygties esant kitam kampui.

Kai a > 0, lygtis r = a visiems realiesiems θ duoda apskritimą x² + y² = a²; r = −a duoda tą patį visą apskritimą su priešingai nukreiptais spinduliais. Apribojus kampą, bet kuris iš šių vaizdų gali pasikeisti. Lygtis r = 0 duoda koordinačių pradžią, jei jos kampų aibė netuščia. Panašiai θ = θ₀ su visais realiaisiais abiejų ženklų r duoda visą tiesę, einančią per koordinačių pradžią ta kryptimi; apribojus r ≥ 0, gaunamas tik spindulys.

Kai r = 4cos θ visiems realiesiems θ, padauginę iš r gauname r² = 4r cos θ, taigi x² + y² = 4x, t. y. apskritimą (x − 2)² + y² = 4. Norėdami įrodyti atvirkštinį teiginį ir išsaugoti koordinačių pradžią, užrašykite x = 4cos² θ = 2 + 2cos(2θ), y = 4sin θ cos θ = 2sin(2θ). Kai 2θ apima visą apsisukimą, pasiekiamas visas pastumtas apskritimas, įskaitant koordinačių pradžią, kai θ = π/2. Padalijus iš r nepatikrinus, ar jis lygus nuliui, šis taškas būtų prarastas. Intervale −π/2 ≤ θ ≤ π/2 apskritimas apeinamas vieną kartą, pakartojant galinį tašką; intervale 0 ≤ θ < 2π jis apeinamas du kartus.

Kai r = 3sec θ = 3/cos θ, išlaikykite sąlygą cos θ ≠ 0. Tuomet x = 3 ir y = 3tan θ. Kiekvienam taškui (3, y) yra leistinas kampas θ = arctan(y/3) intervale (−π/2, π/2), su teigiamu spinduliu 3/cos θ, todėl, leidžiant visus leistinus realiuosius kampus, gaunama visa vertikali tiesė. Intervale 0 ≤ θ < π/2 gaunamas tik aukštyn nukreiptas spindulys iš taško (3, 0). Neleistinas intervalo galas yra polius, o ne baigtinis taškas, kurį reikėtų pridėti.

Nulinis koeficientas elgiasi kitaip: r = 0/cos θ, vis dar su sąlyga cos θ ≠ 0, duoda tik koordinačių pradžią. Padauginę iš cos θ gauname x = 0, tačiau visa ši vertikali tiesė yra per didelė aibė; pradinis dalmuo su nuliniu skaitikliu neturi taškų su nenuliniu spinduliu. Apibrėžimo srities apribojimas lieka galioti net tada, kai skaitiklis lygus nuliui, o gauta išvada Dekarto koordinatėmis savaime dar nėra lygiavertis vaizdas.

Kitas pavyzdys su apibrėžimo srities apribojimu yra r = 2/(1 + cos θ), kur θ ≠ (2k + 1)π kiekvienam sveikajam k. Šioje apibrėžimo srityje vardiklis yra griežtai teigiamas, todėl r > 0. Padauginę gauname r + x = 2; pasinaudoję r² = x² + y², gauname y² = 4(1 − x), į kairę atvertą parabolę. Ir atvirkščiai, bet kuriam šios parabolės taškui galioja x ≤ 1, o jo teigiamas atstumas yra R = 2 − x ≥ 1. Jo krypties vienetiniam vektoriui galioja cos θ = x/R ir sin θ = y/R, o 1 + cos θ = 2/R > 0. Taigi leistina šio taško polinių koordinačių pora atkuria pradinę lygtį ir įrodo, kad vaizdas yra visa parabolė. Koordinačių pradžia šiai kreivei nepriklauso.

Kai skaitiklis lygus nuliui, r = 0/(1 + cos θ) išlaiko tuos pačius neleistinus kampus ir pasiekia tik koordinačių pradžią. Panaikinus vardiklį, esant neleistinam kampui, kuriam cos θ = −1, būtų leidžiamas bet koks r ir taip būtų pridėti x ašies taškai. Šie taškai nepriklauso pradiniam dalmeniui su apibrėžimo srities apribojimu. Net koordinačių pradžios polinių koordinačių pora su neleistinu kampu lieka neleistina; kitos leistinos jos poros vis tiek patvirtina, kad šis geometrinis taškas priklauso vaizdui.

Pasikartojantis kampas ne visada reiškia pasikartojantį kreivės tašką

Vienetinis krypties vektorius pasikartoja kas 2π, tačiau polinės kreivės taškas pasikartoja tik tada, kai spindulys ir kryptis kartu duoda tą pačią Dekarto koordinačių porą. Spiralės r = θ, kai θ ≥ 0, kampai θ ir θ + 2π turi tą patį galinį spindulį, bet skirtingus teigiamus atstumus, todėl juos atitinkantys taškai, nesutampantys su koordinačių pradžia, skiriasi. Esant leistinoms parametro reikšmėms, spiralė prasideda koordinačių pradžioje, o jos spindulys yra neaprėžtas. Baigtinis kampo reikšmių intervalas duoda tik dalį šio vaizdo.

Kai r = 4cos θ, pakeitus θ į θ + π, ir r, ir vienetinis krypties vektorius pakeičia ženklą, todėl taškas lieka tas pats. Atvaizdžio į taškus Dekarto koordinačių sistemoje periodas yra π, nors pačios spindulio su ženklu funkcijos periodas yra 2π. Taigi skaliarinės formulės periodas ir geometrinis kreivės brėžimo periodas atsako į skirtingus klausimus. Įtrauktas intervalo galas gali pakartoti tą pačią vietą nepadidindamas taškų aibės.

Simetrijos įrodymas turi išsaugoti visą leistiną vaizdą. Pavyzdžiui, jei kiekvienai leistinai θ reikšmei yra leistina −θ reikšmė su tuo pačiu r, atitinkami taškai (r cos θ, r sin θ) ir (r cos θ, −r sin θ) rodo atspindžio simetriją x ašies atžvilgiu. Vien formulės invariantiškumo nepakanka, jei pasirinktas kampo reikšmių intervalas pašalina atitinkamus porinius taškus. Tai, kad konkretus keitimo testas nepavyksta, savaime neįrodo geometrinės simetrijos nebuvimo, nes atspindėtus taškus gali nusakyti kitos polinių koordinačių poros.

Baigtinė taškų lentelė parodo konkrečius taškų pasiekimus, bet neįrodo, kad yra visa kilpa, skylė, simetrija ar neaprėžtas tęsinys. Tokiems teiginiams pagrįsti naudokite tapatybes ir atvirkštinį parametro atkūrimą. Braižymo langas gali nukirpti net ir teisingai gautą visą parametrizacijos vaizdą; iš atrinktų taškų sudaryta laužtė gali sujungti taškus, kurių tikroji kreivė nesujungia, kirsti polių arba užpildyti neįtrauktą galinį tašką. Tikrąją parametro intervalo ribą skirkite nuo ekrano krašto, o koordinačių ašyse naudokite vienodo ilgio vienetus.

Numatykite taškų priklausymą ir pasiekimus prieš tikrindami konstrukciją

Eliminuodami parametrą, palyginkite neapribotą horizontalią parabolę su jos šaka, atitinkančia neneigiamas parametro reikšmes, ir dalimi, atitinkančia apribotą intervalą [−2, 1]. Prieš skaitydami išvadą, iš siūlomo taško atkurkite t: ar jis tenkina formulę ir priklauso pradiniam intervalui? Tada išbandykite racionaliąją apskritimo parametrizaciją ir paaiškinkite, kodėl (−1, 0) tenkina apskritimo lygtį, bet neturi baigtinės parametro reikšmės.

Nagrinėdami kreivės brėžimą, numatykite, kurie galiniai taškai įtraukiami į uždarą ar atvirą viršutinį pusapskritimį. Vieno apsisukimo pusiau atvirame intervale paaiškinkite, kodėl t = 2π neleidžiama, nors tą patį tašką pasiekiame, kai t = 0. Palyginkite didėjančio parametro kryptį žyminčias rodykles, kai apskritimis brėžiamas priešingomis kryptimis. Per du apsisukimus uždarame intervale pradinį tašką skaičiuokite atskirai: jis pasiekiamas tris kartus, o įprasti taškai – du. Kai pusašis lygus nuliui, remkitės pradinėmis formulėmis: jos duoda atkarpą arba tašką, nenaudojant įprasto elipsės lygties vardiklio.

Kai polinis spindulys gali būti ir teigiamas, ir neigiamas, prieš daugindami numatykite taško ketvirtį. Neigiamas spindulys perkelia tašką į pusę, priešingą nurodyto kampo spinduliui. Atstumą |r| skirkite nuo r su ženklu, o atkurdami kanoninį kampą atsižvelkite į abiejų koordinačių ženklus. Kai spindulys lygus nuliui, keičiant kampą vis tiek gaunama koordinačių pradžia, kuriai nepriskiriama jokia geometrinė kryptis.

Nagrinėdami polines kreives, palyginkite teigiamus ir nulinius dalmens skaitiklius, išlaikydami kiekvieną vardiklio apribojimą. Atskirai nustatykite, ar formulė apibrėžta, ar pateiktas polinių koordinačių užrašas ją tenkina ir ar tuo užrašu nusakomas taškas priklauso kreivei esant kuriai nors leistinai parametro reikšmei. Vienas koordinačių pradžios užrašas gali netenkinti formulės, o kitas – tenkinti. Prieš interpretuodami kilpą, trūkstamą tašką ar nukirptą neaprėžtą dalį, išnagrinėkite tikslias lenteles ir parametro atkūrimą; baigtinis brėžinys nepatvirtina viso vaizdo.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Parametrizuokite uždarą atkarpą nuo A = (1, −2) iki B = (7, 1), naudodami 0 ≤ u ≤ 1. Pateikite jos išsamų aprašą Dekarto koordinatėmis ir nurodykite, kada pasiekiamas jos vidurio taškas. Kas pasikeičia, jei reikšmė u = 1 neįtraukiama?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Naudokite x = 1 + 6u, y = −2 + 3u. Vaizdas yra y = (x − 5)/2, kai 1 ≤ x ≤ 7; kai u = 1/2, gaunamas taškas (4, −1/2). Neįtraukus u = 1, pašalinamas taškas B, o x riba pakeičiama į x < 7.

   Kadangi horizontaliųjų koordinačių skirtumas nelygus nuliui, gauname u = (x − 1)/6. Įstatę gauname y = −2 + (x − 1)/2 = (x − 5)/2, o parametro intervalas nustato tikslias x ribas. Ir atvirkščiai, iš šių ribų gaunama leistina u reikšmė, taigi įrodoma, kad vaizdas yra visa atkarpa. Atvaizdis yra injektyvus, todėl pašalinus vienintelį taško B pirmvaizdį, jokia likusi parametro reikšmė nebeduoda B.

2. Kai x = t − 2, y = √t ir 0 < t ≤ 9, raskite visą vaizdą ir nurodykite neįtraukto bei įtraukto galinių taškų koordinates. Paaiškinkite, kodėl vien pakėlus kvadratu atsiranda papildomų taškų.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vaizdas yra x = y² − 2, kai 0 < y ≤ 3. Ribinis taškas (−2, 0) neįtrauktas, o taškas (7, 3) įtrauktas. Apatinė kvadratinės šaknies šaka nepasiekiama.

   Pradinė kvadratinė šaknis reikalauja neneigiamos y reikšmės, o griežta nelygybė t > 0 užtikrina, kad ji teigiama. Išreiškę t = y² ir išlaikę t ≤ 9, gauname 0 < y ≤ 3. Kiekvienas šias sąlygas tenkinantis taškas pasiekiamas su tokia t reikšme. Be ženklo ir intervalo apribojimų, lygtis x = y² − 2 apima ir taškus, kuriuose y ≤ 0 arba y > 3; iš jų atkurtos parametro reikšmės arba kvadratinės šaknies ženklai neatitinka pradinio atvaizdžio.

3. Kai x = 1 + 3cos(2t), y = −1 + 2sin(2t) ir 0 ≤ t < 2π, nurodykite visą vaizdą, apėjimo kryptį ir kiek kartų pasiekiamas kiekvienas taškas. Raskite taškus, kai t = 0, π/4 ir π.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visa elipsė yra (x − 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1; ji apeinama du kartus prieš laikrodžio rodyklę. Kiekvienas taškas pasiekiamas esant dviem leistinoms parametro reikšmėms. Trys taškai yra (4, −1), (1, 1) ir (4, −1).

   Fazė 2t kinta intervale [0, 4π), apimančiame du pilnus apsisukimus su neįtrauktais dešiniaisiais galais. Normavimas teigiamais pusašiais įrodo, kad kiekvienas elipsės taškas pasiekiamas po vieną kartą per apsisukimą, taigi nurodytame intervale – du kartus. Didėjant fazei judama prieš laikrodžio rodyklę. Įstatę fazės reikšmes 0, π/2 ir 2π, gauname tikslias koordinates; pakartotinai pasiekta pradinė vieta geometriniame vaizde tebėra vienas taškas.

4. Kai x = (1 − t²)/(1 + t²), y = 2t/(1 + t²), t ∈ ℝ, raskite tašką (3/5, 4/5) atitinkančią parametro reikšmę. Ar taškas (−1, 0) pasiekiamas esant kokiai nors baigtinei parametro reikšmei ir ar tai, kad jis yra ribinis taškas, leidžia jam priklausyti vaizdui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tašką (3/5, 4/5) atitinka t = 1/2. Taškas (−1, 0) neturi baigtinio pirmvaizdžio ir nepriklauso vaizdui, nors koordinatės artėja prie jo, kai t → ±∞.

   Naudokite t = y/(1 + x) = (4/5)/(8/5) = 1/2. Įstatę gauname (1 − 1/4)/(1 + 1/4) = 3/5 ir 1/(5/4) = 4/5. Kiekvienam realiajam t galioja x + 1 = 2/(1 + t²) > 0, todėl x = −1 neįmanoma. Begalybė nusako ribinį procesą, o ne leistiną realiąją parametro reikšmę, todėl ji neprideda jokio taško prie pradinio vaizdo.

5. Raskite taško (−√3, −1) kanoninę polinių koordinačių porą su teigiamu spinduliu ir vieną porą su neigiamu spinduliu. Kodėl vien arctan(y/x) nepakanka ir kokios yra visos koordinačių pradžios polinių koordinačių poros?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kanoninė pora yra (2, 7π/6); viena pora su neigiamu spinduliu yra (−2, π/6). Santykio arktangento pagrindinė reikšmė yra π/6, atitinkanti priešingą spindulį. Kiekviena pora (0, θ), kai θ yra realusis skaičius, vaizduoja koordinačių pradžią.

   Atstumo kvadratas yra 3 + 1 = 4, todėl R = 2. Abi normuotos koordinatės yra neigiamos, todėl taškas yra III ketvirtyje, o jo krypties kampas yra 7π/6. Tangento santykis yra 1/√3, toks pat kaip ir pirmojo ketvirčio spindulio; kai x < 0, prie pagrindinės arktangento reikšmės pridėjus π gaunamas teisingas kampas. Pakeitus spindulį su ženklu į −2 ir iš krypties kampo atėmus π, gaunamas tas pats taškas. Koordinačių pradžioje nėra nenulinės normuotos krypties, todėl jos kampas yra bet koks.

6. Nustatykite visą r = 5sec θ vaizdą intervale −π/3 ≤ θ ≤ π/3, įskaitant galinius taškus. Ar šiame intervale pasiekiama visa vertikalioji tiesė x = 5?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vaizdas yra uždara atkarpa x = 5, −5√3 ≤ y ≤ 5√3, kurios galiniai taškai yra (5, −5√3) ir (5, 5√3). Visa vertikalioji tiesė nepasiekiama.

   Visame šiame intervale kosinusas yra teigiamas ir nelygus nuliui, todėl dalmuo yra apibrėžtas. Koordinatės yra x = 5 ir y = 5tan θ. Tangentas šiame intervale yra griežtai didėjantis ir tolydus, o jo reikšmės intervalo galuose yra −√3 ir √3. Ir atvirkščiai: kiekvienai y reikšmei tarp šių ribų θ = arctan(y/5) priklauso reikiamam intervalui, o tai įrodo, kad pasiekiama visa atkarpa. Panaikinus kampo apribojimą, parametrizacijos vaizdas būtų kitoks.

7. Kai r = 4sin θ intervale 0 ≤ θ ≤ π, raskite visą vaizdą ir vaizdą, gaunamą apribojus parametrą intervalu 0 ≤ θ ≤ π/2. Ar koordinačių pradžia priklauso vaizdui, nors ją vaizduojanti pora (0, π/2) netenkina lygties?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visas vaizdas yra apskritimas x² + (y − 2)² = 4, apeinamas vieną kartą, o koordinačių pradžia pasiekiama abiejuose intervalo galuose. Apribotas vaizdas yra jo dešinysis pusapskritimis, x ≥ 0. Koordinačių pradžia priklauso vaizdui, nes ji pasiekiama, kai θ = 0 arba π, nors ją vaizduojanti pora (0, π/2) netenkina lygties.

   Koordinatės yra x = 2sin(2θ), y = 2 − 2cos(2θ). Centro atžvilgiu užrašyta vienetinio vektoriaus koordinačių pora apsisuka vieną kartą, kai θ kinta nuo 0 iki π, todėl įrodoma, kad apimamas visas apskritimas. Intervale [0, π/2] x yra neneigiamas, o pora apima tiksliai dešinįjį pusapskritimį. Esant leistiniems intervalo galų kampams, r = 0 ir pasiekiama koordinačių pradžia. Tačiau kai θ = π/2, pagal formulę turi būti r = 4, todėl pora (0, π/2) jos netenkina; kad geometrinis taškas priklausytų kreivei, pakanka vienos leistinos formulę tenkinančios jį vaizduojančios poros, o ne visų lygiaverčių porų.

Ką verta įsidėmėti

• Parametrinė kreivė yra visas jos apibrėžtos koordinačių poros vaizdas pradinėje parametro reikšmių aibėje. Vaizdas, taškų lankymo tvarka ir apsilankymų skaičius yra skirtinga informacija.
• Pašalinus parametrą, įrodoma išvada. Norint įrodyti vaizdų lygybę, taip pat reikia atvirkštinio atkūrimo, išlaikant visus pradinius intervalų, ženklų, kvadratinių šaknų ir vardiklių apribojimus.
• Keičiant parametrus galima išlaikyti, apgręžti, pakartoti arba apriboti kreivės apėjimą. Trigonometrinius pilnus apsisukimus, dalinius lankus ir išsigimimo atvejus, kai ašies ilgis lygus nuliui, reikia aiškinti pagal konkrečias formules ir įvesties reikšmių aibę.
• Racionalusis atvaizdis į vienetinį apskritimą apima visus taškus, išskyrus (−1, 0); jo atvirkštinis atvaizdis ir griežtas argumentas dėl vardiklio nustato šį trūkstamą tašką, o riba, kai parametras artėja į begalybę, jo neprideda.
• Realiųjų polinių koordinačių pora, kurioje r gali būti bet kurio ženklo, vaizduoja (r cos θ, r sin θ), o atstumas yra |r|. Taškai, išskyrus koordinačių pradžią, turi juos vaizduojančių porų šeimas, gaunamas pridedant pilnus apsisukimus arba keičiant r ženklą ir pridedant pusę apsisukimo; koordinačių pradžią vaizduoja bet kuris kampas, kai r = 0.
• Polinę kryptį atkurkite atsižvelgdami į abiejų koordinačių ženklus ir atvejus ant ašių. Pagrindinė koordinačių santykio arctan reikšmė neleidžia atskirti priešingų spindulių, o koordinačių pradžios kampo neįmanoma vienareikšmiškai atkurti.
• Polinei lygčiai reikia leistinos ją tenkinančios tašką vaizduojančios koordinačių poros, o apsilankymus, kai spindulys lygus nuliui, ir polius reikia tikrinti atskirai. Visoms leistinoms reikšmėms galiojančios tapatybės ir atvirkštiniai argumentai įrodo vaizdus; imtys, kreivės braižymo intervalai ir peržiūros langai nusako, kiek jų rodoma.