Stereometrija ir erdvinis samprotavimas

Dėžės padengimas ir pripildymas – skirtingos užduotys

Įsivaizduokite uždarą stačiakampę dėžę, kurios matmenys yra 3 cm, 2 cm ir 4 cm. Pagal idealizuotą plono paviršiaus modelį jos šešioms sienoms padengti reikia 52 cm² medžiagos; jos vidaus geometrinis tūris yra 24 cm³. Kvadratiniai ir kubiniai vienetai parodo, į kurį klausimą atsako kiekvienas rezultatas. Abu skaičius paaiškinsime nustatydami dėžės dalis.

Prieš skaičiuodami numatykite, kas pasikeis, jei padvigubės tik aukštis. Talpa padvigubės, tačiau viršaus ir dugno plotai liks tokie patys. Vėliau palyginkite šį pokytį su visų matmenų padvigubinimu, dėl kurio plotas ir tūris pasikeičia kitais koeficientais.

Pasiruoškite ir grįžkite prie erdvinių samprotavimų

Reikia mokėti apskaičiuoti stačiakampio ir trikampio plotą, apskritimo ilgį ir skritulio plotą, naudoti suderintus ilgio vienetus, kelti kvadratu ir traukti šaknis bei žinoti atstumų sąryšį stačiajame trikampyje. Koordinačių trejetai išplečia koordinačių pamokoje naudotas sutvarkytąsias poras. Susietos pasirengimo pamokos leidžia pakartoti kiekvieną sąvoką prieš ją panaudojant formulėje.

Pirmą kartą nagrinėdami palyginkite dėžės sienas, ritinio paviršiaus dalis ir piramidės aukščius. Naudokite tikslius žymėjimus ir pridedamas lenteles. Kai geometrinių figūrų vaidmenys taps aiškūs, grįžkite prie tiesių ir plokštumų, atstumo erdvėje formulės išvedimo ir pjūvių. Vėlesnis įrodymas remiasi dviem statmenais žingsniais; vien perspektyvinis brėžinys jų nepagrindžia.

Nesikertančios tiesės nebūtinai yra lygiagrečios

Nagrinėkime trimatę euklidinę erdvę. Taškas nurodo padėtį; tiesė be galo tęsiasi dviem kryptimis; plokštuma tęsiasi dviem nepriklausomomis kryptimis. Baigtinė atkarpa ar plokštumai pavaizduoti naudojamas lygiagretainis yra tik to objekto dalis. Trys ne vienoje tiesėje esantys taškai apibrėžia vienintelę plokštumą, o trys vienoje tiesėje esantys taškai priklauso daugeliui plokštumų. Keturi taškai nebūtinai priklauso vienai plokštumai: (0, 0, 0), (1, 0, 0) ir (0, 1, 0) apibrėžia plokštumą z = 0, kuriai taškas (0, 0, 1) nepriklauso.

Dvi skirtingos vienoje plokštumoje esančios tiesės arba kertasi viename taške, arba yra lygiagrečios ir niekada nesusikerta. Erdvėje yra dar viena galimybė: prasilenkiančios tiesės nesusikerta ir nepriklauso vienai plokštumai. Pavyzdžiui, x ašį sudaro taškai (t, 0, 0), o per tašką (0, 0, 1) y ašies kryptimi einančią tiesę sudaro taškai (0, u, 1), kur t ir u yra realieji skaičiai. Šios tiesės negali susikirsti, nes jų taškų z koordinatės skiriasi, o jų kryptys nėra lygiagrečios. Projekcijoje popieriuje jos gali atrodyti susikertančios, nors bendro taško erdvėje neturi.

Šioje pamokoje statmenos tiesės kertasi stačiuoju kampu. Prasilenkiančių tiesių kryptys gali būti ortogonalios, kaip pirmiau pateiktame pavyzdyje, tačiau jos nesusikerta ir pagal šį susitarimą nėra vadinamos statmenomis tiesėmis. Plokštumai statmena tiesė kerta ją statmens pėdoje F ir yra statmena kiekvienai tos plokštumos tiesei, einančiai per F. Nepakanka būti statmenai tik vienai plokštumos tiesei: y ašis yra statmena x ašiai, tačiau abi priklauso plokštumai z = 0. O z ašis koordinačių pradžioje yra statmena visai plokštumai z = 0.

Dvi skirtingos plokštumos arba yra lygiagrečios ir neturi bendrų taškų, arba kertasi išilgai visos tiesės. Plokštumos z = 0 ir z = 2 yra lygiagrečios. Plokštumos x = 0 ir z = 0 kertasi išilgai y ašies, kur abi šios koordinatės lygios nuliui, o y gali kisti. Tai, kad brėžinyje matomas vienas susikirtimo taškas, nereiškia, jog jų sankirtą sudaro tik vienas taškas. Todėl erdvėje reikia atsižvelgti ir į padėtį, ir į kryptį, o ne visas plokštumos taisykles taikyti be pakeitimų.

Ilgis, paviršiaus plotas ir tūris atsako į skirtingus klausimus

Uždarasis kūnas apima savo vidų ir ribą. Jo paviršiaus plotas yra tos ribos matas, o tūris – viduje esančios trimatės srities matas. Daugiasienis turi baigtinį skaičių daugiakampių sienų; jo viso paviršiaus plotas yra jų plotų suma. Stačiakampis gretasienis ir piramidė yra daugiasieniai. Apskritas ritinys ir kūgis turi kreivų ribos dalių, o sfera yra kreivas paviršius. Sfera vadiname ribą, kurios taškai yra pastoviu atstumu r > 0 nuo centro, o uždaruoju rutuliu – tą ribą kartu su jos vidumi, panašiai kaip ankstesnėje pamokoje skyrėme apskritimą ir skritulį.

Prieš atlikdami veiksmus su matmenimis, išreikškite juos tuo pačiu ilgio vienetu. Plotai matuojami kvadratiniais, o tūriai – kubiniais vienetais. Kadangi 1 m = 100 cm, kvadratinis metras yra 100² = 10000 cm², o kubinis metras – 100³ = 1000000 cm³. Litras yra 1000 cm³ = 1 dm³; tai tūrio, o ne paviršiaus ploto vienetas. Pasirinkus didesnį ilgio vienetą, ploto ir tūrio skaitinės vertės pasikeičia atitinkamai pagal perskaičiavimo koeficiento kvadratą ir kubą.

Toliau pateiktose kūnų formulėse fiziniai matmenys turi būti teigiami. Stačiakampiui gretasieniui būtina a > 0, b > 0 ir h > 0; stačiajam apskritam ritiniui būtina r > 0 ir h > 0; nurodytos piramidės su stačiakampiu pagrindu pagrindo kraštinių ilgiai ir statmenai pagrindui matuojamas aukštis turi būti teigiami. Kai matmuo lygus nuliui, numatytas trimatis kūnas išsigimsta į mažesnio matmenų skaičiaus ribinį atvejį. Nurodytas neigiamas spindulys ar kraštinės ilgis yra netinkamas dar prieš dauginant ar keliant kvadratu. Koordinatės ir koordinačių skirtumai gali būti neigiami, tačiau jie nusako padėtis ir kryptingus pokyčius, o ne nurodomus fizinius ilgius.

Nurodykite, kurios ribos dalys įtraukiamos. Uždarasis ritinys turi du pagrindo skritulius ir kreivą šoninį paviršių. Idealaus indo atviru viršumi medžiagos plotas apskaičiuojamas sudedant kitų paviršiaus dalių plotus, o jo talpai apskaičiuoti naudojami vidiniai matmenys, ne neapibrėžtas išorinis tūris. Formulės aprašo idealias geometrines sritis; uždavinyje apie sienelę, dangą ar tuščiavidurį objektą būtina nurodyti, kurie paviršiai ar matmenys turimi omenyje.

Stačiakampio gretasienio formulės: šešios sienos ir vienodas skerspjūvis

Dėžės, kurios matmenys yra 3 × 2 × 4 cm, vienos sienų poros kiekvienos sienos plotas yra 6 cm², kitos poros – 12 cm², o trečios – 8 cm². Šešių sienų plotų suma yra 2(6 + 12 + 8) = 52 cm². Keturi sluoksniai, kurių pagrindo plotas yra 6 cm², duoda jau nustatytą 24 cm³ tūrį. Kuri pora lieka nepakitusi, jei keičiasi tik aukštis?

Stačiakampis gretasienis yra stačioji prizmė su stačiakampiais pagrindais, kurios trys briaunų kryptys yra tarpusavyje statmenos. Tarkime, jo teigiami matmenys yra a, b ir h. Priešingos sienos yra lygūs stačiakampiai: dviejų plotas yra ab, dviejų – ah, o dar dviejų – bh. Sudėję šešių sienų plotus, gauname S = 2(ab + ah + bh). Kiekviena siena įskaičiuojama vieną kartą, įskaitant ir nematomas sienas. Jau nustatyta jo tūrio formulė yra V = abh: stačiakampio pagrindo plotas yra ab, o statmenas aukštis – h. Vienetinių kubų skaičiavimas iliustruoja atvejį, kai matmenys yra sveikieji skaičiai; formulė taip pat galioja, kai matmenys yra teigiami trupmeniniai arba realieji skaičiai.

Išklotinė parodo pasirinktus pjūvius ir plokštumoje išskleistas sienas. Stačiakampio gretasienio išklotinei sudarykite keturių šoninių stačiakampių juostą: jų pločiai yra a, b, a ir b, o bendras aukštis – h. Vieną a × b matmenų pagrindo stačiakampį prijunkite virš pirmojo a × h stačiakampio, o kitą – po juo, prie priešingų šio šoninio stačiakampio kraštinių, kurių ilgis a. Sulenkta juosta sudaro keturias šonines sienas, o prijungti pagrindai uždaro viršų ir apačią. Šešių plokštumoje esančių stačiakampių vidinės sritys nesikerta, todėl jų plotų suma lygi paviršiaus plotui. Šešių stačiakampių sąrašas ar persidengiantis jų išdėstymas savaime nėra tinkama išklotinė: reikia patikrinti jungtis, ilgių atitikimą ir sulankstymą.

Bendresniu atveju stačioji prizmė turi du lygius daugiakampius pagrindus lygiagrečiose plokštumose ir stačiakampes šonines sienas. Jei pagrindo plotas yra B, pagrindo perimetras – p, o teigiamas statmenas aukštis – h, jos tūris yra V = Bh. Jei pagrindas yra paprastasis daugiakampis be skylių, kiekvieną e ilgio pagrindo kraštinę atitinka stačiakampė šoninė siena, kurios plotas eh; sudėję gauname šoninio paviršiaus plotą ph. Įskaičiavę abu pagrindus, gauname viso paviršiaus plotą S = 2B + ph. Aukštis yra atstumas tarp pagrindų plokštumų; stačiosios prizmės atveju jis lygus šoninių briaunų ilgiui. Į šią stačiosios prizmės paviršiaus ploto formulę neįstatome pasvirusios šoninės briaunos ilgio.

Pavyzdžiui, stačiosios trikampės prizmės, kurios pagrindas yra statusis trikampis su statiniais 3 ir 4, pagrindo plotas yra B = 6, o perimetras p = 3 + 4 + 5 = 12, naudojant suderintus vienetus. Kai prizmės aukštis yra 5, V = 30 kubinių vienetų, o S = 2 × 6 + 12 × 5 = 72 kvadratinių vienetų. Trikampio pagrindo statmenas aukštis yra vienas iš jo statinių, o prizmės aukštis nusako atstumą tarp abiejų pagrindų plokštumų. Tai, kad abu vadinami aukščiu, nereiškia, jog jų ilgiai vienodi.

Ritinio šoninio paviršiaus išklotinė – apskritimo ilgio ir aukščio matmenų stačiakampis

Imkime uždarą statųjį apskritąjį ritinį, kurio spindulys yra 2 cm, o aukštis – 3 cm. Jei jo lenktą šoninį paviršių perpjautume vertikaliai ir ištiesintume netempdami, jo plotis būtų lygus apskritimo ilgiui, 4π cm, o aukštis būtų 3 cm. Numatykite, ar abu pagrindo skrituliai įeina į lenkto šoninio paviršiaus plotą, ar juos reikia įskaičiuoti atskirai.

Statusis apskritasis ritinys turi du lygius skritulio formos pagrindus lygiagrečiose plokštumose, o jų centrus jungia šioms plokštumoms statmena ašis. Reikalaujame, kad spindulys r > 0, o aukštis h > 0. Jau nustatyta jo tūrio formulė yra V = πr²h: pagrindo skritulio plotas yra πr², o kiekvienas pagrindams lygiagretus skerspjūvis yra tokios pačios formos ir ploto skritulys. Tai prizmės formulės atitikmuo apskritiems pagrindams, kuriame naudojamas jau nustatytas skritulio ploto rezultatas; griežtas formulės išvedimas kūnui su lenktu paviršiumi neapsiriboja baigtinio skaičiaus daugiakampių dalių skaičiavimu.

Perpjaukite lenktą paviršių išilgai vienos tiesios sudaromosios, lygiagrečios ašiai, ir išskleiskite jį. Gauto stačiakampio aukštis yra h, o plotis lygus pagrindo apskritimo ilgiui, 2πr. Taigi lenkto paviršiaus plotas yra L = 2πrh. Pridėję abiejų pagrindo skritulių plotus, gauname visą uždaro ritinio paviršiaus plotą S = 2πrh + 2πr². Sudaromosios ilgis lygus statmenam aukščiui, nes šis ritinys yra statusis. Viršutinis ir apatinis skrituliai įskaičiuojami po vieną kartą, o juos ribojantys apskritimai papildomo ploto neprideda.

Kai r = 2 ir h = 3 išreikšti tuo pačiu ilgio vienetu, V = 12π kubinių vienetų, L = 12π kvadratinių vienetų ir S = 20π kvadratinių vienetų. Vienodi skaitiniai V ir L koeficientai šiame pavyzdyje nereiškia, kad šie dydžiai yra pakeičiami vienas kitu: vienas matuojamas kubiniais, o kitas – kvadratiniais vienetais. Jei nurodytame modelyje viršutinis skritulys neįtraukiamas, bet apatinis paliekamas, medžiagos plotas yra L + πr² = 16π kvadratinių vienetų, o ne viso uždaro paviršiaus plotas.

Norint gauti r, skersmenį pirmiausia reikia padalyti pusiau. Palikite tikslią π reikšmę, kol neprašoma apytikslės reikšmės. Nulinis spindulys arba nulinis aukštis neatitinka reikalavimo, kad kūno matmenys būtų teigiami. Į uždaro paviršiaus ploto reiškinį įstačius h = 0, du sutampantys pagrindų skrituliai būtų skaičiuojami tarsi atskiros kūno ribos dalys; toks įstatymas nenusako reikalavimus atitinkančio trimačio ritinio paviršiaus ploto.

Stačiakampio pagrindo piramidė turi du šoninių sienų aukštinių ilgius, o ne vieną

Imkime stačiakampį pagrindą, kurio kraštinių ilgiai yra 6 cm ir 4 cm, ir viršūnę, esančią 3 cm tiesiai virš jo centro. Horizontalus atstumas nuo centro iki 6 cm ilgio kraštinės vidurio yra 2 cm, o iki 4 cm ilgio kraštinės vidurio – 3 cm. Šių dviejų stačiųjų trikampių vertikalus aukštis vienodas, bet horizontalūs statiniai skirtingi. Numatykite, ar jų pasvirusių šoninių sienų aukštinės bus vienodo ilgio.

Piramidė turi daugiakampį pagrindą ir trikampes šonines sienas, jungiančias pagrindo kraštines su viršūne, esančia ne pagrindo plokštumoje. Čia nagrinėkime stačiąją piramidę su stačiakampiu pagrindu, kurios pagrindo kraštinių ilgiai a ir b bei statmenas aukštis h yra teigiami; jos viršūnė yra tiesiai virš pagrindo centro. Koordinačių sistemoje pagrindo viršūnės yra (0, 0, 0), (a, 0, 0), (a, b, 0) ir (0, b, 0), o piramidės viršūnė yra T = (a/2, b/2, h). Jos statmenos aukštinės pagrindas yra centras C = (a/2, b/2, 0). Ši aiškiai nurodyta viršūnės padėtis yra modelio dalis, o ne išvada, padaryta iš perspektyvinio brėžinio.

Tegu ℓₐ yra trikampės šoninės sienos, kurios pagrindo kraštinės ilgis a, aukštinės ilgis. Ši aukštinė jungia T su kraštinės vidurio tašku M; horizontalus atstumas CM yra b/2. Statmena aukštinė TC = h ir CM sudaro statųjį trikampį, todėl ℓₐ² = h² + (b/2)². Atkarpa TM yra statmena tai kraštinei: jos horizontalioji dedamoji statmena kraštinei, o vertikalioji dedamoji statmena pagrindo plokštumai. Panašiai sienai, kurios pagrindo kraštinės ilgis b, ℓᵦ² = h² + (a/2)². Abiejų šoninių sienų aukštinių ilgiams imamos teigiamos kvadratinės šaknys, patikrinus, ar a, b ir h tenkina nustatytas sąlygas.

Dviejų sienų, kurių pagrindo kraštinių ilgis a, bendras plotas yra 2 × (aℓₐ/2) = aℓₐ; sienų, kurių pagrindo kraštinių ilgis b, bendras plotas yra bℓᵦ. Pridėjus stačiakampio pagrindo plotą, gaunama S = ab + aℓₐ + bℓᵦ. Jei a ≠ b, šoninių sienų aukštinių ilgiai paprastai skiriasi, todėl abu juos pakeitus vienu neapibrėžtu aukštinės ilgiu, sienų plotai apskaičiuojami neteisingai. Šoninės briaunos, jungiančios T su pagrindo viršūne, ilgis yra dar kitas dydis e, kuriam e² = h² + (a/2)² + (b/2)². Tai nėra nė vienos trikampės sienos statmenos aukštinės ilgis.

Taikykite žinomą piramidės tūrio formulę V = Bh/3, kur B yra pagrindo plotas, o h – statmenas atstumas iki jo plokštumos. Čia V = abh/3. Šis tūris yra trečdalis prizmės tūrio, kai pagrindo plotas ir statmenas aukštis yra tokie patys, o ne todėl, kad brėžinyje piramidė atrodo tris kartus mažesnė. Taikome bendrąją tūrio formulę, neteigdami, kad šioje pamokoje pateikiamas išsamus įrodymas pagal Kavaljerio principą ar integruojant. Kai aukštis nulinis, viršūnė yra pagrindo plokštumoje; nulinis pagrindo kraštinės ilgis arba neigiamas matmuo taip pat neatitinka šio neišsigimusio kūno apibrėžimo.

Kūgio ir sferos formulėms būtinos atitinkamos formos sąlygos

Stačiojo apskritojo kūgio pagrindas yra skritulys, kurio spindulys r teigiamas, o viršūnė yra tiesiai virš jo centro teigiamame statmenai matuojamame aukštyje h. Kūgio sudaromoji ℓ jungia viršūnę su pagrindo apskritimo tašku, o jos ilgis ℓ = √(r² + h²). Taikykite standartines kūgio formules: V = πr²h/3 – kūgio tūriui, L = πrℓ – šoninio paviršiaus plotui ir S = πrℓ + πr² – viso uždaro paviršiaus plotui. Šoninio paviršiaus ploto formulėje naudojama sudaromoji, o tūrio formulėje – statmenai matuojamas aukštis. Šios formulės netinka konkrečiau neapibūdintam pasvirajam kūgiui vien pervadinus jo pasvirusios atkarpos ilgį į h.

Sferai, kurios spindulys r teigiamas, taikykite paviršiaus ploto formulę S = 4πr², o uždaro rutulio tūriui – V = 4πr³/3. Sferos taškai nuo jos centro nutolę atstumu r; rutulio viduje esantys taškai nuo centro nutolę mažesniu atstumu. Sfera neturi plokščio pagrindo ar viršūnės. Jos paviršiaus ploto formulė negaunama sudedant baigtinio skaičiaus plokščių sienų plotus. Čia kūgio ir sferos rezultatus priimame be išvedimo; bendriesiems jų kreivojo paviršiaus ploto ir tūrio formulių išvedimams reikia argumentų, peržengiančių anksčiau taikytų baigtinių plokštuminės geometrijos įrodymų ribas.

Stačiojo kūgio, kurio r = 3 ir h = 4, sudaromoji ℓ = 5, todėl L = 15π, S = 24π ir V = 12π atitinkamais kvadratiniais ir kubiniais vienetais. Rutulio, kurio r = 3, sferos plotas yra 36π kvadratinių vienetų, o rutulio tūris – 36π kubinių vienetų. Šių skaitinių koeficientų lygybė yra atsitiktinė ir priklauso nuo matavimo vienetų. Nulinis spindulys arba nulinis kūgio aukštis yra išsigimęs ribinis atvejis, o ne dar vienas čia nagrinėjamas kūnas su teigiamais matmenimis.

Atstumas erdvėje gaunamas dukart skaičiuojant pagal statmenąsias komponentes

Imkime P = (1, −2, 3) ir Q = (4, 2, 15), naudodami tą patį ilgio vienetą. Jų horizontaliųjų koordinačių pokyčiai yra 3 ir 4, todėl horizontalusis atstumas iki H = (4, 2, 3) yra 5. Vertikalusis poslinkis nuo H iki Q yra 12, o tiesioginis atstumas yra 13. Prieš užrašant bendrąją formulę, dviejose schemose atskirai vaizduojami horizontalusis 3–4–5 žingsnis ir vertikalusis 5–12–13 žingsnis.

Pasirinkime tarpusavyje statmenas Dekarto koordinačių ašis ir visose trijose naudokime tą patį fizinį ilgio vienetą. Taškams P = (x₁, y₁, z₁) ir Q = (x₂, y₂, z₂) apibrėžkime pokyčius su ženklais: Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁ ir Δz = z₂ − z₁. Komponenčių ilgiai yra šių pokyčių absoliučiosios vertės. Tegul H = (x₂, y₂, z₁) yra taškas, kurio pirmosios dvi koordinatės sutampa su Q koordinatėmis ir kuris yra taško P horizontaliojoje plokštumoje. Ankstesnė atstumo plokštumoje formulė duoda PH² = (Δx)² + (Δy)², taip pat ir tada, kai taškai yra vienoje tiesėje, lygiagrečioje koordinačių ašiai, arba sutampa.

Jei PH > 0 ir Δz ≠ 0, atkarpa HQ yra statmena tai horizontaliajai plokštumai, taigi ir PH taške H. Trikampis PHQ yra neišsigimęs, todėl pagal Pitagoro teoremą PQ² = PH² + HQ² = (Δx)² + (Δy)² + (Δz)². Atstumas yra neneigiamas, vadinasi, PQ = √((Δx)² + (Δy)² + (Δz)²). Šiame išvedime stačiajam trikampiui taikomas rezultatas naudojamas du kartus: pirmiausia per atstumo plokštumoje formulę, tada įtraukiant vertikaliąją komponentę, o atstumo erdvėje formulė nelaikoma prielaida ankstesniame įrodymo žingsnyje.

Ribinius komponenčių atvejus nagrinėkime tiesiogiai. Jei Δz = 0, tai Q = H, o atstumas erdvėje yra atstumas plokštumoje PH. Jei PH = 0, tai P = H, o atstumas yra vertikaliosios atkarpos ilgis |Δz|. Jei abu dydžiai lygūs nuliui, P ir Q sutampa ir PQ = 0. Ta pati formulė tinka visiems šiems atvejams, tačiau išsigimimo atveju neteigiama, kad egzistuoja neišsigimęs statusis trikampis. Sukeitus P ir Q vietomis, kiekvieno pokyčio ženklas pasikeičia, bet jo kvadratas lieka toks pats, todėl atstumas yra simetriškas.

Priėmus, kad stačiakampio gretasienio fiziniai matmenys yra teigiami, iš šios formulės gaunamas atstumas tarp priešingų jo viršūnių: √(a² + b² + h²). Kelio išilgai trijų statmenų briaunų ilgis yra a + b + h ir jis yra ilgesnis už šią įstrižainę: jo kvadrate yra papildomi teigiami nariai 2ab + 2ah + 2bh. Bendresniu atveju, naudojant taškų koordinačių pokyčius, kelio ilgis |Δx| + |Δy| + |Δz| lygus tiesioginiam atstumui tik tada, kai ne daugiau kaip viena komponentė yra nelygi nuliui. Paaiškinkite, ar uždavinyje prašoma rasti taškus jungiančią atkarpą, nurodytą kelią, ar apribotos erdvės tūrį.

Pjūvis kerta kūną, projekcija keičia vaizdą

Plokščiasis pjūvis yra kūno dalis, esanti pasirinktoje plokštumoje. Stačiakampio gretasienio vidaus pjūvis, lygiagretus jo a ir b matmenų pagrindui, yra a ir b matmenų stačiakampis. Stačiojo ritinio vidaus pjūvis, lygiagretus jo pagrindams, yra tokio paties spindulio r skritulys. Plokštuma, einanti per ritinio ašį, kerta jo uždarąjį kūną stačiakampiu, kurio matmenys yra 2r ir h. Šie pjūviai atsako į skirtingus klausimus; ritinio kontūras perspektyviniame brėžinyje pagal apibrėžimą nėra vienas iš jo plokščiųjų pjūvių.

Piramidės su stačiakampiu pagrindu, kurios viršūnė yra virš pagrindo centro, pjūvis, lygiagretus pagrindui ir esantis aukštyje t, kai 0 ≤ t < h, yra stačiakampis, kurio kraštinės yra a(1 − t/h) ir b(1 − t/h). Panašūs trikampiai vertikaliosiose plokštumose, einančiose per viršūnę, duoda bendrą ilgių mastelio koeficientą (h − t)/h. Pjūvio plotas yra ab(1 − t/h)². Kai t = h, pjūvis yra tik viršūnė, o ne teigiamo ploto stačiakampis; už intervalo 0 ≤ t ≤ h ribų pjūvis yra tuščias. Pusėje aukščio kraštinių ilgiai sumažėja perpus, o plotas sudaro ketvirtadalį pagrindo ploto. Tai parodo, kodėl piramidės pjūviai nėra vienodi, kitaip nei prizmės pjūviai.

Uždarojo rutulio, kurio spindulys r > 0, centro statmenąjį atstumą iki kertančiosios plokštumos pažymėkime d ≥ 0. Kai 0 ≤ d < r, pjūvis yra skritulys, kurio spindulys √(r² − d²). Tai gaunama naudojant iš centro į plokštumą nuleistą statmenį ir plokščiojo stačiojo trikampio kraštinių sąryšį; centrinio pjūvio atveju, kai d = 0, tiesiogiai naudojamas spindulys r. Rutulį ribojančios sferos pjūvis yra šį skritulį juosiantis apskritimas. Kai d = r, lieka tik vienas taškas, o kai d > r, pjūvio nėra. Prieš naudodami realiąją kvadratinę šaknį arba teigdami, kad pjūvis yra teigiamo ploto skritulys, patikrinkite atstumo intervalą.

Projekcija atvaizduoja erdvės taškus vaizdo plokštumoje ir gali paslėpti gylį. Ortogonaliai projektuojant į xy plokštumą, x ir y paliekami, o z atmetamas. Atkarpos nuo (0, 0, 0) iki (3, 4, 12) projekcijos ilgis yra 5, o jos ilgis erdvėje yra 13. Taškai (0, 0, 0) ir (0, 0, 5) projektuojami į tą patį tašką, nors atstumas tarp jų yra 5 vienetų. Kitos žiūrėjimo kryptys taip pat gali paslėpti taškų atskirtį. Paveiksle matomi kampai, susikirtimai ir vienodi ilgiai neįrodo, kad atitinkamos savybės galioja erdvėje. Kaip pagrindimą naudokite nurodytas koordinates, statmenumo arba incidencijos sąlygas.

Vienodas ilgių mastelio koeficientas plotui keliamas kvadratu, tūriui – kubu

Padvigubinkite visus 3 × 2 × 4 cm matmenų dėžės matmenis. Kiekvienos stačiakampės sienos plotas dauginamas iš dviejų daugiklių 2, todėl bendras paviršiaus plotas tampa 4 × 52 = 208 cm². Tūris dauginamas iš trijų daugiklių 2 ir tampa 8 × 24 = 192 cm³. Padvigubinus tik aukštį, tūris būtų 48 cm³, o paviršiaus plotas – 92 cm², nes dvi galinės sienos, kurių kiekvienos plotas yra 6 cm², lieka nepakitusios.

Vienodai didinant teigiamu koeficientu k > 0, kiekvienas ilgis padauginamas iš k, o kampų ir formos santykiai išlieka. Stačiakampio gretasienio S′ = 2((ka)(kb) + (ka)(kh) + (kb)(kh)) = k²S, o V′ = (ka)(kb)(kh) = k³V. Stačiosios prizmės pagrindo plotas padauginamas iš k², jo perimetras – iš k, o prizmės aukštis – iš k, todėl gaunami tie patys ploto ir tūrio koeficientai. Formulės parodo, kodėl ilgio koeficiento negalima nepakeisto taikyti visiems dydžiams.

Kūnų su kreivais paviršiais formulės duoda tokius pat rezultatus. Pakeitus r ir h į kr ir kh, ritinio paviršiaus plotas yra k²(2πrh + 2πr²), o tūris – k³πr²h. Piramidės kiekvienos šoninės sienos aukštinė taip pat padauginama iš k, nes √((kh)² + (kb/2)²) = k√(h² + (b/2)²), kai k > 0. Todėl jos pagrindo ir trikampių šoninių sienų plotai padauginami iš k², o abh/3 – iš k³. Kūgio sudaromosios ir sferos formulės duoda tuos pačius koeficientus.

Padvigubinus visus matmenis, plotas padidėja 4 kartus, o tūris – 8 kartus. Didinant koeficientu 3/2, ploto koeficientas yra 9/4, o tūrio koeficientas – 27/8. Ir atvirkščiai: panašiųjų kūnų, kurių tūrių santykis yra 8, atitinkamų ilgių santykis yra 2, o plotų santykis – 4; ilgio koeficientui pasirenkama teigiama realioji kubinė šaknis. Šiai išvadai būtina žinoti, kad kūnai yra panašūs; vien savavališkų kūnų tūrių santykis nenusako jų paviršiaus plotų santykio.

Tik vieno matmens keitimas nėra vienodas didinimas. Kai ritinio spindulys nekinta, padvigubinus h, jo tūris ir šoninio paviršiaus plotas padvigubėja, tačiau abiejų skritulinių pagrindų plotai nekinta, todėl visas paviršiaus plotas paprastai nepadvigubėja. Keičiant mastelį nuliniu koeficientu, kūnas išsigimsta. Šioje pamokoje neigiamas daugiklis nėra teigiamas fizinio ilgio mastelio koeficientas; jei koordinatės būtų transformuojamos taikant atspindį arba homotetiją su neigiamu koeficientu, ilgiams būtų naudojamas jo modulis, o tokią transformaciją reikėtų nurodyti atskirai.

Nuo formulės grįžkite prie aprašomo kūno

Pradėkite nuo kūno formos ir prielaidų, tada nustatykite, kurie ilgiai duoti. Ritinio skersmuo nėra jo spindulys; piramidės briauna ar šoninės sienos aukštinė nėra jos statmenasis aukštis. Jei pagrindas stačiakampis, išlaikykite atitiktį tarp kiekvienos šoninės sienos ir pagrindo kraštinės, į kurią ji remiasi. Prieš skaičiuodami sandaugas, kvadratus, šaknis ar darydami išvadą apie kūną, išreikškite ilgius vienodais matavimo vienetais ir atmeskite neteigiamus fizinius matmenis. Formali skaitinė išraiška, gauta susitraukusiam objektui, nebūtinai yra jo mažesnio matmens ribinio objekto krašto plotas.

Sudedant paviršiaus plotus reikia atsižvelgti į išorinį paviršių. Jei du stačiakampiai gretasieniai, kurių vidinės sritys nesikerta, sujungiami visa bendra stačiakampe siena, kurios plotas F, jų bendras tūris yra jų tūrių suma, o išorinio paviršiaus plotas yra S₁ + S₂ − 2F: bendra siena buvo įskaičiuota į kiekvieno gretasienio paviršiaus plotą, o dabar yra viduje. Jei jų vidinės sritys persidengia, sudedant tūrius persidengimo tūris taip pat įskaičiuojamas du kartus, todėl skaičiavimą reikia pataisyti. Nurodžius sujungimus ar sankirtas, galima patikrinti pasirinktą skaičiavimą.

Išlaikykite tikslias trupmenas, šaknis ir reiškinius su π, kol neprašoma apvalinti. Ekrane galima apytiksliai pateikti √29 arba nupiešti apskritimą kaip elipsę, kad būtų perteikta perspektyva, tačiau ekrano pikseliai nepatvirtina tikslių erdvinių atstumų ar kampų. Kita vertus, dešimtainis skaičius gali būti tikslus matematinis pradinis duomuo; tokiu atveju jis turi būti naudojamas tiksliuosiuose skaičiavimuose. Suapvalinti matavimai pagrindžia rezultatus tik nurodytu tikslumu; vien jų nepakanka idealiam stačiajam kampui, viršūnės padėčiai virš pagrindo centro ar panašumui su vienodu mastelio koeficientu nustatyti.

Naudinga galutinė patikra apima ir matavimo vienetus, ir prasmę. Tinkamų kūnų paviršiaus plotai turi būti teigiami ir išreikšti kvadratiniais vienetais, o tūriai – teigiami ir išreikšti kubiniais vienetais. Teigiamo aukščio piramidėje, kurios viršūnė yra virš pagrindo centro, šoninės sienos aukštinė ar šoninė briauna yra ilgesnė už statmenąjį piramidės aukštį. Stačiakampio gretasienio įstrižainė yra ilgesnė už kiekvieną jo briauną. Šios patikros gali padėti aptikti supainiotą dydžio paskirtį ar matavimo vienetą, o įrodymą suteikia pati formulė ir jos prielaidos.

Tyrinėkite keturias scenas išlaikydami jų fizikinę ir koordinačių prasmę

Stačiakampio gretasienio scenoje yra aštuoni (a, b, h) pasirinkimai: (3, 2, 4), (1, 1, 1), (1, 2, 2), (1/2, 3/2, 2), (2, 2, 5/2), (3, 2, 0), (0, 2, 3) ir (−1, 2, 3). Pagal priimtus teigiamus matmenis apskaičiuojamas pagrindo plotas, bendras sienų plotas, tūris ir tikslus atstumas tarp priešingų viršūnių. Nulinis aukštis ar nulinė pagrindo kraštinė reiškia išsigimusį ribinį atvejį, o siūlomas neigiamas kraštinės ilgis yra netinkamas. Šioms atmestoms užklausoms nesukuriamas išgalvotas neišsigimęs stačiakampis gretasienis.

Stačiojo ritinio scenoje yra aštuoni (r, h) pasirinkimai: (2, 3), (1, 2), (3/2, 5/2), (1/2, 4), (3, 1), (2, 0), (0, 3) ir (−1, 3). Abu matmenys turi būti teigiami, kad būtų skaičiuojamas pagrindo plotas, šoninio paviršiaus plotas, uždaro ritinio viso paviršiaus plotas ir tūris. Tiksliuose rezultatuose paliekamas π. Brėžinyje elipsės pavidalo pagrindas yra nurodyto skritulio erdvinis vaizdas, o ne jo spindulio ar ploto formulės pakeitimas.

Piramidės su stačiakampiu pagrindu ir viršūne virš pagrindo centro scenoje yra aštuoni (a, b, h) pasirinkimai: (6, 4, 3), (4, 4, 3/2), (3, 2, 4), (1/2, 3/2, 2), (2, 2, 1), (3, 2, 0), (0, 2, 3) ir (−1, 2, 3). Priimamos viršūnės koordinatės yra (a/2, b/2, h); ji yra virš pagrindo, esančio plokštumoje z = 0. Atskiri šoninių sienų aukštinių kvadratai h² + (b/2)² ir h² + (a/2)² išlaiko skirtingus a ir b briaunų vaidmenis. Paviršiaus plotas gaunamas sudėjus keturių trikampių šoninių sienų ir pagrindo plotus, o tūriui skaičiuoti naudojamas pagrindui statmenas aukštis. Neteigiami matmenys atmetami prieš atliekant šiuos kūno skaičiavimus.

Atstumo erdvėje scenoje yra aštuonios taškų poros: nuo (0, 0, 0) iki (3, 4, 12); nuo (1, −2, 3) iki (4, 2, 15) ir ta pati pora atvirkštine tvarka; nuo (0, 0, 0) iki (3, 4, 0); nuo (0, 0, 0) iki (0, 0, 5); nuo (2, −1, 3) iki to paties taško; nuo (0, 0, 0) iki (1/2, 1/2, 1/2); ir nuo (0, 0, 0) iki (16, 12, −15). Neigiamos koordinatės ir nuliniai atskirų koordinačių pokyčiai išlieka tinkami taškų duomenys. Paskutinės poros tikslus atstumo kvadratas yra 625, o atstumas – 25, nors šioje scenoje pasirinkta projekcija abu galinius taškus vaizduoja toje pačioje vietoje. Rezultatą lemia tikslios koordinatės; vien projekcijų sutapimas nepatvirtina, kad taškai erdvėje sutampa.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Nustatykite x ašies tarpusavio padėtį su kiekviena iš tiesių (0, u, 1), (t, 1, 0) ir su y ašimi, kai t ir u yra realieji skaičiai. Ar y ašis ir plokštuma z = 0 yra statmenos vien dėl to, kad y ašis statmena x ašiai? Apibūdinkite plokštumos z = 0 sankirtas su plokštuma z = 2 ir su plokštuma x = 0. Ar taškai (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) ir (0, 0, 1) yra vienoje plokštumoje?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmoji tiesė ir x ašis yra prasilenkiančios; antroji tiesė yra jai lygiagreti; y ašis kerta ją statmenai. y ašis yra plokštumoje z = 0 ir nėra statmena šiai plokštumai. Plokštumos z = 0 ir z = 2 yra lygiagrečios, o plokštumos x = 0 ir z = 0 kertasi y ašyje. Keturi nurodyti taškai nėra vienoje plokštumoje.

   Pirmosios poros tiesių koordinačių kryptys skiriasi, ir jos negali susikirsti, nes vienoje tiesėje z = 0, o kitoje z = 1, todėl šios tiesės nėra lygiagrečios ir yra prasilenkiančios. Antrosios poros tiesės turi tą pačią x kryptį, bet jų pastovios y reikšmės yra 0 ir 1, todėl tiesės yra skirtingos, yra vienoje plokštumoje ir yra lygiagrečios. Koordinačių x ir y ašys kertasi koordinačių pradžioje 90° kampu. Kad tiesė būtų statmena plokštumai, ji turi būti statmena kiekvienai tos plokštumos tiesei, einančiai per statmens pagrindą, o ne tik vienai; pati y ašis yra šios plokštumos tiesė. Plokštumų lygtys duoda arba nesuderinamas z reikšmes, arba x = z = 0, kai y yra bet koks. Galiausiai pirmieji trys ne vienoje tiesėje esantys taškai apibrėžia plokštumą z = 0, o ketvirtojo taško z = 1.

2. Stačiakampio gretasienio teigiami matmenys yra a = 1/2, b = 3/2 ir h = 2, išreikšti tuo pačiu matavimo vienetu. Raskite tikslias jo viso paviršiaus ploto, tūrio ir atstumo tarp priešingų viršūnių reikšmes. Ar siūlomi matmenys (3, 2, 0), (0, 2, 3) arba (−1, 2, 3), taikant tą pačią procedūrą, apibrėžtų tinkamus stačiakampius gretasienius?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   S = 19/2 kvadratinių vienetų, V = 3/2 kubinių vienetų, o įstrižainės ilgis yra √26/2 vienetų. Nė vienas iš vėliau pasiūlytų matmenų trejetų neapibrėžia tinkamo neišsigimusio stačiakampio gretasienio: pirmuosiuose dviejuose yra nulinis matmuo, o paskutiniame – neigiamas briaunos ilgis.

   Sienų plotus nusakančios sandaugos yra ab = 3/4, ah = 1 ir bh = 3, todėl S = 2(3/4 + 1 + 3) = 19/2. Pagrindo ploto ir aukščio sandauga yra (3/4) × 2 = 3/2. Įstrižainės ilgio kvadratas yra (1/2)² + (3/2)² + 2² = 1/4 + 9/4 + 4 = 13/2 = 26/4, o jo teigiama kvadratinė šaknis yra √26/2. Kvadratiniai ir kubiniai vienetai skiriasi nuo įstrižainės ilgio vieneto. Dėl nulinio matmens nagrinėjamas kūnas išsigimsta, o siūlomas neigiamas ilgis yra netinkamas; nei formaliai apskaičiuota sandauga, nei kvadratas šių trūkumų nepašalina.

3. Stačiojo ritinio skersmuo yra 6 cm, o statmenai pagrindui matuojamas aukštis – 5 cm. Raskite tikslias jo šoninio paviršiaus ploto, viso uždaro paviršiaus ploto ir tūrio reikšmes. Jei idealizuotame medžiagos modelyje paliekamas šoninis paviršius ir apatinis pagrindas, bet pašalinamas viršutinio pagrindo skritulys, koks plotas lieka? Kodėl r = −3 arba h = 0 neatitinka kūnui keliamo teigiamų matmenų reikalavimo?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Spindulys yra 3 cm. Šoninio paviršiaus plotas yra 30π cm², viso uždaro paviršiaus plotas – 48π cm², o tūris – 45π cm³. Pašalinus tik viršutinio pagrindo skritulį, lieka 39π cm². Neigiamas spindulys yra netinkamas, o dėl nulinio aukščio ritinys išsigimsta, todėl nė vienas atvejis nepripažįstamas tinkamu uždaru kūnu.

   Prieš įstatydami į formulę, skersmenį padalykite pusiau. Tuomet L = 2π × 3 × 5 = 30π, o du pagrindų skrituliai prideda 2π × 3² = 18π, todėl S = 48π. Tūris yra π × 3² × 5 = 45π. Medžiagos modelyje be viršutinio pagrindo lieka tik vienas skritulys, todėl jo plotas yra 30π + 9π = 39π. Plotas matuojamas kvadratiniais vienetais, o uždaras paviršius riboja tūrį, matuojamą kubiniais vienetais. Pakėlus −3 kvadratu, būtų panaikintas neleistinas neigiamas ženklas, o ne pagrįstas spindulio tinkamumas. Kai h = 0, abu pagrindų skrituliai sutampa; mechaniškai sudėjus jų plotus, negaunamas tinkamo trimačio ritinio ribojančio paviršiaus plotas.

4. Taisyklingosios keturkampės piramidės a = b = 4 cm, o statmenasis aukštis h = 3/2 cm. Raskite bendrą šoninių sienų aukštinių ilgį, viso paviršiaus plotą ir tūrį. Ar šių aukštinių lygybė leidžia manyti, kad kiekvienos piramidės su stačiakampiu pagrindu, kurios viršūnė yra tiesiai virš pagrindo centro, šoninių sienų aukštinės yra lygios? Kodėl briaunos, jungiančios piramidės viršūnę su pagrindo viršūne, ilgis yra kitoks?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Bendras šoninių sienų aukštinių ilgis yra 5/2 cm, viso paviršiaus plotas yra 36 cm², o tūris – 8 cm³. Šiuo atveju aukštinės lygios, nes a = b; kai stačiakampio pagrindo kraštinės nelygios, reikia atskirų aukštinių ilgio išraiškų. Briaunos, jungiančios piramidės viršūnę su pagrindo viršūne, ilgis yra √41/2 cm; ši briauna nėra šoninės sienos aukštinė.

   Abu atstumai nuo pagrindo centro iki kraštinių vidurio taškų yra 2, todėl ℓ² = (3/2)² + 2² = 9/4 + 4 = 25/4, o ℓ = 5/2. Dviejų porų trikampių šoninių sienų plotų suma yra 4(5/2) + 4(5/2) = 20 cm². Pridėję pagrindo plotą 16, gauname S = 36. Tūriui apskaičiuoti naudojamas h: V = 4 × 4 × (3/2)/3 = 8. Bendruoju stačiakampio atveju atstumai iki kraštinių vidurio taškų yra b/2 ir a/2 ir nebūtinai yra lygūs. Briaunos iki pagrindo viršūnės ilgio išraiškoje naudojami abu atstumai: e² = 9/4 + 4 + 4 = 41/4, taigi e = √41/2. Ši briauna ilgesnė už šoninės sienos aukštinę, nes ji eina iki pagrindo viršūnės, o ne iki kraštinės vidurio taško.

5. Stačiojo apskritojo kūgio spindulys yra 3 cm, o statmenasis aukštis – 4 cm. Raskite jo sudaromosios ilgį, šoninio paviršiaus plotą, viso uždaro paviršiaus plotą ir tūrį. Atskirai raskite 3 cm spindulio sferos plotą ir jos ribojamo uždarojo rutulio tūrį. Paaiškinkite, kurios formulės čia laikomos žinomomis standartinėmis formulėmis ir kodėl vienodi skaitiniai ploto ir tūrio koeficientai nereiškia šių dydžių lygybės.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kūgio ℓ = 5 cm, šoninio paviršiaus plotas yra 15π cm², viso paviršiaus plotas – 24π cm², o tūris – 12π cm³. Sferos plotas yra 36π cm², o rutulio tūris – 36π cm³. Čia naudojamos žinomos kūnų su kreivais paviršiais ploto ir tūrio formulės; sutampantys skaitiniai koeficientai, kai matavimo vienetai skirtingi, nereiškia, kad plotas lygus tūriui.

   Stačiojo kūgio sudaromosios ilgis yra teigiama kvadratinė šaknis iš 3² + 4² = 25. Šoninio paviršiaus plotui apskaičiuoti naudokite πrℓ = 15π, pridėkite pagrindo plotą 9π ir gaukite viso uždaro paviršiaus plotą 24π, o tūriui apskaičiuoti naudokite statmenąjį aukštį: πr²h/3 = 12π. Sferos plotas yra 4π × 3² = 36π, o rutulio tūris – (4/3)π × 3³ = 36π. Šios dvi 36π reikšmės išreikštos atitinkamai kvadratiniais ir kubiniais centimetrais, todėl jos nusako skirtingus dydžius, o perskaičiuojant į metrus būtų taikomi skirtingi perskaičiavimo koeficientai. Šiame skaičiavime naudojamos pripažintos formulės, neteigiant, kad jos įrodomos suskaidant kūną į baigtinį skaičių dalių su plokščiomis sienomis.

6. Raskite tikslius atstumus nuo (0, 0, 0) iki (3, 4, 0), iki (0, 0, 5) ir iki (1/2, 1/2, 1/2); taip pat raskite atstumą nuo (2, −1, 3) iki jo paties. Kuriais atvejais reikia neišsigimusio trikampio su vertikaliąja statine? Atskirai atsakykite: ar projekcijos xy plokštumoje ilgis 5 leidžia nustatyti, kad erdvinės atkarpos nuo (0, 0, 0) iki (3, 4, 12) ilgis yra 5?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atstumai yra atitinkamai 5, 5, √3/2 ir 0 ilgio vienetų. Tik taškų su trupmeninėmis koordinatėmis poros horizontalioji atstumo dedamoji yra teigiama, o vertikalioji – nelygi nuliui, todėl gaunamas minėtas neišsigimęs trikampis su vertikaliąja statine. Atskirai nagrinėjamos atkarpos tikrasis ilgis yra 13; jos projekcijos xy plokštumoje ilgis 5 neapima vertikaliosios dedamosios 12.

   Atstumų kvadratai yra 9 + 16 + 0 = 25; 0 + 0 + 25 = 25; 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4; ir 0. Pirmosios poros taškai yra vienoje horizontalioje plokštumoje, todėl antro neišsigimusio trikampio nereikia; antrosios poros taškus jungianti atkarpa yra tik vertikali, todėl horizontalioji statinė susitraukia į tašką; sutampančių taškų pora neturi jokios teigiamo ilgio dedamosios. Trupmeninių koordinačių atveju horizontaliosios dedamosios kvadratas yra 1/2 > 0, o Δz = 1/2 ≠ 0, todėl abi statinės yra nenulinio ilgio. Kai koordinatės yra (3, 4, 12), tikrojo atstumo kvadratas yra 9 + 16 + 144 = 169, o projekcijoje xy plokštumoje lieka tik 9 + 16. Atstumai nustatomi pagal erdvines koordinates ir nustatytą ašių statmenumą, o ne pagal regimą atstumą projekciniame brėžinyje.

7. Piramidės su stačiakampiu pagrindu, kurios viršūnė yra tiesiai virš pagrindo centro, a = 6, b = 4 ir h = 3. Raskite pjūvį plokštuma, lygiagrečia pagrindui ir esančia pusės aukščio lygyje. Uždarojo rutulio spindulys yra 5: nustatykite, kokio tipo pjūvis gaunamas plokštuma, kurios atstumas nuo centro yra 3, 5 arba 6, atskirdami sferą kaip ribą nuo rutulio kaip srities. Galiausiai, kokiais koeficientais pasikeičia kūno plotas ir tūris, kai visi jo matmenys padidinami 3/2 karto, ir ar tie patys koeficientai galioja padidinus tik jo aukštį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Piramidės pjūvis yra stačiakampis, kurio kraštinės yra 3 ir 2, o plotas – 6 kvadratinių vienetų. Kai atstumas yra 3, rutulio pjūvis yra 4 spindulio ir 16π ploto skritulys, o sferos pjūvis – šį skritulį ribojantis apskritimas; kai atstumas yra 5, lieka tik taškas, o kai atstumas yra 6, pjūvis tuščias. Teigiamas vienodas ilgio mastelio koeficientas 3/2 lemia ploto koeficientą 9/4 ir tūrio koeficientą 27/8. Vien aukščio pakeitimas tokio panašumo neužtikrina.

   Kai t = h/2, pjūvio ilgio mastelio koeficientas yra 1 − t/h = 1/2, todėl jo kraštinės yra 3 ir 2, o plotas lygus ketvirtadaliui pagrindo ploto 24. Rutulio atveju 0 ≤ 3 < 5 duoda pjūvio spindulio kvadratą 25 − 9 = 16 ir teigiamą spindulį 4. Rutuliui priklauso skritulio vidus, o sferai priklauso tik taškai, kurių atstumas nuo centro yra tiksliai 5, todėl jos pjūvis yra skritulį ribojantis apskritimas. Kai d = r, gaunamas vienas taškas; kai d > r, taškų nėra ir negalima gauti teigiamo skritulio spindulio iš kvadratinės šaknies. Kai visi matmenys keičiami vienodu koeficientu k = 3/2, plotas dauginamas iš k² = 9/4, o tūris – iš k³ = 27/8. Padidinus tik aukštį, kai kurie matmenys ir sienų plotai lieka nepakitę, todėl negalima taikyti išvados apie vienodą visų matmenų mastelio keitimą.

Ką verta įsidėmėti

• Tiesėms erdvėje apibūdinti reikia informacijos ir apie kryptį, ir apie padėtį: skirtingos vienoje plokštumoje esančios tiesės kertasi arba yra lygiagrečios, o ne vienoje plokštumoje esančios ir nesikertančios tiesės yra prasilenkiančios. Plokštumos statmuo yra statmenas kiekvienai tos plokštumos tiesei, einančiai per statmens pagrindą.
• Paviršiaus plotas nusako kūno ribos dydį kvadratiniais vienetais, o tūris – uždaros srities dydį kubiniais vienetais. Pirmiausia suvienodinkite ilgio vienetus, įtraukite tik nurodytus paviršius ir reikalaukite, kad neišsigimusių kūnų fiziniai matmenys būtų teigiami.
• Stačiakampio gretasienio S = 2(ab + ah + bh), o V = abh. Stačiosios prizmės, kurios pagrindo plotas yra B, perimetras – p, o statmenas aukštis – h, viso paviršiaus plotas S = 2B + ph, o V = Bh; taisyklingoje išklotinėje sienos ir jų jungtys turi derėti.
• Stačiojo apskritojo ritinio šoninio paviršiaus plotas yra 2πrh, uždaro ritinio viso paviršiaus plotas – 2πrh + 2πr², o tūris – πr²h. Spindulys lygus pusei skersmens, o nulinis aukštis nesuteikia pagrindo sutampančių pagrindo skritulių laikyti uždaru kūnu.
• Piramidei, kurios pagrindas yra stačiakampis, o viršūnės projekcija sutampa su pagrindo centru, naudojamos atskiros šoninių sienų aukštinės √(h² + (b/2)²) ir √(h² + (a/2)²); jos viso paviršiaus plotas yra ab + aℓₐ + bℓᵦ, o nustatytas tūris – abh/3. Kūgio ir sferos formulės naudojamos atsižvelgiant į jų formos sąlygas ir įrodymų taikymo ribas.
• Atstumas erdvėje yra √((Δx)² + (Δy)² + (Δz)²), kai Dekarto koordinačių ašys yra statmenos ir naudojami vienodi vienetai. Formulė galioja ir tada, kai taškai yra vienoje plokštumoje, vienoje tiesėje ar sutampa, nedarant klaidingų teiginių apie neišsigimusį trikampį; projekcinis vaizdas gali paslėpti atstumus ir kampus.
• Vienodai padidinus kūną teigiamu koeficientu k, ploto daugiklis yra k², o tūrio – k³. Skerspjūviai priklauso nuo pjūvio plokštumos, o vieno matmens pakeitimas ar vien panašaus vaizdo stebėjimas nepatvirtina vienodo mastelio panašumo.