Postūmiai, posūkiai, atspindžiai ir simetrija

Transformacija – padėčių taisyklė, o ne žymenų pakeitimas

Pradėkite nuo taško (2, −1). Pastūmus jį tris vienetus į dešinę ir du vienetus aukštyn, gaunamas taškas (5, 1). Taip pat pastumkite kiekvieną trikampio tašką: trikampio forma ir dydis išlieka tokie patys, o padėtis pasikeičia. Transformacija aprašo tokį judesį viena taisykle, taikoma kiekvienam pradiniam taškui.

Dirbkite Euklido koordinačių plokštumoje, kurios ašys statmenos, abiejose ašyse naudojamas tas pats ilgio vienetas, x didėja į dešinę, o y – aukštyn. Transformacija kiekvienam taškui P priskiria atvaizdą T(P). Jei P pažymėtas raide A, jo atvaizdą galima užrašyti A′; brūkšnelis žymi atitiktį, o ne kitą taisyklę. Norėdami transformuoti figūrą F, taikykite tą pačią taisyklę kiekvienam F taškui. Jos atvaizdas T(F) yra visų šių atvaizdų aibė.

Postūmiai, posūkiai ir atspindžiai yra judesiai: jie išsaugo atstumą tarp kiekvienos taškų poros ir turi atvirkštines transformacijas. Jie perkelia figūrą nekeisdami jos formos ar dydžio. Atspindys gali pakeisti figūros orientaciją į priešingą, tačiau figūra ir jos atvaizdas vis tiek lieka lygūs. Brėžinio ištempimas arba atvaizdis, sutraukiantis plokštumą į vieną tiesę, yra transformacija, tačiau ji neturi šių atstumą išsaugančių savybių.

Apibrėžkite ne tik taisyklę, bet ir figūrą. Daugiakampio kontūrą sudaro jo viršūnės ir kiekvienas paeiliui einančių kraštinių atkarpų taškas, įskaitant kontūrą uždarančią kraštinę. Apskritimas yra visa taškų, nutolusių nuo jo centro nustatytu teigiamu atstumu, aibė; keturi pažymėti taškai tėra pavyzdžiai. Jei figūrai priklauso ir užpildyta sritis, jos vidaus taškai taip pat turi būti transformuojami. Dekoratyviniai elementai ar žymenys laikomi figūros dalimi tik tada, kai jie įtraukti į uždavinio sąlygą.

Postūmis visur prideda tą patį kryptinį pokytį

Atlikus ką tik aprašytą postūmį, (2, −1) tampa (2 + 3, −1 + 2) = (5, 1). Taškas (0, 0), pritaikius tuos pačius pokyčius, taptų tašku (3, 2). Sutvarkytoji pora (3, 2) yra postūmio vektorius: jis nurodo, kiek ir kuria kryptimi pasikeičia kiekviena koordinatė.

Lygiagretusis postūmis vektoriumi v = (a, b) kiekvieną tašką (x, y) perkelia į tašką (x + a, y + b). Pirmoji komponentė nusako horizontalųjį pokytį ir jo kryptį, o antroji – vertikalųjį pokytį ir jo kryptį, matuojant pasirinktu ilgio vienetu. Teigiama a reikšmė reiškia postūmį į dešinę, neigiama – į kairę, o kai a lygi nuliui, horizontalaus pokyčio nėra; b analogiškai nusako judėjimą aukštyn ir žemyn. Komponentės gali būti neigiamos, lygios nuliui, trupmeninės ar bet kokios realiosios vertės. Jos nėra laikomos teigiamais kraštinių ilgiais.

Prie bet kurių dviejų taškų koordinačių pridėjus tas pačias a ir b reikšmes, jos panaikinamos atimant atitinkamas koordinates. Horizontalusis ir vertikalusis koordinačių skirtumai nepasikeičia, todėl atstumo tarp taškų kvadratas lieka Δx² + Δy². Kiekvieno taško poslinkio ilgis yra √(a² + b²) – neneigiamas ilgis. Kai v = (0, 0), šis atstumas lygus nuliui, o postūmis yra tapatusis atvaizdis: kiekvienas taškas lieka ten, kur buvo. Nuliniam vektoriui nereikia priskirti krypties.

Atvirkštinis postūmis atliekamas vektoriumi −v = (−a, −b), nes pridėjus ir paskui atėmus tas pačias komponentes atkuriama kiekviena koordinatė. Nenulinis postūmis neturi fiksuotojo taško: iš x + a = x ir y + b = y būtinai sektų a = b = 0. Čia kalbama apie vieną vietoje liekantį tašką; ar visa figūra atvaizduojama į save, yra atskiras klausimas.

Prieš pasukdami ketvirtį apsisukimo atimkite centro koordinates, tada jas vėl pridėkite

Pasirinkite centrą (1, 1) ir pradinį tašką (3, 1), esantį dviem vienetais į dešinę nuo jo. Pasukus ketvirtį apsisukimo prieš laikrodžio rodyklę, šis spindulys nukreipiamas aukštyn, todėl taškas atsiduria (1, 3). Centras lieka vietoje. Vietoj jo pasirinkus koordinačių pradžią, būtų sukama apie kitą tašką ir gautas kitas atvaizdas.

Posūkiui reikia centro C ir orientuotojo kampo θ. Teigiamus kampus skaičiuojame prieš laikrodžio rodyklę, o neigiamus – pagal laikrodžio rodyklę. Centras lieka nejudantis. Kiekvienas kitas taškas P perkeliamas į tašką P′ taip, kad CP′ = CP, o spindulys CP pasukamas kampu θ į spindulį CP′. Pasukus 360°, gaunama ta pati padėtis kaip ir pasukus 0°, nors posūkių užrašai skiriasi. Posūkis apie kitą centrą paprastai duoda kitą transformaciją.

Kai C = (h, k), pirmiausia išreikškite taško P koordinates centro C atžvilgiu: u = x − h ir v = y − k. Posūkis ketvirčiu apsisukimo prieš laikrodžio rodyklę teigiamą horizontaliąją kryptį pakeičia į teigiamą vertikaliąją, o teigiamą vertikaliąją – į neigiamą horizontaliąją. Todėl santykinių koordinačių taisyklė yra (u, v) ↦ (−v, u). Pasukus pusę apsisukimo, gaunama (−u, −v), o pasukus tris ketvirčius apsisukimo prieš laikrodžio rodyklę – (v, −u). Galiausiai pridėkite (h, k), kad gautumėte absoliučiąsias atvaizdo koordinates.

Šios taisyklės remiasi tiksliomis statmenomis kryptimis, o ne trigonometriniu skaičiavimu dešimtainiais skaičiais. Sukant 90° kampu apie tašką (1, 1), taško (3, 1) santykinės koordinatės yra (2, 0). Jos tampa (0, 2), todėl šio taško atvaizdas yra (1, 3). Tiesiogiai pritaikius sukimo apie koordinačių pradžią taisyklę, būtų gautas taškas (−1, 3) – atvaizdas, gaunamas atliekant kitą posūkį. Paties centro santykinės koordinatės yra (0, 0), todėl kiekviena iš pateiktų taisyklių palieka jį nepakitusį.

Sukant ketvirčiais apsisukimo, pridėjus arba atėmus pilnus apsisukimus, taškų atvaizdžiai nesikeičia. Visų pirma, −90° ir 270° posūkiai duoda tuos pačius atvaizdžius. Atliekant du posūkius apie tą patį centrą, jų orientuotieji kampai sudedami; tai matyti sekant kiekvieno spindulio posūkį, kai sukimosi spindulys nekinta. Šis teiginys neleidžia nepaisyti dviejų skirtingų posūkių centrų.

Simetrijos ašies taškai nekinta, o kitų taškų ir jų atvaizdų atkarpas ji dalija pusiau

Naudok vertikaliąją simetrijos ašį x = 1. Taškas (2, 1) yra vienu vienetu į dešinę nuo jos, todėl jo atvaizdas yra (0, 1), vienu vienetu į kairę nuo jos. Juos jungianti atkarpa yra horizontali, statmena simetrijos ašiai, o jos vidurio taškas (1, 1) priklauso simetrijos ašiai. Šios savybės apibrėžia simetrišką taško atvaizdą.

Ašinę simetriją nusako visa tiesė ℓ. Tiesei ℓ priklausantis taškas P lieka savo vietoje. Iš tiesei ℓ nepriklausančio taško nuleisk statmenį į ℓ taške H ir pratęsk jį per H į kitą pusę, pažymėdamas tašką P′ taip, kad HP′ = HP. Taigi H yra atkarpos PP′ vidurio taškas, o ℓ – jos vidurio statmuo. Vien sąlygą, kad atstumas iki tiesės būtų vienodas, tenkintų daug taškų; atvaizdą apibrėžia statmena kryptis ir sąlyga, kad jis būtų kitoje tiesės pusėje.

Atspindint vertikaliosios ašies x = c atžvilgiu, keičiasi tik horizontalioji koordinatė: x′ = 2c − x ir y′ = y. Atkarpos vidurio taško horizontalioji koordinatė yra c, o PP′ yra horizontali, kai P nepriklauso atspindžio ašiai. Atspindint horizontaliosios ašies y = c atžvilgiu, analogiškai gaunama (x, 2c − y). Šios formulės tinka ir tiesei priklausantiems taškams: jos grąžina pradinį tašką, ir neteigiama, kad egzistuoja teigiamo ilgio atkarpa ar vienintelis nulinio ilgio atkarpos vidurio statmuo.

Atspindint tiesės y = x atžvilgiu, abi koordinatės sukeičiamos vietomis; atspindint tiesės y = −x atžvilgiu, jos sukeičiamos vietomis ir pakeičiami abiejų ženklai. Bendresniu atveju atspindys tiesės y = x + c atžvilgiu tašką (x, y) atvaizduoja į (y − c, x + c). Tikrinant šią paskutinę taisyklę, atkarpos vidurio taško koordinatės yra ((x + y − c)/2, (x + y + c)/2), o jo vertikalioji koordinatė yra c didesnė už horizontaliąją. Jei taškas nepriklauso tiesei, jį ir jo atvaizdą jungiančios atkarpos galų koordinačių skirtumai yra vienodo modulio ir priešingų ženklų, todėl atkarpa statmena atspindžio ašies krypčiai, kuria abi koordinatės kinta vienodai. Taigi vidurio taško ir statmenumo sąlygos apibrėžia nurodytą atspindį.

Visa atspindžio ašies tiesė yra nejudamųjų taškų aibė. Du kartus atspindėjus tos pačios tiesės atžvilgiu, kiekvienas taškas grįžta į pradinę padėtį: tiesei nepriklausančių taškų pora vėl sukeičiama vietomis, o kiekvienas tiesei priklausantis taškas jau buvo nejudamasis. Brėžinio krašte nubrėžta tiesė savaime nėra atspindžio ašis. Jos lygtis arba geometrinis apibrėžimas turi nurodyti, kuri visa tiesė turima omenyje.

Atstumų tarp taškų išsaugojimas paaiškina figūrų lygumą

Atstumo apskaičiavimo pagal koordinates formulė leidžia tiksliai patikrinti išvardytas transformacijas. Lygiagretusis postūmis nekeičia abiejų koordinačių skirtumų. Posūkis ketvirčiu apsisukimo sukeičia šiuos skirtumus vietomis ir gali pakeisti jų ženklus, o išvardyti atspindžiai atitinkamai sukeičia skirtumus arba pakeičia jų ženklus; visi pastovūs poslinkiai atimant panaikinami. Visais atvejais suma Δx² + Δy² lieka nepakitusi. Šis įrodymas apima kiekvieną taškų su realiosiomis koordinatėmis porą, įskaitant sutampančius taškus ir nulines dedamąsias, o ne tik konkretaus trikampio tris kraštines.

Geometriniai apibrėžimai duoda tą patį rezultatą ir neapsiribojant posūkiais ketvirčiu apsisukimo. Posūkis išsaugo kiekvieną atstumą iki savo centro ir įprastą kampą tarp bet kurių dviejų ne vienoje tiesėje esančių iš centro išeinančių spindulių, todėl pagal dviejų kraštinių ir kampo tarp jų požymį (SAS) atstumas tarp jų galinių taškų išlieka toks pat. Jei centras ir galiniai taškai yra vienoje tiesėje, galiniai taškai lieka tame pačiame arba priešinguose spinduliuose, o atstumas tarp jų išlieka nepakitusių spindulių ilgių skirtumas arba suma. Jei vienas galinis taškas sutampa su centru, atstumas iki jo lygus kito spindulio ilgiui. Atspindžiui parinkime statmenas koordinačių ašis išilgai atspindžio ašies ir skersai jos; išilginė koordinatė lieka ta pati, o skersinė koordinatė pakeičia ženklą, todėl koordinačių skirtumų kvadratai išlieka nepakitę.

Neišsigimusio trikampio visų trijų kraštinių ilgių išsaugojimas užtikrina trikampių lygumą pagal tris kraštines (SSS), todėl atitinkami vidaus kampai yra lygūs. Ištiestiniai ir statieji kampai taip pat išsaugomi: tiesės atvaizduojamos į tieses, incidencijos ryšiai išlieka tie patys, o gretimi neišsigimę kampai yra lygūs. Todėl atitinkamų atkarpų ilgiai, daugiakampių perimetrai ir trikampių plotai yra lygūs. Išskaidžius iškilųjį daugiakampį į trikampius, gaunamas toks pat daugiakampio plotas. Posūkis arba lygiagretusis postūmis išsaugo ribos apėjimo kryptį – pagal laikrodžio rodyklę arba prieš ją; vienas atspindys pakeičia šią kryptį į priešingą, nekeisdamas įprastų kampų dydžių ar ploto.

Lygios figūros gali būti skirtingose vietose arba skirtingai orientuotos. Lygumas nereikalauja, kad atvaizdas sutaptų su pradine taškų aibe ar kad kiekvienas taškas liktų savo vietoje. Atskirkite tris teiginius: transformacija išsaugo atstumus, pradinė figūra ir jos atvaizdas yra lygūs, o ši transformacija yra pradinės figūros simetrija. Pirmieji du teiginiai galioja visiems čia aptariamiems judesiams; trečiajam reikia patikrinti visą figūrą.

Atšaukite transformaciją ir atskirkite nejudamuosius taškus nuo pasikartojančių padėčių

Atvirkštinė transformacija panaikina transformacijos poveikį kiekvienam taškui. Lygiagrečiajam postūmiui vektoriumi (a, b) atvirkštinė transformacija yra lygiagretusis postūmis vektoriumi (−a, −b). Posūkiui kampu θ apie centrą C atvirkštinė transformacija yra posūkis kampu −θ apie tą patį centrą C. Atspindys tiesės atžvilgiu yra pats sau atvirkštinis. Simboliais: T⁻¹(T(P)) = P ir T(T⁻¹(P)) = P. Šios dvi tapatybės užtikrina, kad skirtingų taškų atvaizdžiai yra skirtingi ir kad kiekvienas taškas tikslinėje aibėje turi pirmavaizdį.

Tapatioji transformacija palieka nejudamus visus plokštumos taškus. Nenulinis lygiagretusis postūmis neturi nė vieno nejudamojo taško. Sukant 90°, 180° arba 270° kampu, vienintelis nejudamasis taškas yra posūkio centras: išsprendę lentelėje pateiktas santykinių koordinačių lygtis, gauname u = v = 0. Šios išvados negalima taikyti posūkiui 0° kampu ar visu apsisukimu, nes jie palieka nejudamus visus taškus. Atspindys tiesės atžvilgiu palieka nejudamus visus tos tiesės taškus ir nė vieno jai nepriklausančio taško.

Kad taškas sugrįžtų į pradinę padėtį po kelių transformacijos taikymų, jis nebūtinai turi būti nejudamas pritaikius transformaciją vieną kartą. Keturi posūkiai 90° kampu apie tą patį centrą sudaro tapačiąją transformaciją, todėl visi taškai sugrįžta po keturių taikymų. Du atspindžiai tos pačios tiesės atžvilgiu taip pat sudaro tapačiąją transformaciją. Kvadratas gali sutapti su savimi jau po vieno ketvirčio apsisukimo, nors visos jo viršūnės persikelia į kitų viršūnių vietas. Taškų aibės sugrįžimas į pradinę padėtį ir kiekvieno pažymėto taško nejudamumas yra skirtingi reikalavimai.

Antroji taisyklė taikoma pirmajam atvaizdžiui

Pradėkite taške (2, 0). Pastumkite jį vienu vienetu į dešinę iki (3, 0), tada pasukite ketvirtį apsisukimo prieš laikrodžio rodyklę apie koordinačių pradžią ir gausite (0, 3). Sukeiskite veiksmų tvarką: pirmiausia pasukite iki (0, 2), tada pastumkite vienu vienetu į dešinę ir gausite (1, 2). Tie patys du nurodymai gali lemti skirtingas galutines padėtis.

Transformacijų kompozicija reiškia jų taikymą paeiliui. Rašome U ∘ T, kai pirmiausia taikome T, o tada U, taigi (U ∘ T)(P) = U(T(P)). Pirmąjį atvaizdį įstatykite į antrąją taisyklę. Pagal šį žymėjimą pirmiausia taikoma dešiniausiai užrašyta taisyklė. Jei uždavinyje veiksmų tvarka nusakyta žodžiais, vadovaukitės jais ir prieš skaičiuodami užrašykite taikomą žymėjimo susitarimą.

Veiksmų tvarka gali pakeisti rezultatą. Tegul T yra lygiagretusis postūmis vektoriumi (1, 0), o R – posūkis 90° kampu apie koordinačių pradžią. Pradėję taške (2, 0) ir pirmiausia pritaikę T, o tada R, gauname (3, 0), o paskui (0, 3). Pirmiausia pritaikę R, o tada T, gauname (0, 2), o paskui (1, 2). Skirtingi atvaizdžiai rodo, kad šios dvi plokštumos transformacijos nekomutuoja. Brėžinys, kuriame pavaizduota tik galutinė figūra, gali slėpti šį skirtumą, jei figūra turi simetriją; pažymėtas taškas jį vis tiek parodo.

Kai kurios transformacijos komutuoja. Lygiagretieji postūmiai vektoriais v ir w, taikomi bet kuria tvarka, prideda tą patį bendrą vektorių v + w. Posūkiai apie tą patį centrą sudeda orientuotuosius kampus bet kuria tvarka. Nė vienas iš šių faktų neleidžia sukeisti bet kokių posūkių, atspindžių ar lygiagrečiųjų postūmių tvarkos. Pavyzdžiui, du atspindžiai tos pačios tiesės atžvilgiu sudaro tapačiąją transformaciją, o atspindžiai skirtingų tiesių atžvilgiu gali sukelti kitokį judėjimą.

Transformacijų seką atšaukite atvirkštine tvarka: kompozicijai U ∘ T atvirkštinė transformacija yra T⁻¹ ∘ U⁻¹. Pradėjus nuo U(T(P)), pirmiausia U⁻¹ grąžina T(P), o tada T⁻¹ grąžina P. Palikus tą pačią užrašymo tvarką ir pakeitus taisykles atvirkštinėmis, paprastai būtų atšaukta ne ta seka. Sudarant atvirkštinę transformaciją, būtina išlaikyti kiekvienos taisyklės pradinį centrą, atspindžio tiesę ar vektorių.

Simetrijai būtina, kad atvaizdis sutaptų su visa pradine figūra

Pasukite kvadratą apie jo centrą ketvirtį apsisukimo: jo viršūnės pajuda, bet visas kontūras lieka toje pačioje vietoje. Taip pat pasukite apie jo centrą stačiakampį, kuris nėra kvadratas. Atvaizdis tebėra tokio paties dydžio ir formos, tačiau jo kontūras yra kitoje vietoje. Nagrinėjant simetriją klausiama, ar visa pradinė figūra sugrįžta į pradinę padėtį, o ne vien ar išlieka jos forma.

Judesys yra figūros F simetrija, kai T(F) = F kaip taškų aibės. Jis gali sukeisti viršūnes ar kraštines, o ne palikti kiekvieną iš jų savo vietoje. Tapatioji transformacija visada tenkina šią lygybę; kalbėdami apie netrivialią simetriją, plokštumos tapačiosios transformacijos neįtraukiame. Simetrijos ašis yra tiesė, kurios atžvilgiu atspindėjus visą figūrą gaunama ta pati figūra. Sukamąją simetriją nusako centras ir posūkis, kuriam būdinga tokia pati visos figūros savybė.

Kvadrato, kurio centras yra koordinačių pradžioje, o viršūnės, išvardytos einant jo kontūru, yra (−1, −1), (1, −1), (1, 1) ir (−1, 1), posūkis 90° kampu apie koordinačių pradžią cikliškai perkelia šias keturias viršūnes ir prie jų esančias kraštines. Stačiakampio, kuris nėra kvadratas ir kurio viršūnės yra (−2, −1), (2, −1), (2, 1) ir (−2, 1), posūkis 180° kampu sukeičia priešingas viršūnes ir kraštines. Posūkis 90° kampu netinka: (2, 1) virstų tašku (−1, 2), kuris nepriklauso stačiakampio kontūrui. Stačiakampio atvaizdas vis tiek yra jam kongruentus, tačiau šis ketvirčio apsisukimo posūkis nėra nurodyto stačiakampio simetrija.

Lygiašonis trikampis, kurio viršūnės yra (−1, 0), (1, 0) ir (0, 2), turi atspindžio simetriją tiesės x = 0 atžvilgiu: jo pagrindo galai sukeičiami, viršūnė prieš pagrindą lieka savo vietoje, o kraštinės tinkamai suporuojamos. Įvairiakraštis trikampis negali turėti atspindžio simetrijos: atspindžio sukelta viršūnių perstata turi sukeisti dvi viršūnes ir palikti trečiąją savo vietoje, nes pakartojus atspindį gaunama tapatioji transformacija, o trys vienoje tiesėje negulinčios viršūnės negali visos būti atspindžio ašyje. Kadangi atstumai išsaugomi, dvi kraštinės, einančios iš savo vietoje likusios viršūnės, turėtų būti lygios, o tai prieštarauja įvairiakraščio trikampio kraštinių ilgiams. Svarbi ir atspindžio ašies padėtis. Atspindėjus kvadratą, kurio centras yra koordinačių pradžioje, tiesės x = 1 atžvilgiu, taškas (−1, −1) perkeliamas į (3, −1), todėl tai nėra simetrija, nors atvaizdas lieka kongruentus pradinei figūrai.

Jei figūros sukamosios simetrijos eilė yra baigtinė, suskaičiuokite skirtingus posūkius apie nurodytą centrą, kurių kampai yra nuo 0° iki 360°, pastarojo kampo neįtraukiant, bet įtraukiant tapačiąją transformaciją. Kvadrato sukamosios simetrijos eilė yra 4: 0°, 90°, 180° ir 270°. Joks kitas kampas netinka, nes bet kurios viršūnės atvaizdas turi būti viena iš keturių vienodai nuo centro nutolusių viršūnių, o į jas nukreiptus spindulius skiria būtent šie ketvirčio apsisukimo posūkiai. Stačiakampio, kuris nėra kvadratas ir kurio centras yra koordinačių pradžioje, sukamosios simetrijos eilė yra 2. Jo ilgosios horizontalios kraštinės turi būti atvaizduotos į ilgąsias horizontalias kraštines, todėl posūkis turi išsaugoti horizontalios tiesės kryptį; vadinasi, jo kampas turi būti 0° arba 180° pilno apsisukimo moduliu. Abu kampai tinka. Apskritimui reikia kitokio, visus apskritimo taškus apimančio argumento.

Tikslus baigtinis daugiakampio sertifikatas apima jungiamąsias atkarpas

Aprašydami paprastojo daugiakampio kontūrą, išvardykite visas viršūnes jų eilės kontūre tvarka ir visas iš eilės einančias kraštines, įskaitant uždaromąją kraštinę. Norėdami įrodyti siūlomą izometrinę simetriją, pirmiausia parodykite, kad viršūnių atvaizdai sudaro bijekciją su pradinėmis viršūnėmis. Tada patikrinkite gretimumą: kiekvienos pradinės kraštinės atvaizdas turi būti tikra kontūro kraštinė, jungianti abiejų jos galų atvaizdus. Atspindys gali pakeisti orientaciją į priešingą, todėl kraštinė yra ta pati atkarpa nepriklausomai nuo jos galų tvarkos. Vien pasirinktų žymėtų taškų perstatymo nepakanka, jei neatsižvelgiama į juos jungiančias atkarpas.

Kodėl šis baigtinis sertifikatas apima tolydžias kraštines? Taikant čia pateiktas koordinačių transformavimo taisykles, atkarpos AB tašką galima užrašyti A + t(B − A), kur 0 ≤ t ≤ 1, o koordinačių poros sudedamos ir dauginamos komponentais. Tiesiogiai įstačius į poslinkio, ketvirčio apsisukimo ar vieną iš pateiktų atspindžio taisyklių, gaunama T(A + t(B − A)) = T(A) + t(T(B) − T(A)). Taigi kiekvienas AB taškas atvaizduojamas į atitinkamą atvaizdo atkarpą, o kiekvienas tos atkarpos taškas gaunamas naudojant tą pačią parametro t reikšmę. Ši tapatybė galioja visoms intervalo t reikšmėms, o ne vien skaitinei imčiai.

Taigi viršūnių bijekcija, išsauganti visas iš eilės einančias kraštines, atvaizduoja visą kontūrą į jį patį. Čia naudojamų iškiliųjų daugiakampių su vidine sritimi atveju apimamas ir vidus: kiekvienas uždarosios srities taškas yra jos viršūnių iškilasis derinys, t. y. svertinė koordinačių suma su neneigiamais svoriais, kurių suma lygi vienetui. Ta pati koordinačių pakeitimo taisyklė atvaizduoja jį į atitinkamą svertinę viršūnių atvaizdų sumą. Atvirkštinė transformacija užtikrina atvirkštinį įtraukimą, todėl sutampa ir visa sritis su vidumi.

Siūlomai simetrijai paneigti pakanka vieno tikslaus kontrpavyzdžio: raskite figūros tašką, kurio atvaizdas nepriklauso tai figūrai. Simetrijai įrodyti nepakanka patikrinti vieną tašką ar kelis atkarpų vidurio taškus. Pateiktas sąrašas tampa įrodymu tik tada, kai apima visas būtinas baigtinio rinkinio viršūnes ir kraštines ir pateikiamas argumentas, galiojantis kiekvienam jų taškui. Tokios kreivės kaip apskritimas atveju baigtinis pažymėtų kontūro taškų sąrašas neapima viso kontūro.

Apskritimo apibrėžimas leidžia įrodyti viso kontūro simetriją

Tegu F yra apskritimas, kurio centras O, o spindulys r > 0: F sudaro visi ir tik tie taškai P, kuriems OP = r. Atliekant bet kokį posūkį apie O, centras lieka vietoje, o atstumai išlieka nepakitę. Todėl kiekvienam F taškui P galioja OP′ = OP = r, taigi kiekvieno taško atvaizdas priklauso pradiniam apskritimui. Atvirkštinis posūkis turi tą pačią savybę, todėl kiekvienas pradinio apskritimo taškas taip pat yra atvaizdas. Abi įtrauktys įrodo, kad T(F) = F visam apskritimui.

Atspindys bet kurios tiesės, einančios per O, atžvilgiu taip pat palieka O vietoje ir išsaugo atstumus; taikant tą patį argumentą ir atvirkštine transformacija laikant patį atspindį, įrodoma viso apskritimo simetrija. Galimų posūkio kampų ir tokių simetrijos ašių yra be galo daug. Keturi pasirinkti kontūro taškai, laikomi baigtine taškų aibe, gali turėti tik ketvirtosios eilės sukimosi simetriją, tačiau tai yra kita figūra nei visas apskritimas, kuriam jie priklauso. Vis dėlto konkretus 90° posūkis, pritaikytas keturis kartus, grąžina kiekvieną tašką į pradinę vietą.

Lygiagretusis postūmis pakeičia apskritimo centrą, bet išsaugo jo spindulį, todėl gaunamas pradinei figūrai lygus apskritimas. Vienetinio apskritimo, kurio centras yra koordinačių pradžioje, postūmis vektoriumi (1, 0) perkelia tašką (1, 0) į (2, 0); jo atstumas iki pradinio centro tampa 2, o ne 1. Taigi šis postūmis nėra simetrija. Tai neprieštarauja tam, kad postūmis išsaugo atstumus: atstumas iki perkelto centro (1, 0) lieka 1. Visada lyginkite atstumą iki centro tos figūros, kurios simetrija teigiama.

Apskritimą apibrėžianti lygtis, atstumų išsaugojimas ir atvirkštinė transformacija įrodo daugiau nei nubraižytas lankas, kuris atrodo sutampantis su pradiniu. Sertifikatui naudokite tikslias koordinates ir spindulius. Padėtys ekrane ir linijų storis šiuos dydžius perteikia apytiksliai, todėl nei mažas regimas tarpas, nei beveik sutampantys vaizdai neleidžia nuspręsti, ar tai viso apskritimo simetrija.

Palyginkite tikslias atvaizdavimo taisykles ir išsamius simetrijos sertifikatus

Interaktyviojoje tyrinėjimo priemonėje yra keturios scenos, kiekvienoje po aštuonis pasirinkimus, taigi iš viso 32 tikslių atvejų. Postūmio, posūkio ir atspindžio scenose naudojamas trikampis P = (0, 0), Q = (2, 0), R = (0, 1). Atstumų tarp jo taškų porų kvadratai yra PQ² = 4, PR² = 1 ir QR² = 5. Valdikliais galima pasirinkti teigiamas, neigiamas, nulines ir trupmenines postūmio vektoriaus komponentes, ketvirčio apsisukimo posūkius apie kelis centrus ir vertikalias, horizontalias bei įstrižas simetrijos ašis su poslinkiais. Koordinačių sertifikate užrašoma nurodyta taisyklė ir atitinkami taškų atvaizdai.

Vadovaukitės iš tikrųjų pasirinktu centru arba simetrijos ašimi. Nulinis postūmis ir nulinis posūkis palieka kiekvieną tašką vietoje; nenulinis ketvirčio apsisukimo posūkis palieka vietoje savo centrą, o atspindys – visą savo simetrijos ašį. Tyrinėjimo priemonėje posūkio centras žymimas C₀, kad būtų atskirtas nuo bet kurios daugiakampio viršūnės, pažymėtos C. Paveiksle pažymėtas centras arba simetrijos ašis yra transformacijos aprašo dalis, o ne papildoma trikampio viršūnė. Išlikę atstumai tarp taškų porų iliustruoja bendrąjį algebrinį įrodymą, o atvirkštinė transformacija patvirtina, kaip atvaizdas grąžinamas į pradinę figūrą.

Simetrijos scenoje tikrinami kvadratas, stačiakampis, kuris nėra kvadratas, lygiašonis ir įvairiakraštis trikampiai bei apskritimas. Teigiama išvada apie daugiakampio simetriją turi apimti visų viršūnių ir visų kontūro kraštinių atitiktį; neigiamai išvadai gali pakakti nurodyti viršūnę, nepriklausančią pradinei figūrai. Išvada apie apskritimą grindžiama išsamiu argumentu apie spindulį ir atstumą, o ne jo pažymėtų taškų laikymu daugiakampiu. Pagal šias standžiųjų transformacijų taisykles visi atvaizdai lieka lygūs pradinėms figūroms, net ir pasirinkus transformacijas, kurios nėra simetrijos.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Lygiagretusis postūmis atvaizduoja A = (−2, 3) į A′ = (1, −1). Raskite jo vektorių ir taško B = (1/2, 2) atvaizdą, tada nurodykite atvirkštinį postūmį. Ar neigiamos komponentės yra netinkamos ilgio reikšmės?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vektorius yra (3, −4), B′ = (7/2, −2), o atvirkštinio postūmio vektorius yra (−3, 4). Neigiamos komponentės yra leistini kryptį nusakantys pokyčiai.

   Iš atvaizdo koordinačių atimkite pradines koordinates: (1 − (−2), −1 − 3) = (3, −4). Taškui B pritaikykite tą patį pokytį. Poslinkio ilgis yra √(3² + (−4)²) = 5 vienetų ir yra teigiamas; neigiama komponentė nurodo kryptį, o ne neigiamą fizinį ilgį.

2. Pasukite P = (3/2, 3/2) kampu 270° prieš laikrodžio rodyklę apie tašką C = (1/2, −1/2). Raskite P′, palyginkite šį rezultatą su posūkiu kampu −90° ir patikrinkite atstumą iki centro bei atvirkštinį posūkį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   P′ = (5/2, −3/2). Posūkis kampu −90° apie tą patį centrą duoda tą patį tašką. Abiejų atstumų iki centro kvadratai yra 5; atvirkštinis posūkis yra posūkis kampu 90° apie C.

   Santykinių koordinačių pora yra (1, 2). Taikant 270° posūkio taisyklę gaunama (2, −1), o pridėjus C koordinates – (5/2, −3/2). Pradinio taško ir jo atvaizdo santykinių koordinačių kvadratų sumos yra 1² + 2² = 5 ir 2² + (−1)² = 5. Pritaikius atvirkštinę santykinių koordinačių taisyklę (u, v) ↦ (−v, u), vėl gaunama (1, 2).

3. Atspindėkite tašką P = (2, −1) tiesės y = x + 1/2 atžvilgiu. Raskite P′ ir atkarpos PP′ vidurio tašką bei paaiškinkite, kodėl simetrijos ašis yra šios atkarpos vidurio statmuo. Patikrinkite, kas gaunama atspindėjus dar kartą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   P′ = (−3/2, 5/2); vidurio taškas yra (1/4, 3/4). Simetrijos ašis eina per šį vidurio tašką ir yra statmena PP′. Atspindėjus dar kartą, vėl gaunama (2, −1).

   Taikykite (x, y) ↦ (y − 1/2, x + 1/2). Vidurio taško koordinatės tenkina lygybę 3/4 = 1/4 + 1/2. Tiesėje nesančius taškus jungiančios atkarpos koordinačių pokyčiai yra (−7/2, 7/2), todėl jos kryptis, kurios koordinatės yra vienodo modulio ir priešingų ženklų, yra statmena simetrijos ašies krypčiai, kurios koordinatės vienodos. Dar kartą pritaikius taisyklę, gaunama (5/2 − 1/2, −3/2 + 1/2) = (2, −1).

4. Nurodykite visą nejudamųjų taškų aibę kiekvienai transformacijai: lygiagrečiajam postūmiui vektoriumi (−2, 1), lygiagrečiajam postūmiui vektoriumi (0, 0), posūkiui 180° kampu apie tašką (−2, 1) ir atspindžiui tiesės x = 1/2 atžvilgiu. Kurie taškai lieka nejudamieji du kartus pritaikius tą patį atspindį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamai: nė vienas taškas; visa plokštuma; tik (−2, 1); kiekvienas taškas (1/2, y), kur y yra realusis skaičius. Po dviejų vienodų atspindžių visi plokštumos taškai lieka nejudamieji.

   Kad postūmis nekeistų taško, jo vektorius turi būti nulinis. Posūkio pusę apsisukimo santykinių koordinačių lygybės (−u, −v) = (u, v) reikalauja, kad u = v = 0. Iš atspindžio lygties 1 − x = x gaunama x = 1/2, o y neapribojamas. Atspindys kiekvieną tiesėje nesančių taškų porą sukeičia vietomis du kartus, o kiekvienas tiesėje esantis taškas visą laiką lieka nejudamasis, todėl atspindžio kvadratas yra tapatioji transformacija.

5. Tegu T yra lygiagretusis postūmis vektoriumi (1, 0), o R – posūkis 90° kampu prieš laikrodžio rodyklę apie koordinačių pradžią. Apskaičiuokite (R ∘ T)(2, 0) ir (T ∘ R)(2, 0). Nurodykite bendrąją R ∘ T atvirkštinės transformacijos formulę ir ja atkurkite pradinį tašką iš pirmojo rezultato.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atvaizdai yra (0, 3) ir (1, 2). Atvaizdui (u, v) atvirkštinė R ∘ T transformacija yra (v − 1, −u); ji gaunama pasukant pagal laikrodžio rodyklę ir tada atliekant lygiagretųjį postūmį vektoriumi (−1, 0). Ji grąžina (0, 3) į (2, 0).

   R(T(x, y)) = (−y, x + 1), o T(R(x, y)) = (1 − y, x). Norint panaikinti pirmosios transformacijų sekos poveikį, pirmiausia R⁻¹ atvaizduoja (u, v) į (v, −u), tada T⁻¹ duoda (v − 1, −u). Įstačius reikšmes atkuriamos abi kiekvieno pradinio taško koordinatės, ne tik pateikto pavyzdžio.

6. Stačiakampio viršūnės, išvardytos einant jo kontūru, yra (−2, −1), (2, −1), (2, 1), (−2, 1). Patikrinkite, ar posūkiai 90° ir 180° kampais apie koordinačių pradžią yra simetrijos, įvertindami ir visas jo kraštinių atkarpas. Ar atspindys tiesės x = 1 atžvilgiu būtų kvadrato, kurio centras yra koordinačių pradžioje, o viršūnės (±1, ±1), simetrija?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Stačiakampio posūkis 90° kampu nėra simetrija, o posūkis 180° kampu yra viso jo kontūro simetrija. Siūlomas kvadrato atspindys taip pat nėra simetrija.

   Pasukus 90° kampu, taškas (2, 1) pereina į tašką (−1, 2), esantį už stačiakampio ribos. Pasukimas 180° kampu, (x, y) ↦ (−x, −y), sukeičia priešingas viršūnes ir kiekvieną kraštinę atvaizduoja į priešingą kraštinę; atkarpos parametrizavimo tapatybė apima visus kraštinių taškus. Kvadrato taškas (−1, −1) pereina į tašką (3, −1), esantį už kvadrato ribų. Visos taip gautos figūros išlieka kongruenčios pradinėms figūroms.

7. Apskritimo centras yra C = (1, −1), o spindulys – 2. Įrodykite, kad pasukimas 90° kampu apie C yra viso apskritimo simetrijos transformacija. Patikrinkite lygiagretųjį postūmį vektoriumi (1, 0) ir paaiškinkite, kodėl kongruentumas ir keli pažymėti taškai neleidžia nustatyti simetrijos.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Šis pasukimas yra viso apskritimo simetrijos transformacija, o lygiagretusis postūmis vektoriumi (1, 0) – ne. Pastumtas apskritimas yra kongruentus pradiniam, bet jo centras yra (2, −1).

   Kiekvienam taškui P, kuriam CP = 2, pasukimas palieka C nejudantį ir duoda CP′ = 2. Atvirkštinis pasukimas užtikrina, kad kiekvienas pradinio apskritimo taškas yra atvaizdas, ir taip įrodoma abiejų pilnų taškų aibių lygybė. Lygiagretusis postūmis pradinio apskritimo tašką (3, −1) perkelia į tašką (4, −1), kurio atstumas nuo C yra 3, todėl šis postūmis nėra simetrijos transformacija. Baigtinis pažymėtų taškų sąrašas nei apibrėžia apskritimą, nei apima visus jo taškus.

Ką verta įsidėmėti

• Apibrėžkite transformaciją viena taisykle, taikoma kiekvienam taškui, ir nurodykite, ar figūra reiškia ribą, užpildytą sritį, ar objektą su papildomais žymėjimais.
• Lygiagretusis postūmis visur prideda tą patį kryptį turintį vektorių; jo komponentės gali būti neigiamos, nulinės ar trupmeninės, o nulinis vektorius duoda tapačiąją transformaciją.
• Pasukimui reikia nurodyti ir centrą, ir orientuotąjį kampą. Norėdami tiksliai pasukti ketvirčiu apsisukimo, atimkite centro koordinates, pasukite santykinių koordinačių porą ir vėl pridėkite centro koordinates.
• Ašinė simetrija palieka visus savo ašies taškus nejudančius; kiekvienam taškui, esančiam ne ašyje, ši ašis yra atkarpos, jungiančios pradinį tašką ir jo atvaizdą, vidurio statmuo.
• Judesiai išsaugo atstumus ir kongruentumą. Naudokite tikslias jų atvirkštines transformacijas, o kompoziciją atšaukite atvirkštine tvarka, nes judesiai ne visada yra komutatyvūs.
• Visos figūros simetrija reiškia T(F) = F; taškai gali būti sukeičiami vietomis. Tapatioji transformacija, nejudantieji judesio taškai ir netrivialioji simetrija yra skirtingi teiginiai.
• Daugiakampio simetriją įrodykite nagrinėdami visas viršūnes ir gretimas kraštines bei pasitelkdami argumentą apie atkarpą; apskritimo simetriją įrodykite kiekvienam taškui, nutolusiam nuo centro per spindulį, ir naudokite atvirkštinę transformaciją. Apytiksliai brėžiniai ir pasirinkti pažymėti taškai šių įrodymų nepakeičia.