Tampriosios bangos ir mechaninis rezonansas

Pasirinkite vieną ašinio strypo modelį

Nejudantis strypas perduoda jėgą per savo skerspjūvius. Judantis strypas taip pat turi inerciją: jei gretimi skerspjūviai perduoda skirtingas ašines jėgas, tarp jų esanti medžiaga juda su pagreičiu. Todėl tas pats tamprumo sąryšis, kuris naudojamas skaičiuojant tempimą, gali duoti bangos lygtį. Kraštinės sąlygos tuomet atrenka stovinčiųjų bangų formas, o išorinė periodinė jėga gali jas sužadinti.

Nagrinėkite tiesų vienodą strypą, kurio ilgis L = 1.00 m, kvadratinio skerspjūvio plotas A = 100 mm² = 1.00 × 10⁻⁴ m², o skerspjūvio kraštinė yra 10 mm. Priskirkite Jungo modulį E = 100 GPa = 1.00 × 10¹¹ Pa, tankį ρ = 4000 kg/m³ ir Puasono koeficientą ν = 0.25. Tai modelio įvesties duomenys, o ne išmatuotos konkrečios medžiagos savybės. Tegul x žymi pradinę padėtį išilgai strypo, o u(x,t) – ašinį poslinkį, teigiamą +x kryptimi.

Tarkite, kad medžiaga yra vienalytė, izotropinė ir tiesiškai tampri, deformacijos mažos, šoniniai paviršiai neveikiami paviršinių jėgų, o bangos ilgis didelis, palyginti su skerspjūvio matmenimis. Pirmojo artinio strypo modelyje išlaikoma ašinė inercija, o šoninių paviršių atsakas laikomas apytikriai tokiu, koks būna esant vienaašei įtempių būsenai. Dėl Puasono susitraukimo vyksta skersinis judėjimas, tačiau su jo inercija susijusios pataisos čia neįtraukiamos. Maža amplitudė ir didelis bangos ilgis yra atskiri reikalavimai.

„Įtempis, deformacija ir Huko dėsnis“ pateikia vienaašės įtempių būsenos sąryšį. „Klasikinė bangos lygtis“ ir „Kraštinės sąlygos ir stovinčiosios bangos“ yra naudingi skyriai, prie kurių galima grįžti lyginant sklindančiąsias ir stovinčiąsias bangas. „Susietieji osciliatoriai ir normaliosios modos“ bei „Priverstiniai svyravimai ir rezonansas“ paaiškina toliau vėl naudojamas baigtinių osciliatorių sąvokas. Šioje pamokoje apibrėžiamos savos kraštinės sąlygos, modos koordinatė ir slopinimo modelis; pirmiausia sekite jėgų balansą ir grafikus, tada patikrinkite integralus.

Iš jėgų disbalanso gaukite bangos lygtį

Pagrindiniame artinyje ašinė deformacija yra ε_xx = u_x, kur apatinis indeksas x žymi dalinę išvestinę. Ašinis įtempis yra σ_xx = E u_x. Integruojant per vienodą skerspjūvį gaunama ašinė jėga su ženklu N = Aσ_xx = EA u_x, matuojama N. Čia N yra visą skerspjūvį veikianti jėga, o ne membranai naudojama jėga pjūvio ilgio vienetui.

Išskirkime trumpą segmentą nuo x iki x + dx. Jo dešinįjį paviršių veikia ašinė jėga +N(x + dx,t), o kairįjį – −N(x,t). Priešingus šių paviršių jėgų ženklus lemia paviršinės jėgos, atitinkančios dvi priešingų krypčių normales. Atstojamoji jėga yra N(x + dx,t) − N(x,t) ≈ N_x dx. Segmento masė yra ρA dx, todėl, kai nėra paskirstytos išorinės ašinės jėgos, iš Niutono dėsnio gaunama ρA u_tt = (EA u_x)_x.

Kai E, A ir ρ yra pastovūs, skerspjūvio plotas susiprastina: u_tt = c_rod² u_xx, kur c_rod = √(E/ρ). Esant vienodai ašinei deformacijai, N yra pastovi, todėl strypo viduje jėgos nėra išbalansuotos. Kintanti deformacija sukelia pagreitį. Be to, E/ρ matavimo vienetas yra (N/m²)/(kg/m³) = m²/s², kaip ir turi būti greičio kvadratui.

Duotajam strypui c_rod = √[(1.00 × 10¹¹)/(4000)] = 5000 m/s. Šiame supaprastintame nedispersiniame modelyje sklindančios sinusinės bangos, kurios kampinis bangos skaičius yra β, kampinis dažnis yra ω = c_rod β. Jos fazinis greitis yra 5000 m/s ir nepriklauso nuo amplitudės. Atskiros medžiagos dalelės greitis yra u_t ir gali būti daug mažesnis.

Plono strypo ir tūrinių P bei S bangų skirtumai

Vien išilginis judėjimas neparodo, kuris modulis lemia jo greitį. Ploname strype laisvi šoniniai paviršiai leidžia atsirasti skersinei tampriajai deformacijai, todėl pagrindiniame artinyje ašinis įtempis yra E u_x. Begalinėje terpėje sklindančios išilginės plokščiosios bangos deformacijų pobūdis kitoks: poslinkis priklauso nuo sklidimo krypties koordinatės ir yra nukreiptas išilgai jos, o abi skersinės normalinės deformacijos lygios nuliui. Jos efektinis išilginis modulis yra K + 4G/3, o ne E.

Vienalytėje izotropinėje tūrinėje kietojoje terpėje P bangos poslinkis yra lygiagretus sklidimo krypčiai, o jos greitis c_P = √[(K + 4G/3)/ρ]. Tūrinės S bangos poslinkis yra statmenas sklidimo krypčiai, o jos greitis c_S = √(G/ρ). G yra šlyties modulis, o K – tūrinio tamprumo modulis. Šie rezultatai gauti plokščiosioms bangoms neaprėžtoje terpėje. Juose netaikomos strypo laisvų šoninių paviršių kraštinės sąlygos.

Atliekant vienaašį bandymą su laisvais šoniniais paviršiais, Puasono koeficientas yra ν = −ε_transverse/ε_axial. Izotropinio tiesinio tamprumo atveju G = E/[2(1 + ν)] ir K = E/[3(1 − 2ν)]. Kai duotoji ν = 0.25, gaunama G = 40 GPa ir K = 200/3 GPa. Taigi c_P = 1000√30 m/s ≈ 5477.23 m/s ir c_S = 1000√10 m/s ≈ 3162.28 m/s. Tie patys duotieji medžiagos parametrai lemia tris greičius, nes modeliuose atsižvelgiama į skirtingus deformacijų pobūdžius.

Keičiant strypo skerspjūvio plotą ir išlaikant tuos pačius medžiagos parametrus, pagrindinio artinio c_rod nesikeičia. Tačiau keičiasi visą skerspjūvį veikianti jėga, masė ir modalinis standumas. Keičiant kraštines sąlygas, keičiasi galimos stovinčiųjų bangų formos. Dėl šių skirtumų negalima naudoti vieno „tampriosios bangos greičio“, nenurodžius geometrijos ir judėjimo pobūdžio.

Leiskite įtvirtintiems ir laisviems galams parinkti modas

Įtvirtinkite kairįjį galą ašine kryptimi, kad u(0,t) = 0. Dešinįjį galą palikite neveikiamą ašinės jėgos, kad N(L,t) = EA u_x(L,t) = 0. Kadangi EA yra nenulinė konstanta, antroji sąlyga tampa u_x(L,t) = 0. „Laisvas“ reiškia jėgos, o ne poslinkio apribojimą. Toliau nagrinėjami laisvieji virpesiai vyksta be paskirstytojo žadinimo ir slopinimo.

Ieškokime stovinčiosios bangos modos u(x,t) = q(t)φ(x), kai q_tt = −ω²q. Iš bangos lygties gauname φ_xx + β²φ = 0 ir ω = c_rod β. Įtvirtinto galo kraštinė sąlyga pašalina kosinuso narį, todėl φ(x) yra proporcinga sin(βx). Laisvojo galo kraštinė sąlyga reikalauja, kad cos(βL) = 0. Taigi β_n = (2n − 1)π/(2L), φ_n(x) = sin(β_n x) ir f_n = ω_n/(2π) = (2n − 1)c_rod/(4L), kai n = 1, 2, 3, … .

Pagrindinės modos atveju strypo ilgis lygus ketvirtadaliui sinusinės bangos ilgio: λ₁ = 4L. Kitose modose strypo ilgyje telpa trys ir penki bangos ilgio ketvirtadaliai. Šių modų dažniai yra 1250, 3750 ir 6250 Hz. Šie nelyginiai kartotiniai būdingi šiam išilginių virpesių uždaviniui, kai vienas galas įtvirtintas, o kitas laisvas. Sijos, kurios vienas galas įtvirtintas, o kitas laisvas, lenkimo virpesiai aprašomi kita diferencialine lygtimi, todėl jiems ši dažnių seka negalioja.

Šių pirmųjų trijų modų bangos ilgiai yra 4.00 m, 4/3 m ir 0.800 m; visi jie dideli, palyginti su 0.010 m ilgio kraštine. Tai kokybiškai pagrindžia pasirinkto geometrinio režimo tinkamumą, tačiau nėra viso trimačio modelio dažnio paklaidos įvertis. Didėjant modos numeriui, ilgainiui ta pati ilgųjų bangų aproksimacija tampa abejotina.

Nagrinėkite vienos modos poslinkį ir įtempį

Pasirinkite pirmąją laisvųjų virpesių modą, kurios laisvojo galo poslinkio amplitudė U = 1.00 μm: u(x,t) = U sin(πx/(2L)) cos(ω₁t), kur ω₁ = 2500π rad/s. Kai t = 0, laisvojo galo poslinkis yra +U, o kiekvieno taško išilginis greitis lygus nuliui. Po pusės periodo poslinkio ir įtempio ženklai pasikeičia į priešingus. Amplitudės grafikuose parodytos neneigiamos didžiausių poslinkio ir įtempio modulių vertės išilgai strypo; jie nereiškia, kad kiekvienas taškas kiekvienu laiko momentu pasiekia savo teigiamą didžiausią vertę.

Diferencijuokite pagal x. Įtempis yra σ_xx(x,t) = EU[π/(2L)] cos(πx/(2L)) cos(ω₁t). Įtvirtintame gale jo amplitudė yra EUπ/(2L) = π/20 MPa ≈ 0.157080 MPa. Laisvajame gale ji lygi nuliui. Taigi poslinkio mazgas ties įtvirtinimu yra įtempio pūpsnys, o poslinkio pūpsnys laisvajame gale yra įtempio mazgas. Didelis taško poslinkis nebūtinai reiškia didelę vietinę deformaciją.

Dabar diferencijuokite pagal t. Laisvajame gale greičio amplitudė yra ω₁U = 2.5π mm/s ≈ 7.85398 mm/s. Šis medžiagos dalelių greitis yra apie 0.00785 m/s, o c_rod yra 5000 m/s. Sklindančiosios bangos fazinis greitis, dalelės greitis ir stovinčiosios bangos modos dažnis yra skirtingi dydžiai. Stovinčiosios bangos vaizdas neslenka kaip visuma išilgai strypo.

Abiejų grafike vaizduojamų ordinačių matavimo vienetai nurodyti atskirai: ašinio poslinkio amplitudė matuojama μm, o įtempio amplitudė – MPa. Vertikalus poslinkis grafike yra duomenų koordinatė. Fizinis medžiagos judėjimas vyksta išilgai strypo ašies; kreivė nėra išlenkto strypo kontūras.

Priskirkime vienai modai masę ir standumą

Užrašykime u(x,t) = q(t)φ₁(x), kur φ₁(x) = sin(πx/(2L)). Kadangi φ₁(L) = 1, q yra tikrasis galo poslinkis judant pagal šią vieną modą. Kinetinė energija yra ½∫[0,L]ρA u_t² dx = ½m₁q_t², kur m₁ = ∫[0,L]ρAφ₁² dx. Kadangi sin²(πx/(2L)) integralas yra L/2, m₁ = ρAL/2 = 0.200 kg.

Ašinės deformacijos tamprioji energija yra ½∫[0,L]EA u_x² dx = ½K₁q². Šios modos standumas yra K₁ = ∫[0,L]EA(φ₁,x)² dx = EAπ²/(8L) = 1.25 × 10⁶π² N/m ≈ 1.23370 × 10⁷ N/m. Standumo ir masės santykis duoda K₁/m₁ = ω₁², o tai sutampa su banginės lygties rezultatu. Čia β₁ yra erdvinis bangos skaičius, matuojamas m⁻¹; K₁ yra standumas, matuojamas N/m.

Viso strypo masė yra ρAL = 0.400 kg. Efektinė masė yra mažesnė, nes šioje pagal galo poslinkį normuotoje modoje skirtingi taškai juda skirtingais greičiais. Jokios medžiagos nebuvo pašalinta. Jei modos forma būtų padauginta iš konstantos, q būtų padalytas iš tos konstantos, o modalinė masė ir standumas atitinkamai pasikeistų, tačiau fizinis laukas ir savasis dažnis liktų nepakitę.

Laisvai virpančios pirmosios modos, kai pradinė q vertė yra U, o pradinė q_t vertė lygi nuliui, energija yra ½K₁U² = 0.625π² μJ ≈ 6.16850 μJ. Tamprioji energija virsta kinetine ir atvirkščiai, o modelyje be nuostolių jų suma išlieka pastovi. Taip susiejamas tolydus poslinkio laukas ir viena osciliatoriaus koordinatė.

Projektuoti paskirstytąją jėgą į modą

Tam pačiam strypo su vienu įtvirtintu, o kitu laisvu galu uždaviniui sužadinti taikome paskirstytąją ašinę jėgą b(x,t), tenkančią atskaitos ilgio vienetui ir matuojamą N/m. Lauko lygtis tampa ρA u_tt = (EA u_x)_x + b. Ties x = L paliekame nulinę galinę paviršinę apkrovą. Vietoj to pridėjus nenulinę jėgą strypo gale, ši kraštinė sąlyga pasikeistų.

Nustatome b(x,t) = (2F₁/L)φ₁(x) cos(Ωt), kur F₁ = 1.00 N. Padauginę lauko lygtį iš φ₁ ir integravę per visą strypo ilgį, gauname apibendrintąją jėgą ∫[0,L]φ₁b dx. Kadangi ∫φ₁² dx = L/2, ši jėga lygi F₁ cos(Ωt). F₁ yra modalinės jėgos amplitudė, o ne b integralas erdvėje. Paskirstytojo sužadinimo forma yra duotojo modelio dalis.

Idealiajame neslopinamų ašinių virpesių modelyje pasirinktas sužadinimas susietas tik su pirmąja moda, nes skirtingos sinusinės modos yra ortogonalios intervale [0,L]. Pavyzdžiui, ∫[0,L]φ₁φ₂ dx = 0. Jėgos, proporcingos φ₂, projekcija į pirmąją modą būtų nulinė, net jei jos kitimo laike dažnis būtų lygus ω₁. Ji vis tiek galėtų sužadinti kitą modą. Vien savąjį dažnį atitinkančio dažnio nepakanka, jei pridėtoji jėga nėra susieta su ta moda.

Dabar paliekame šią pirmosios modos koordinatę ir įtraukiame nustatytą klampiojo modalinio slopinimo koeficientą C₁. Lygtis yra m₁q_tt + C₁q_t + K₁q = F₁ cos(Ωt). Šis slopinimas yra atskirai įvestas fenomenologinis parametras; jis nebuvo išvestas iš Huko sąryšio be nuostolių. Toliau pateiktame palyginime nustatomi du slopinimo santykiai, nekeičiant strypo, sužadinimo ir kraštinių sąlygų.

Apskaičiuoti slopinamų nusistovėjusių virpesių amplitudę

Apibrėžiame ζ = C₁/(2m₁ω₁) – teigiamą bedimensį modalinio slopinimo santykį, ir r = Ω/ω₁ – sužadinimo dažnio ir savojo dažnio santykį. Nustatome ζ = 0.02 arba 0.05. Tuomet gauname C₁ = 20π N s/m ≈ 62.8319 N s/m ir C₁ = 50π N s/m ≈ 157.080 N s/m. Tai palyginimui duotos vertės, o ne išmatuotas medžiagos slopinimas.

Nuslopus pereinamiesiems procesams, nusistovėjęs poslinkis yra q_ss(t) = Q cos(Ωt − δ). Įstatę gauname Q = (F₁/K₁)/√[(1 − r²)² + (2ζr)²], o fazės atsilikimas yra δ = atan2(2ζr, 1 − r²). Dviejų argumentų kampo funkcija parenka tinkamą ketvirtį: esant teigiamam slopinimui, didėjant r kampas kinta nuo 0 link π. Statinė atskaitos amplitudė yra F₁/K₁ = 0.0810569 μm.

Esant savajam dažniui, r = 1, poslinkio fazė atsilieka nuo jėgos fazės per π/2, o Q = F₁/(2ζK₁). Taigi Q = 2.02642 μm, kai ζ = 0.02, ir Q = 0.810569 μm, kai ζ = 0.05. Padidinus nustatytą slopinimo santykį 2.5 karto, ši konkreti amplitudė sumažėja tiek pat kartų. Lentelėje ir paveiksle lyginamas nusistovėjęs harmoninis atsakas, o ne pradinis pereinamasis procesas ar dažnio keitimas nustatytu greičiu.

Šių atsakų pirmosios modos erdvinė forma išlieka φ₁: u_ss(x,t) = q_ss(t)φ₁(x). Keičiantis sužadinimo dažniui, kinta tik jos modalinė amplitudė ir fazė. Esant savavališkoms jėgos pasiskirstymo formoms ir kitoms pradinėms sąlygoms, paprastai reikia daugiau modų, o slopinimo modeliui su modų sąveika nepakanka šios vienos nepriklausomos skaliarinės lygties.

Atskirkite poslinkio amplitudės maksimumą nuo savojo dažnio

Kai F₁ nekinta, minimizuojant atsako vardiklio kvadratą gaunama r_peak = √(1 − 2ζ²), jei 0 < ζ < 1/√2. Poslinkio amplitudės maksimumas teigiamų dažnių srityje pasiekiamas esant dažniui, šiek tiek mažesniam už ω₁. Kai ζ = 0.02, jis pasiekiamas ties maždaug 1249.50 Hz, o Q_peak ≈ 2.02683 μm; kai ζ = 0.05, jis pasiekiamas ties maždaug 1246.87 Hz, o Q_peak ≈ 0.811585 μm. Savasis dažnis lieka 1250 Hz. Apytiksliame grafike šis nedidelis skirtumas gali būti nepastebimas, todėl paveiksle jis aiškiai pažymėtas.

Kai r = 1, q_ss = Q sin(Ωt), todėl greičio q_t = ΩQ cos(Ωt) fazė sutampa su jėgos F₁ cos(Ωt) faze. Vidutinė tiekiama galia tuomet yra ½F₁ΩQ. Bendruoju atveju nusistovėjusio režimo vidutinė dėl slopinimo prarandama galia yra ½C₁Ω²Q² ir, užgesus pereinamiesiems procesams, lygi vidutinei tiekiamai galiai. Kai ζ = 0.02 ir r = 1, ši galia yra maždaug 0.00795775 W. Tai teiginys apie energijos perdavimą, o ne apie poslinkio amplitudės maksimumo vietą.

Jei ζ = 0 ir Ω = ω₁, pagal formulę baigtinės nusistovėjusių harmoninių svyravimų amplitudės nėra. Kai pradinis poslinkis ir greitis lygūs nuliui, idealusis sprendinys yra q(t) = [F₁t/(2m₁ω₁)]sin(ω₁t). Jo gaubtinė didėja tiesiškai tol, kol modelis lieka taikytinas. Kai t = 0.010 s, gaubtinės vertė yra 10/π μm ≈ 3.18310 μm; momentinis poslinkis taip pat priklauso nuo sinuso daugiklio. Šis idealusis augimas nereiškia, kad realaus strypo judėjimas gali didėti neribotai.

Skirtingi atsaką apibūdinantys dydžiai gali pasiekti maksimumą skirtingomis sąlygomis, todėl vartojant tokią frazę kaip „esant rezonansui“ reikėtų nurodyti, kurio dydžio maksimumas turimas omenyje. Čia pavaizduota rezonanso kreivė rodo poslinkio amplitudę, kai žadinančios jėgos modalinė amplitudė yra pastovi.

Laikykitės bangų ir rezonanso modelių taikymo ribų

Išvedimas taikomas liauno strypo su laisvu šoniniu paviršiumi išilginiam judėjimui ir tūrinėms plokščiosioms P/S bangoms vienalyčiame izotropiniame kietajame kūne. Sijos lenkimo bangos priklauso kitai bangų šeimai. Idealiajame Eulerio–Bernulio modelyje be išorinio žadinimo iš lygties ρA w_tt + EI w_xxxx = 0 sklindančiai sinusinei bangai gaunama ω² = [EI/(ρA)]β⁴, todėl jos fazinis greitis priklauso nuo bangos ilgio. Pastovaus išilginių bangų greičio c_rod ir viename gale įtvirtinto, kitame laisvo strypo išilginių svyravimų spektro su nelyginiais harmonikų numeriais negalima perkelti lenkimui, plokštėms ar kevalams.

Modelio patikra susideda iš kelių dalių: patikrinti jėgos ir poslinkio kraštines sąlygas, nustatyti modelyje paliktą deformacijos formą, palyginti bangos ilgį su mažaisiais geometriniais matmenimis ir užtikrinti, kad deformacijos liktų tiesiniame režime. Medžiagos anizotropijos, skersinės inercijos, tampriųjų savybių nevienalytiškumo, didelių judesių ar atramų atsako pokyčiai gali pakeisti lygtis. Šie skaičiavimai nenustato nei suirimo ribos, nei procentinio tikslumo, susijusio su šiais neįtrauktais poveikiais.

Naudinga samprotavimo seka yra konkreti. Pjūvio paviršius veikiančių jėgų disbalansas sukelia vietinį pagreitį. Geometrija ir tamprumo sąlygos nustato grąžinamąjį poveikį apibūdinantį modulį. Kraštinės sąlygos atrenka savąsias svyravimų modas. Jėgos erdvinis persidengimas su modomis lemia, kurias modas ji žadina. Tuomet nurodytas slopinimas nustato baigtinį pasirinktos osciliatoriaus koordinatės nusistovėjusį atsaką.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Ta pati nurodyta medžiaga sudaro neaprėžtą izotropinį kietąjį kūną. Plokščioji S banga sklinda x kryptimi, o poslinkis nukreiptas y kryptimi. Kuris greitis tinka: 5000, 5477.23 ar 3162.28 m/s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   c_S = √(G/ρ) = 1000√10 m/s ≈ 3162.28 m/s.

   Tai tūrinė plokščioji šlyties banga. 5000 m/s vertė atitinka išilginę bangą strype su laisvu šoniniu paviršiumi, o 5477.23 m/s – tūrinę plokščiąją P bangą.

2. Ar φ(x) = sin(πx/L) tenkina abi išilgines kraštines sąlygas strypui, kurio kairysis galas įtvirtintas, o dešinysis laisvas? Jei ne, nurodykite, kuri sąlyga netenkinama.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Ji tenkina φ(0) = 0, bet netenkina φ_x(L) = 0.

   φ_x = (π/L)cos(πx/L), todėl φ_x(L) = −π/L. Dešiniojo galo poslinkis lygus nuliui, tačiau ašinis įtempis ten nelygus nuliui; laisvo galo sąlyga taikoma paviršinių įtempių vektoriui.

3. Pakeiskite φ₁ į ψ₁ = 2φ₁ ir tą patį lauką užrašykite kaip u = s(t)ψ₁. Kaip s išreiškiama per q ir kokios yra naujoji efektinė masė bei naujasis standumas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   s = q/2; m_ψ = 0.800 kg; K_ψ = 4K₁.

   Abiejuose modaliniuose integraluose yra modos formos funkcijos arba jos išvestinės kvadratas, todėl padauginus formos funkciją iš dviejų abu koeficientai padidėja keturis kartus. Mažesnė koordinatė užtikrina, kad fizinė energija ir poslinkis nepakistų; K_ψ/m_ψ = K₁/m₁.

4. Kai žadinimo dažnis yra 1250 Hz, o modalinės jėgos amplitudė – 1.00 N, pakeiskite ζ iš 0.02 į 0.05. Kaip pasikeičia nusistovėjusi galo virpesių amplitudė?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ji sumažėja 2.5 karto: nuo maždaug 2.02642 μm iki 0.810569 μm.

   Kai r = 1, Q = F₁/(2ζK₁). Lyginant F₁, K₁ ir savasis dažnis laikomi pastoviais; šis palyginimas galioja būtent pateiktam modaliniam modeliui su klampiuoju slopinimu.

5. Idealų neslopinamą strypą, iš pradžių esantį rimties būsenos, žadinkite jėga b(x,t) = (2F₁/L)φ₂(x)cos(ω₁t), kur φ₂ = sin(3πx/(2L)). Ar pirmoji moda žadinama jos savuoju dažniu?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Žadinimo dažnis sutampa su ω₁, tačiau pirmosios modos apibendrintoji jėga lygi nuliui.

   Dėl ortogonalumo ∫φ₁b dx = (2F₁/L)cos(ω₁t)∫φ₁φ₂ dx = 0. Esant nulinėms pradinėms sąlygoms, pirmoji koordinatė lieka lygi nuliui. Antroji moda vis tiek gali reaguoti į žadinimą dažniu, nesutampančiu su jos savuoju dažniu; bendras laukas nebūtinai lieka lygus nuliui.

Ką verta įsidėmėti

• Jėgų, veikiančių priešingus pjūvio paviršius, skirtumas suteikia strypo medžiagai pagreitį; pirmuoju artiniu išilginių bangų greitis strype su laisvu šoniniu paviršiumi yra √(E/ρ).
• Tūrinių P ir S bangų greičius lemia kitokie tamprumo moduliai ir deformacijos pobūdžiai nei plono strypo išilginių bangų greitį.
• Laisvajame strypo gale ašinis įtempis lygus nuliui, todėl ten gali būti poslinkio pūpsnys; viename gale įtvirtinto, kitame laisvo strypo išilginių svyravimų dažniai yra nelyginiai pagrindinio dažnio kartotiniai.
• Modos masė, standumas ir jėga priklauso nuo modos formos normavimo; fizikinis laukas ir savasis dažnis nuo jo nepriklauso.
• Rezonansui būtinas erdvinis jėgos susiejimas. Pasirinktoje jėgos žadinamoje modoje teigiamas slopinimas lemia baigtinį harmoninį atsaką esant savajam dažniui ir leidžia pereinamiesiems procesams nuslopti. Poslinkio maksimumas gali būti pasiekiamas ne ties savuoju dažniu.