Kūgio pjūviai ir koordinačių geometrija

Pasirenkite susieti atstumus ir lygtis

Naudosite koordinates su ženklais, Pitagoro teorema pagrįstą atstumo formulę ir pilnojo kvadrato išskyrimą. Grįžkite prie pasirengimo nuorodų, jei nežinote, kaip pažymėti tašką, rasti atstumą arba perrašyti x² + 8x kaip (x + 4)² − 16.

Skaitydami pirmą kartą, išnagrinėkite keturis apibrėžimus pagal atstumus, šalia jų pateiktas diagramas ir savybių lenteles, tada išbandykite išspręstus pavyzdžius. Perskaitykite kiekvieno elipsės ir hiperbolės įrodymo pirmąją pastraipą, kad sužinotumėte kreivę apibrėžiančią sąlygą; prie likusių algebrinių pastraipų galėsite grįžti vėliau. Kai išmoksite skaityti standartines lygtis, galėsite grįžti prie klasifikacijos pagal ekscentricitetą ir visas kreives apimančių parametrizacijų.

Kūgio pjūvis – visa taškų aibė, o ne keli pažymėti taškai

Fiksuokite O = (−4, 3) ir ieškokite visų taškų, nutolusių nuo jo lygiai 5 vienetų. P = (−1, 7) tenkina sąlygą, nes jo horizontalusis ir vertikalusis poslinkiai yra 3 ir 4, o √(3² + 4²) = 5. Centras O sąlygos netenkina: jo atstumas iki savęs yra nulis. Sąlygą tenkinantys taškai sudaro apskritimą, apimantį visas padėtis aplink O, o ne tik pažymėtą tašką.

Geometrinė taškų vieta yra visų taškų, tenkinančių nurodytą sąlygą, aibė. Kūgio pjūviai gali susidaryti plokštumai kertant dvigubą kūgį; čia nagrinėjame jų apibrėžimus pagal atstumus plokštumoje ir koordinatines lygtis. Mūsų įprasti apskritimai, elipsės, hiperbolės ir parabolės yra neišsigimusios kreivės. Kai kurie ribiniai duomenys apibrėžia ne jas, o tašką, atkarpą, tiesę, spindulių porą arba tuščiąją aibę, o formulė su nuliniu vardikliu nėra apibrėžta lygtis.

Naudokite Euklido koordinačių plokštumą su statmenomis ašimis ir tuo pačiu ilgio vienetu abiejose ašyse. Atstumas nuo P = (x, y) iki F = (f, g) yra √((x − f)² + (y − g)²). Atstumas nuo P iki vertikalios tiesės x = d yra |x − d|, o iki horizontalios tiesės y = d yra |y − d|. Šie atstumai iki tiesių matuojami statmenai; pasirinkta pasviroji atkarpa iki kito tiesės taško paprastai yra ilgesnė.

Kai centras arba viršūnė yra pastumti į tašką (h, k), rašykite X = x − h ir Y = y − k. Lygiagretusis postūmis išsaugo visus ilgius ir krypčių statmenumą. Šios pamokos standartinėse lygtyse pagrindinės arba simetrijos ašys yra lygiagrečios koordinačių ašims. Bendrajai antrojo laipsnio lygčiai, kurioje yra narys xy, gali reikėti pasuktų ašių; jos negalima dirbtinai priskirti lygtims, kurių ašys lygiagrečios koordinačių ašims, tiesiog ignoruojant šį narį.

Norėdami įrodyti, kad apibrėžimas pagal atstumus ir lygtis nusako tą pačią geometrinę vietą, įrodykite abi implikacijas. Neneigiamų atstumų kėlimas kvadratu išsaugo lygybę, tačiau atskyrę arba pakėlę kvadratu reiškinį, kuris gali būti teigiamas arba neigiamas, prieš atlikdami atvirkštinius veiksmus turime patikrinti jo ženklą. Tikslus kelių taškų patikrinimas parodo, kad tie taškai priklauso geometrinei vietai, bet neįrodo, kokia yra visa geometrinė vieta.

Apskritimas turi vieną teigiamą spindulį ir fiksuotą centrą

Apskritimą, kurio centras yra (h, k), o spindulys r > 0, sudaro visi ir tik tie taškai, kuriems √(X² + Y²) = r. Abi lygybės pusės yra neneigiamos, todėl ši lygybė lygiavertė X² + Y² = r². Ir atvirkščiai, iš lygties su kvadratais išplaukia, kad pradinis atstumas lygus teigiamajai šakniai r. Keturi kraštiniai taškai koordinačių ašių kryptimis yra (h ± r, k) ir (h, k ± r), o visa kreivė yra simetriška kiekvienos per jos centrą einančios tiesės atžvilgiu.

Lygtyje x² + y² + Dx + Ey + F = 0 išskyrę abu pilnuosius kvadratus, gauname (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D² + E²)/4 − F. Taigi galimas centras yra (−D/2, −E/2). Dešiniąją pusę pažymėkime R. Kai R teigiamas, gauname įprastą apskritimą, kurio spindulys √R; kai R = 0, gauname tik centro tašką; kai R < 0, negauname nė vieno realiojo taško, nes kvadratų suma negali būti neigiama.

Įvestis „spindulys −2“ neatitinka pradinio apibrėžimo pagal atstumą: neneigiamas atstumas negali būti lygus −2. Pakėlę šią įvestį kvadratu ir gavę 4, pradinę neįmanomą atstumo sąlygą pakeistume kita. Nurodytas nulinis spindulys taip pat duoda tašką, o ne įprastą teigiamo spindulio apskritimą; išlaikykite šį skirtumą, užuot braižę bet kokį teigiamo spindulio apskritimą.

Vienodi x² ir y² koeficientai gali leisti atpažinti apskritimą, padalijus lygtį iš jų bendro nenulinio koeficiento ir išskyrus pilnuosius kvadratus, jei nelieka nario su xy. Vis tiek reikia patikrinti gautos dešiniosios pusės ženklą. Teigiamo spindulio apskritimo centras nėra ant jo ribos, o skritulio vidaus taškų nereikėtų painioti su apskritimo taškais.

Elipsėje atstumų iki dviejų židinių suma yra pastovi

Du skirtingus židinius pažymėkime taškuose (h − c, k) ir (h + c, k), kur c > 0. Taškui P apibrėžkime d₋ = √((X + c)² + Y²) ir d₊ = √((X − c)² + Y²). Elipsė, kuri nėra apskritimas, apibrėžiama sąlyga d₋ + d₊ = 2a, kur a > c. Ši suma turi būti griežtai didesnė už atstumą tarp židinių 2c: lygybės atveju P būtų atkarpoje tarp židinių, o ne įprastoje elipsėje.

Atstumų kvadratų skirtumas yra d₋² − d₊² = 4cX. Jei atstumų suma lygi 2a, jų skirtumas lygus 2cX/a, taigi d₋ = a + cX/a ir d₊ = a − cX/a. Įstatę į bet kurio atstumo kvadrato išraišką ir suprastinę, gauname X²/a² + Y²/(a² − c²) = 1. Pažymėkime b² = a² − c² > 0. Tuomet a > b > 0, o horizontalios elipsės kanoninė lygtis yra X²/a² + Y²/b² = 1.

Įrodant atvirkštinę implikaciją, būtina atsižvelgti į ženklus. Iš kanoninės lygties išplaukia |X| ≤ a. Kadangi c < a, tiek a + cX/a, tiek a − cX/a yra griežtai teigiami. Į abiejų atstumų kvadratų išraiškas įstatę Y² = b²(1 − X²/a²), gauname d₋² = (a + cX/a)² ir d₊² = (a − cX/a)². Todėl ištraukę neneigiamas kvadratines šaknis gauname d₋ + d₊ = 2a. Taip abiem kryptimis įrodomas visos geometrinės vietos apibūdinimas, nesiremiant prielaida, kad eskizas pagrindžia perėjimą nuo kvadratų prie pačių dydžių.

Ryšys c² = a² − b² rodo, kad kiekvienas židinys yra arčiau centro nei atitinkama viršūnė: 0 < c < a. Jei abu židiniai sutampa, c = 0, atstumų iki jų sumos 2a sąlyga, kai a > 0, tampa atstumo a iki bendro židinio sąlyga. Tuomet lygtyje a = b, ir ji apibrėžia apskritimą – specialųjį elipsės atvejį. Kai ašys lygios, nėra išskirtos ilgesnės ašies.

Didesnis elipsės lygties vardiklis nurodo didžiosios ašies kryptį

Elipsėje, kuri nėra apskritimas, a žymi teigiamą didžiojo pusašio ilgį, o b – teigiamą mažojo pusašio ilgį, taigi a > b > 0. Lygtyje X²/a² + Y²/b² = 1 didžioji ašis yra horizontali, o lygtyje X²/b² + Y²/a² = 1 – vertikali. Vardikliai yra pusašių ilgių kvadratai, o ne patys ilgiai. Didžiosios ir mažosios ašių ilgiai nuo vieno galo iki kito yra 2a ir 2b.

Horizontalios elipsės viršūnės yra (h ± a, k), mažosios ašies galai – (h, k ± b), o židiniai – (h ± c, k), kur c = √(a² − b²) > 0. Vertikalios elipsės atveju sukeiskime X ir Y vaidmenis: viršūnės yra (h, k ± a), mažosios ašies galai – (h ± b, k), o židiniai – (h, k ± c). Kiekviena simetrijos ašis eina per centrą (h, k).

Prilyginę vieną pastumtos koordinačių sistemos koordinatę nuliui, randame atitinkamos ašies galus. Visai horizontalios elipsės geometrinei vietai galioja h − a ≤ x ≤ h + a ir k − b ≤ y ≤ k + b; kiekviena ribinė reikšmė pasiekiama. Šie teiginiai išplaukia iš dviejų neneigiamų lygties dėmenų ir tikrųjų ašių galų. Vertikalios elipsės atveju riboms nusakyti horizontalia kryptimi naudojamas b, o vertikalia – a.

Nelaikykite lygties X²/4 + Y²/9 = 1 netaisyklinga vien todėl, kad vardiklis po X yra mažesnis. Ji apibrėžia vertikalią elipsę, kurios a = 3 ir b = 2. Perskaitę lygtį, simbolius priskirkite pagal didžiosios ašies kryptį. Pažymėtas centras (h, k) ir du kreivės viduje pažymėti židiniai yra orientyrai, o ne papildomi ribos taškai.

Hiperbolė išlaiko abu atstumų skirtumo ženklus

Imkime skirtingus židinius (h − c, k) ir (h + c, k), kai c > 0, ir tuos pačius atstumų žymenis d₋ ir d₊. Neišsigimusi hiperbolė yra geometrinė taškų vieta |d₋ − d₊| = 2a, kai 0 < a < c. Modulis apima abi šakas. Vien lygtis d₋ − d₊ = 2a išskiria dešiniąją šaką, o priešingo ženklo skirtumas – kairiąją.

Tegu δ = d₋ − d₊. Kadangi δ(d₋ + d₊) = 4cX ir d₋ + d₊ > 0, δ ženklas sutampa su X ženklu. Kai |δ| = 2a, δ nelygus nuliui. Taigi d₋ + d₊ = 2c|X|/a. Sujungę šią sumą su skirtumu, atsižvelgdami į jo ženklą, ir įstatę į bet kurio atstumo kvadrato išraišką, gauname X²/a² − Y²/(c² − a²) = 1. Apibrėžkime b² = c² − a² > 0; tuomet gauname horizontaliosios hiperbolės lygtį X²/a² − Y²/b² = 1.

Ir atvirkščiai, iš šios lygties išplaukia |X| ≥ a. Įstatę Y² = b²(X²/a² − 1) į atstumų kvadratų išraiškas, gauname d₋ = |cX/a + a| ir d₊ = |cX/a − a|. Čia |cX/a| ≥ c > a. Jei X teigiamas, jų skirtumas yra 2a; jei X neigiamas, skirtumas yra −2a. Taigi abiejose šakose skirtumo modulis yra 2a. Šios ženklų patikros leidžia po kėlimo kvadratu atkurti pradinę geometrinę taškų vietą.

Viršūnės yra (h ± a, k), židiniai – (h ± c, k), o c² = a² + b². Pusašis a nusako skersinę, arba šakų atsivėrimo, kryptį; kitaip nei elipsės atveju, a nebūtinai turi būti didesnis už b. Sukeitę ašis, gauname vertikaliosios hiperbolės lygtį Y²/a² − X²/b² = 1, kurios viršūnės yra (h, k ± a), o židiniai – (h, k ± c). Kai dešinioji pusė normalizuota iki 1, teigiamas kvadratinis narys nurodo šakų atsivėrimo kryptį.

Hiperbolės asimptotės padeda braižyti grafiką, bet jam nepriklauso

Horizontaliosios hiperbolės X²/a² − Y²/b² = 1 asimptotės yra Y = ±(b/a)X, arba y − k = ±(b/a)(x − h). Vertikaliosios hiperbolės Y²/a² − X²/b² = 1 asimptotės yra Y = ±(a/b)X. Šios tiesės eina per centrą. Horizontaliosios hiperbolės atveju pagalbinis stačiakampis, kurio pusė pločio yra a, o pusė aukščio – b, leidžia nustatyti asimptočių krypties koeficientus, tačiau jo viršūnės ir menamosios ašies kryptimi esantys galiniai taškai hiperbolei nepriklauso.

Horizontalios hiperbolės lygtis duoda Y = ±(b/a)√(X² − a²), kai |X| ≥ a. Kai |X| neribotai didėja, neneigiamas skirtumas |X| − √(X² − a²) yra lygus a²/(|X| + √(X² − a²)) ir artėja prie nulio. Kai X artėja prie teigiamos begalybės, šakos, atitinkančios abu ženklus prieš kvadratinę šaknį, artėja prie dviejų tiesių Y = ±(b/a)X su atitinkamais ženklais; kai X artėja prie neigiamos begalybės, ženklai susikeičia. Šis algebrinis argumentas pagrindžia abi asimptotes; keli tolimi taškai neįrodo ribinės elgsenos.

Įstačius bet kurios asimptotės lygtį į standartinę lygtį, kairioji pusė tampa lygi nuliui, todėl nė vienas šių tiesių taškas netenkina lygties, kurios dešinioji pusė yra 1. Ši hiperbolė niekada nekerta savo asimptočių. Šis teiginys išplaukia iš šios konkrečios lygties, o ne iš visuotinio teiginio, kad kiekvienas grafikas turi vengti visų asimptočių.

Visai horizontalios hiperbolės taškų aibei galioja x ≤ h − a arba x ≥ h + a, o y įgyja visas realiąsias reikšmes; centras ir tarpas tarp viršūnių šiai aibei nepriklauso. Vertikalios hiperbolės taškų aibei galioja y ≤ k − a arba y ≥ k + a, o x įgyja visas realiąsias reikšmes. Baigtinis vaizdo langas nukerpa šias neaprėžtas šakas; sankirtos su lango riba nėra matematinės kreivės galiniai taškai.

Parabolė: atstumas iki židinio lygus statmenam atstumui iki tiesės

Parabolė yra taškų, vienodai nutolusių nuo židinio ir direktrisės tiesės, geometrinė vieta; židinys nepriklauso šiai tiesei. Kai ašis vertikali, naudokite viršūnę (h, k), židinį (h, k + p) ir direktrisę y = k − p, kur p ≠ 0. Židinio poslinkis p turi ženklą: atstumas nuo židinio iki viršūnės yra |p|. Viršūnė yra atkarpos tarp židinio ir iš jo į direktrisę nuleisto statmens pagrindo viduryje.

Apibrėžiamoji lygybė yra √(X² + (Y − p)²) = |Y + p|. Abi pusės yra neneigiamos, todėl kėlimas kvadratu yra grįžtamas ir duoda X² + (Y − p)² = (Y + p)², taigi X² = 4pY. Ir atvirkščiai: ši polinominė lygybė reiškia, kad abiejų atstumų kvadratai lygūs; ištraukus jų neneigiamas kvadratines šaknis, gaunama pradinė lygybė. Atstumo iki tiesės išraiška su moduliu tinka abiem p ženklams.

Jei p > 0, vertikalioji parabolė atsiveria į viršų ir y ≥ k; jei p < 0, ji atsiveria žemyn ir y ≤ k. Jos ašis yra x = h. Horizontaliosios ašies atveju analogiška lygtis yra Y² = 4pX, židinys – (h + p, k), direktrisė – x = h − p, o ašis – y = k. Ji atsiveria į dešinę, kai p > 0, ir į kairę, kai p < 0. Lygtyje esantis skaičius 4p nėra židinio poslinkis p.

Parabolė turi viršūnę, bet neturi centrinės simetrijos centro. Vertikaliosios parabolės atveju, įrašius Y = p, gaunami židinio aukštyje esančios stygos galai (h ± 2|p|, k + p); jos ilgis yra 4|p|. Horizontaliosios parabolės atitinkami galai yra (h + p, k ± 2|p|). Šie galai priklauso kreivei, o pats židinys – ne: įrašius jo koordinates į apibrėžiamųjų atstumų išraiškas, atstumas iki židinio lygus nuliui, tačiau atstumas iki direktrisės yra teigiamas ir lygus 2|p|.

Kai p = 0, židinys būtų ant direktrisės, o tai pažeistų įprastos parabolės prielaidą. Likusios atstumų lygybės apibrėžta geometrinė vieta yra tiesė: X² = 0 vertikaliosios orientacijos atveju arba Y² = 0 horizontaliosios orientacijos atveju. Pavadinus šią tiesę įprasta parabole, būtų nuslėpta, kad židinys ir direktrisė nėra atskirti.

Ekscentricitetas lygina atstumus, kai atstumas iki tiesės nenulinis

Kai židinys F nepriklauso direktrisės tiesei L ir e > 0, nagrinėkime PF = e·dist(P, L). Šioje geometrinėje vietoje atstumas iki tiesės negali būti lygus nuliui: priešingu atveju PF taip pat būtų lygus nuliui, todėl F priklausytų L. Taigi lygiavertis santykis PF/dist(P, L) = e yra apibrėžtas. Atstumas iki L matuojamas statmenai ir yra neneigiamas, todėl jo negalima pakeisti koordinačių skirtumu su ženklu.

Horizontaliosios elipsės, kuri nėra apskritimas, arba horizontaliosios hiperbolės atveju e = c/a. Dešinįjį židinį (h + c, k) susiekime su direktrise x = h + a²/c. Iš pirmiau pateiktų geometrinės vietos skaičiavimų gauname PF = |a − cX/a| = (c/a)|X − a²/c|, todėl santykis yra e. Taip pat kairįjį židinį susiekime su x = h − a²/c. Vertikaliųjų formų atveju sukeiskime koordinačių vaidmenis; jų direktrisės yra y = k ± a²/c. Elipsėms 0 < e < 1, hiperbolėms e > 1, o iš pradinio parabolės apibrėžimo vienodais atstumais gauname e = 1.

Šis santykis taip pat įrodo klasifikaciją tinkamoje, su kreivės ašimis suderintoje koordinačių sistemoje. Tarkime, F = (f, 0), L: u = d, kur f ≠ d. Lygybės √((u − f)² + v²) = e|u − d| kėlimas kvadratu yra grįžtamas. Kai e ≠ 1, išskyrę pilnąjį kvadratą gauname (1 − e²)(u − H)² + v² = e²(f − d)²/(1 − e²), kur H = (f − e²d)/(1 − e²). Jei 0 < e < 1, abu kvadratinių narių koeficientai ir dešinioji pusė yra teigiami, todėl padaliję gauname elipsę. Jei e > 1, padauginkime iš −1: gausime u kvadrato narį su teigiamu koeficientu minus v kvadrato narį su teigiamu koeficientu ir teigiamą dešiniąją pusę, taigi hiperbolę. Kai e = 1, lygtis tampa v² = 2(f − d)(u − (f + d)/2), o tai yra įprasta parabolė, nes f − d ≠ 0.

Apskritimas yra elipsės su vienodomis ašimis atvejis, kai židiniai sutampa ir c = 0, todėl pagal susitarimą jo ekscentricitetas yra e = c/a = 0, kai a > 0. Direktrisės formulė a²/c tuomet neapibrėžta. Teigiamo spindulio apskritimo negalima gauti lygybėje PF = e·dist(P, L) įrašius e = 0 ir pasirinkus fiksuotą direktrisę baigtiniu atstumu; ši lygtis duoda tik židinio tašką. Apskritimo ekscentricitetas apibrėžiamas pagal ribinį susitarimą, kai abu židiniai sutampa, o ne pagal konstrukciją su direktrise baigtiniu atstumu.

Prieš taikydami standartinę formą, klasifikuokite ribinius duomenis

Atstumų nelygybės paaiškina, kodėl kai kurie atvejai atmetami. Kai du židinius skiria atstumas 2c > 0, atstumų suma yra ne mažesnė kaip 2c, o lygybė galioja tik juos jungiančioje atkarpoje. Taigi, kai suma 2a < 2c, gaunama tuščioji aibė, lygybės atveju – atkarpa, o kai 2a > 2c – įprasta elipsė. Atstumų skirtumo moduliui iš atvirkštinės trikampio nelygybės gauname |d₋ − d₊| ≤ 2c.

Kai pastovioji skirtumo reikšmė yra griežtai tarp 0 ir 2c, gaunama įprasta hiperbolė. Nulinis skirtumas duoda židinius jungiančios atkarpos vidurio statmenį. Skirtumas, lygus tiksliai 2c, duoda du išorinius spindulius židinių tiesėje, įskaitant jų pradžios taškus – židinius; didesnė pastovioji reikšmė duoda tuščiąją aibę. Lygybės atvejai išplaukia iš lygybės trikampio nelygybėje: ji reikalauja, kad atitinkami taškai būtų vienoje tiesėje ir išsidėstę reikiama tvarka.

Jei židiniai sutampa, atstumų iki jų suma yra lygi dvigubam atstumui iki jų bendro taško. Teigiama suma apibrėžia apskritimą, o nulinė suma – tik tą tašką; neigiama suma neįmanoma. Atstumų iki šių židinių skirtumo modulis kiekviename plokštumos taške lygus nuliui. Taigi, kai pastovioji skirtumo reikšmė lygi nuliui, gaunama visa plokštuma, o kai ji nenulinė – tuščioji aibė. Šiuos atvejus atmeta įprastai elipsei, kuri nėra apskritimas, arba hiperbolei taikoma prielaida, kad židiniai yra skirtingi.

Normalizuotą polinominę lygtį ir pradinį aprašą su parametrais reikia tikrinti atskirai. Pavyzdžiui, X² + Y² = R apibrėžia apskritimą, tašką arba tuščiąją aibę, priklausomai nuo R ženklo. Tačiau konstrukcija, kuriai būtinas teigiamas spindulys, esant neteigiamam spinduliui neatitinka pradinės prielaidos. Panašiai lygtyje X²/a² + Y²/b² = 1, kai a = 0 arba b = 0, dalijama iš nulio. Panaikinus vardiklius, pradinė išraiška netampa apibrėžta: ribinė lygtis netgi gali apimti taškus, nepriklausančius pradiniam atstumais apibrėžtam ribiniam atvejui.

Prieš interpretuodami ženklus ir vardiklius, išskirkite pilnuosius kvadratus ir normalizuokite nenulinę dešiniąją pusę. Pavyzdžiui, −X²/9 + Y²/4 = −1 tampa X²/9 − Y²/4 = 1 – horizontalios hiperbolės lygtimi. Kai dešinioji pusė lygi nuliui, lygties X²/9 − Y²/4 = 0 kairioji pusė išskaidoma dauginamaisiais ir gaunamos dvi tiesės Y = ±(2/3)X. Taigi nulinė arba neigiama normalizavimo konstanta gali pakeisti klasifikaciją; tai nėra vien kosmetinis mastelio keitimas.

Tikslios parametrizacijos atskleidžia tai, ko neparodo brėžinys

Apskritimą galima parametrizuoti lygtimis x = h + r cos t, y = k + r sin t visiems realiesiems t. Horizontali elipsė panašiai parametrizuojama lygtimis x = h + a cos t, y = k + b sin t; vertikaliai elipsei sukeiskite a ir b. Įstatę koordinates patikriname kiekvieną tokį tašką. Ir atvirkščiai: padaliję taško koordinates po poslinkio iš teigiamų pusašių ilgių, gauname vienetinio apskritimo tašką, kurį atitinka tam tikras realusis kampas t. Tai įrodo, kad parametrizacija apima visą geometrinę vietą, o ne tik pasirinktus ypatingus kampus.

Horizontaliosios hiperbolės pilna abiejų šakų parametrizacija yra X = σa(1 + t²)/(1 − t²), Y = 2bt/(1 − t²), kur σ yra 1 arba −1, o −1 < t < 1. Šiame atvirajame intervale vardiklis yra teigiamas. Įstatę gauname kanoninę lygtį. Ir atvirkščiai, pažymėkime w = |X|/a ≥ 1 ir z = Y/b; tada w² − z² = 1. Atvirkštinės parametrizacijos reikšmė t = z/(w + 1) priklauso intervalui (−1, 1) ir duoda tas pačias koordinates, kai σ = sign X. Abiem šakoms aprašyti reikia abiejų ženklų; t = ±1 neįtraukiama ir neatitinka jokio baigtinio galinio taško.

Vertikaliosios parabolės parametrizacija x = h + t, y = k + t²/(4p), kai p ≠ 0, o t yra bet kuris realusis skaičius, apima kiekvieną tašką, nes t yra būtent X. Horizontaliajai formai sukeiskite koordinačių vaidmenis. Taip pat gaunama tiksli koordinačių reikšmių sritis parabolės atsivėrimo kryptimi ir nustatomas jos neaprėžtumas. Apribojus parametrą mažu intervalu, rodoma tik kreivės dalis.

Centrus, židinius, direktrises ir asimptotes laikykite pažymėtais orientaciniais objektais, o ne ribos taškais, nebent tikslus įstatymas įrodo kitaip. Ekrane apskritimas gali atrodyti kaip elipsė, jei ašių masteliai skiriasi. Vienodas vienetų mastelis ir tikslių geometrinių charakteristikų lentelės leidžia nuosekliai interpretuoti geometriją. Sujungus kelis sąlygą tenkinančius taškus tiesiomis atkarpomis, sukuriama kita aibė; glotni pagal atrinktus taškus nubraižyta kreivė yra vaizdinis artinys, o lango ribų nukirstos hiperbolės ar parabolės dalys tęsiasi už lango.

Palyginkite tikslias geometrines vietas, jų charakteristikas ir taškų patikras su apibrėžtumo sąlygomis

Pradėkite nuo pastumto penkių vienetų spindulio apskritimo. Numatykite, ar centras jam priklauso, tada palyginkite jo nulinį atstumą su ribos taško atstumu 5. Pereikite prie atvejų, kai išskyrus pilnąjį kvadratą gaunamas taškas arba tuščia aibė: ką leidžia nuliui lygi arba neigiama spindulio kvadrato reikšmė? Galiausiai pasirinkite neigiamą pradinio atstumo reikalaujamą reikšmę ir paaiškinkite, kodėl taškas gali tenkinti pakėlus kvadratu gautą sąlygą, bet netenkinti pradinės sąlygos.

Horizontaliojoje elipsėje, kurios pusašiai yra penki ir keturi, palyginkite du atstumus nuo P₁ iki židinių. Jų suma yra pastovi, nors atstumai skiriasi. Numatykite, kas nutiks, kai reikalaujama suma sumažės iki atstumo tarp židinių, tada pereikite prie šio ribinio atvejo ir patikrinkite gautos atkarpos vidinį tašką. Dar mažesnė suma sprendinių neturi. Sutampantys židiniai ir teigiama suma duoda apskritimą; sutampantys židiniai ir nulinė suma duoda vieną tašką.

Horizontaliojoje hiperbolėje, kurios pusašiai yra keturi ir trys, palyginkite dešiniajai šakai priklausantį P₁ su kairiajai šakai priklausančiu P₂. Kuris atstumų skirtumas su ženklu pasikeičia, o kurio skirtumo modulis lieka toks pats? Tada pasirinkite atvejį, kai b > a, ir patikrinkite, ar realusis pusašis būtinai turi būti didesnis. Didžiausio, per didelio ir nulinio skirtumo atvejai leidžia palyginti du išorinius spindulius, tuščią geometrinę vietą, skirtingus židinius jungiančios atkarpos vidurio statmenį ir visą plokštumą, kai židiniai sutampa.

Į kairę atsiveriančioje parabolėje sekite statmeną atkarpą nuo P₁ iki direktrisės, o ne pasvirusią tiesę iki kito jos taško. Numatykite atsivėrimo kryptį pakeitus p ženklą. Ribiniu nulinio poslinkio atveju išnagrinėkite židinio ir direktrisės sankirtą: abu atstumai lygūs nuliui, todėl lygybė galioja, bet jų santykis neapibrėžtas. Atskirame atvejyje, kai židinys yra (2, 0), o direktrisė yra x = 8, viršūnė yra (5, 0), o p = −3.

Skydelyje u žymi pastumtą koordinatę išilgai ašies, o v – statmeną jai koordinatę: u = x − h, v = y − k, kai ašis horizontali, ir u = y − k, v = x − h, kai ašis vertikali. Tikslių reikšmių lentelėse pateikiamos orientacinės geometrinės charakteristikos, neneigiami atstumai, santykiai su apibrėžtumo sąlygomis ir taškų priklausomybė, taip pat visa x reikšmių sritis, y reikšmių sritis ir parametro kitimo sritis. Vienodo vienetų mastelio koordinačių lange rodomi analitiškai apibrėžti aprėžti apskritimai ir elipsės, uždaros atkarpos ir taškinės geometrinės vietos arba nukirsti apytiksliai neaprėžtų kreivių, tiesių ir spindulių atvaizdai su tęsinį žyminčiomis rodyklėmis. Tuščios aibės ir visos plokštumos atvejai aiškiai klasifikuojami simboliais; matomi orientaciniai objektai netampa geometrinės vietos ribomis.

Tiksli taško patikra atsako, ar pasirinktas taškas priklauso nurodytai geometrinei vietai. Išsamios atstumų tapatybės ir parametrizacijos argumentai pagrindžia visą kreivę. Baigtinis rodomų atvejų skaičius ir braižymo langai iliustruoja šiuos įrodymus; jie nepakeičia bendrųjų išvadų, vardiklių apibrėžtumo sąlygų ar neaprėžtų šakų tęsinio.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Išskirkite pilnuosius kvadratus lygtyje x² + y² + 8x − 6y = 0. Raskite centrą ir spindulį bei patikrinkite, ar P = (−1, 7) ir pats centras priklauso apskritimui.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Lygtis yra (x + 4)² + (y − 3)² = 25, centras – (−4, 3), o spindulys – 5. P priklauso apskritimui; centras yra jo ribojamo skritulio viduje ir apskritimui nepriklauso.

   Išskirdami pilnuosius kvadratus, prie abiejų lygties pusių pridėkite 16 ir 9. Taško P koordinatės pastumtoje koordinačių sistemoje yra 3 ir 4, todėl 3² + 4² = 25. Centro abi koordinatės lygios nuliui, todėl gauname 0, o ne 25. Teigiama dešinioji pusė reiškia įprastą apskritimą, o jo spindulys yra teigiama kvadratinė šaknis iš dešiniosios pusės.

2. Lygtimi (x + 2)²/9 + (y − 1)²/25 = 1 apibrėžtai kreivei nustatykite centrą, didžiosios ašies kryptį, viršūnes, mažosios ašies galus, židinius, ekscentricitetą ir direktrises.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Centras (−2, 1); didžioji ašis vertikali; viršūnės (−2, −4), (−2, 6); mažosios ašies galai (−5, 1), (1, 1); židiniai (−2, −3), (−2, 5); e = 4/5; direktrisės y = −21/4 ir y = 29/4.

   Didesnis vardiklis 25 yra po Y kvadratu, todėl a = 5 ir b = 3. Tuomet c² = 25 − 9 = 16 ir c = 4. Viršūnes ir židinius raskite nuo centro pasislinkdami vertikaliai teigiama ir neigiama kryptimis, o kitus ašies galus – horizontaliai mažojo pusašio ilgiu. Abi direktrisės yra y = k ± a²/c = 1 ± 25/4. Vardiklių reikšmės yra pusašių ilgių kvadratai.

3. Lygtimi x²/4 − y²/25 = 1 apibrėžtai kreivei raskite viršūnes, židinius, ekscentricitetą ir asimptotes. Ar lygtis netinkama dėl to, kad neigiamojo nario vardiklis didesnis, ir ar taškai (0, ±5) priklauso kreivei?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Viršūnės (±2, 0); židiniai (±√29, 0); e = √29/2; asimptotės y = ±(5/2)x. Lygtis apibrėžia hiperbolę, kurios a = 2 ir b = 5. Pagalbiniai taškai (0, ±5) jai nepriklauso.

   Hiperbolei būtina a > 0 ir b > 0, bet nebūtina a > b. Teigiamas X kvadrato narys nusako šakų kryptį ir a = 2. Naudokite c² = a² + b² = 29, tuomet e = c/a > 1, o krypties koeficientai yra ±b/a. Taškuose (0, ±5) kairioji pusė lygi −1, o ne 1; šie pagalbinio stačiakampio taškai nėra ribos taškai.

4. Raskite kreivės lygtį, kai židinys yra (2, −1), o direktrisė – y = 3. Nurodykite viršūnę, p ir šakų kryptį, tada patikrinkite tašką P = (6, −1) pagal pradinius atstumus.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Viršūnė (2, 1), p = −2, lygtis (x − 2)² = −8(y − 1), šakos nukreiptos žemyn. P priklauso kreivei, nes jo atstumai iki židinio ir iki direktrisės abu lygūs 4.

   Statmens iš židinio į direktrisę pagrindas yra (2, 3), o atkarpos tarp šio taško ir židinio vidurio taškas yra (2, 1). Taigi p = −1 − 1 = −2 ir 4p = −8. Taško P atstumas iki židinio horizontalia kryptimi yra 4, o atstumas iki direktrisės yra |−1 − 3| = 4. Įstatę koordinates taip pat gauname 16 = −8(−2), o kreivė tenkina y ≤ 1.

5. Kai židinys F = (2, 0), direktrisė x = 8, o ekscentricitetas e = 1/2, išveskite taškų geometrinės vietos lygtį ir raskite jos centrą bei pusašius. Patikrinkite atstumų santykį taške P = (4, 0).

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Taškų geometrinė vieta yra x²/16 + y²/12 = 1, jos centras (0, 0), didžiojo pusašio ilgis 4, o mažojo pusašio ilgis 2√3. Taške P gauname PF = 2 ir dist(P, L) = 4, todėl santykis yra 1/2.

   Pradinė lygybė yra √((x − 2)² + y²) = |x − 8|/2. Pakėlę abi puses kvadratu ir išskleidę skliaustus, gauname (3/4)x² + y² = 12; tiesiniai nariai susiprastina. Padaliję iš 12, gauname ieškomą lygtį. Židinys nepriklauso tiesei, o abi lygybės pusės yra neneigiamos, todėl pakėlus kvadratu gauta lygtis yra lygiavertė pradinei. Pusašiai yra teigiamosios kvadratinės šaknys iš 16 ir 12, o c² = 16 − 12 = 4 atitinka duotą židinio atstumą nuo centro 2.

6. Du skirtingi židiniai yra (−3, 0) ir (3, 0). Klasifikuokite geometrines vietas, kai atstumų suma lygi 6 arba 4, o atstumų skirtumo modulis lygus 0, 6 arba 8. Taip pat klasifikuokite x² + y² = 0, x² + y² = −1 ir y² = 0, nevadindami jų įprastais kūgio pjūviais.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Suma 6: uždaroji atkarpa nuo (−3, 0) iki (3, 0); suma 4: tuščioji aibė. Skirtumo modulis 0: tiesė x = 0; skirtumo modulis 6: spinduliai y = 0, kai x ≤ −3 arba x ≥ 3; skirtumo modulis 8: tuščioji aibė. Paskutinės lygtys atitinkamai aprašo tašką (0, 0), tuščiąją realiųjų taškų aibę ir tiesę y = 0.

   Atstumas tarp židinių yra 6. Iš trikampio nelygybės išplaukia, kad suma turi būti ne mažesnė už 6, o lygybė galioja tik židinius jungiančioje atkarpoje. Atvirkštinė trikampio nelygybė apriboja skirtumo modulį dydžiu 6, o lygybė galioja dviejuose išoriniuose spinduliuose; vienodi atstumai iki židinių apibrėžia jų atkarpos vidurio statmenį. Dviejų kvadratų suma lygi nuliui tik tada, kai abu lygūs nuliui, ir negali būti neigiama. Vienintelė lygtis y² = 0 yra lygiavertė y = 0 ir neriboja x.

7. Pateikite išsamų lygties x²/9 + y²/4 = 1 trigonometrinį parametrizavimą ir dar vieną tašką su tiksliomis koordinatėmis, be keturių ašių galinių taškų. Ar sujungę šiuos keturis taškus tiesiomis atkarpomis gausime elipsę? Kodėl hiperbolės sankirtos su vaizdavimo lango kraštais nėra galiniai taškai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Naudokite x = 3cos t, y = 2sin t visoms realiosioms t reikšmėms. Dar vienas taškas yra (9/5, 8/5). Tiesios jungiamosios atkarpos nesudaro elipsės. Baigtinis vaizdavimo langas nukerpa hiperbolės vaizdą, nors jos tikrosios šakos tęsiasi neribotai.

   Įstatę išraiškas ir pritaikę cos² t + sin² t = 1, matome, kad kiekviena parametro reikšmė duoda elipsės tašką; atvirkščiai, normalizavus bet kurio elipsės taško koordinates gaunamas vienetinio apskritimo taškas, todėl jam atitinka tam tikras kampas t. Taškui (9/5, 8/5) lygtis duoda 9/25 + 16/25 = 1. Tiesios stygos tarp (3, 0) ir (0, 2) vidurio taškas (3/2, 1) duoda 1/4 + 1/4 = 1/2, todėl ši styga nėra ieškoma geometrinė vieta. Hiperbolės apimtį lemia jos tiksli koordinačių lygtis ir parametrizacija su neaprėžtomis koordinačių reikšmėmis, o ne ekrano kraštas.

Ką verta įsidėmėti

• Kūgio pjūvio geometrinė vieta apima visus taškus, tenkinančius jo apibrėžimą. Tikslūs atskirų taškų patikrinimai parodo jų priklausymą aibei; išsamūs abiejų krypčių implikacijų įrodymai ir argumentai, grindžiami parametrizavimu, nustato visą aibę.
• Apskritimo spindulys yra teigiamas, o jo lygtis – (x − h)² + (y − k)² = r². Išskyrus pilnuosius kvadratus, įprastam apskritimui gautas spindulio kvadratas turi būti teigiamas; nulis duoda tašką, o neigiama reikšmė – tuščiąją realiųjų taškų aibę.
• Elipsės, kuri nėra apskritimas, atstumų suma 2a yra didesnė už atstumą tarp židinių 2c, kur a > b > 0 ir c² = a² − b². Didesnis jos lygties vardiklis nurodo didžiosios ašies kryptį, o visų ašių ilgiai yra dvigubai didesni už atitinkamus pusašius.
• Hiperbolę apibrėžia atstumų skirtumo modulis 2a, kur 0 < a < c ir c² = a² + b². Būtinos abi šakos; teigiamas kvadratinis narys normalizuotoje lygtyje nurodo šakų atsivėrimo kryptį, o a nebūtinai turi būti didesnis už b.
• Parabolės židinys nepriklauso jos direktrisei. Nenulinis p, atsižvelgiant į jo ženklą, lemia parabolės kryptį ir židinio poslinkį, o atstumams naudojami |p| ir statmena kryptimi matuojamų koordinačių skirtumų moduliai; parabolės viršūnė nėra centras.
• Ekscentricitetas yra teigiamas atstumo iki židinio ir atstumo iki direktrisės santykis neapskritiminėje konstrukcijoje su baigtiniu atstumu esančia direktrise: elipsės e < 1, parabolės e = 1, hiperbolės e > 1. Įprastinė apskritimo vertė e = 0 atitinka sutampančių židinių ribinį atvejį, kai a²/c neduoda baigtiniu atstumu esančios direktrisės.
• Klasifikuodami ribinių atvejų duomenis, išlaikykite pradines prielaidas ir reikalavimą, kad vardikliai būtų nelygūs nuliui. Išsigimusios atkarpos, tiesės, spinduliai, taškai ir tuščiosios aibės skiriasi nuo įprastų kreivių, o iš atrinktų taškų sudaryti ar apkirpti brėžiniai skiriasi nuo pilnų tikslių geometrinių taškų vietų.